teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

TEORIA DAS PROBABILIDADES II
Prof. Nei Rocha
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2009-1

Sumário
1 De…nições Básicas 1
1.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Variáveis Aleatórias 18
2.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1 Transformações Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . 32
2.6.3 Método do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.4 Estatísticas de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Esperança Matemática 38
3.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Propriedades da Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 A Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Distribuição e Esperança Condicionais 65
5 Convergência de Variáveis Aleatórias 71
5.1 Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Leis dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
i

OBJETIVOS GERAIS: Habilitar o aluno a sintetizar informações que são
ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas
simples usando raciocínio probabilístico.
PROGRAMA
UNIDADE I - Espaços de Probabilidade. Modelo matemático para um experi-
mento (modelo probabilístico). Álgebra de eventos e -álgebra de eventos: de…nição
e propriedades.
Axiomas da probabilidade ( -aditividade), continuidade no vazio. Propriedades
da probabilidade. Espaço de probabilidade: de…nição.
UNIDADE II –Vetores Aleatórios
Introdução: de…nição de uma variável aleatória, distribuição e propriedades.
Funções de variáveis aleatórias: transformação de escala e posição, transformação
integral da probabilidade. Caracterização adicional de variáveis aleatórias: momen-
tos.
Vetores aleatórios de dimensão 2. Distribuição: de…nição e propriedades. O caso
discreto: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e
condicionais. O caso contínuo: função de densidade conjunta, funções de densidade
marginais e condicionais. Variáveis aleatórias independentes. Extensão para o caso
de dimensão n 2. Distribuições especiais: Normal multivariada e Multinomial
UNIDADE III –Funções univariadas das componentes de um vetor aleatório.
Soma e diferença de variáveis aleatórias independentes. Convolução.
Produto e Quociente de variáveis aleatórias.
UNIDADE IV –Distribuição conjunta de funções de variáveis aleatórias.
ii

O método Jacobiano para o caso de dimensão 2. Exemplos.
Extensão para o caso de dimensão n 2.
UNIDADE V –Distribuições Especiais
Distribuição de Qui-quadrado. De…nição, propriedades e aplicações (independên-
cia da média e variância amostrais para amostras da normal). Distribuição t:
de…nição e propriedades. Distribuição F : de…nição e propriedades. Estatísticas
de Ordem: de…nição e distribuições conjuntas e marginais, aplicações.
UNIDADE VI – Esperança. De…nição Geral de Esperança. Propriedades da
Esperança. Esperança Condicional: de…nição, propriedades. Cálculo da esperança
e da variância por condicionamento (exemplos típicos: soma aleatória de variáveis
aleatórias independentes). Desigualdade de Jensen. Desigualdade de Tchebyshev.
certa.
UNIDADE VII –Lei dos Grandes Números.
Tipos de Convergência: convergência em probabilidade e convergência quase
Lei Fraca dos Grandes Números. Lei Forte dos Grandes Números. Exemplos.
UNIDADE VIII – Funções características, convergência em distribuição. Teo-
rema Central do Limite. Funções características: de…nição e propriedades. Con-
vergência em distribuição: de…nição e alguns resultados. Teorema Central do Lim-
ite: para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Teorema
Central do Limite para variáveis aleatórias independentes (condição de Lindeberg,
Liapounov). Aplicações.
iii

- 1981.
BIBLIOGRAFIA
[1] James, B.- Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Projeto Euclides
[2] Shiryayev, A. N. - Probability - Springer Verlag - 1984.
[3] Metivier, M. - Notions Fondamentales de la Theorie des Probabilites - Dunod
- Paris - 1968.
[4] Magalhães, M. N. - Probabilidade e Variáveis Aleatórias - Ed. Universidade
de São Paulo - 2004.
[5] Hoel, P.G. e Stone, C. J. - Introdução à Teoria da Probabilidade - Editora
Interciência - 1978.
- 1997.
[6] Ross, S. - Introduction to Probability Models - Sixth Edition. Academic Press
Prova 1 - 4 de maio de 2009.
Prova 2 - 3 de julho de 2009.
Reposição - 8 de julho de 2009.
Prova Final - 10 de julho de 2009.
AVALIAÇOES
iv

Capítulo 1
De…nições Básicas
1.1 Modelo Matemático para um Experimento
1.1.1 Espaços de Probabilidade
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por , é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de…nição:
De…nição 1 O conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado ex-
perimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 1 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então = fCa; Cog,
onde Ca é ”cara” e Co é ”coroa”.
Exemplo 2 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face supe-
rior, então = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 3 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
= f(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca); (Co; Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
1

Exemplo 4 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
8
><
=
>:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
Exemplo 5 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um
possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é,
= [0; 1).
De…nição 2 Qualquer subconjunto A do espaço amostral , isto é A , ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ; e os conjuntos ; e são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto é denominado
evento certo. Se ! 2 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De…nição 3 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \ B = ;.
Observação 1 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento ”A ou B”; A \ B é o evento ”A e B” e
A c é o evento ”não A”.
De…nição 4 Seja A uma classe de subconjuntos de tendo as seguintes propriedades:
(i) 2 A;
(ii) Se A 2 A então A c 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
2
9
>=
>;

(iii) Se A1; A2; :::; An 2 A então n
[
i=1 Ai 2 A. (a classe é fechada pela união …nita)
Então a classe A de subconjuntos de é chamada uma álgebra.
Exercício 1 Seja A uma álgebra. Mostre que:
(a) ; 2 A;
(b) se A e B 2 A então A B 2 A;
(b) se A1; A2; :::; An 2 A então n
\
i=1 Ai 2 A.
De…nição 5 Seja A uma classe de subconjuntos de tendo as seguintes propriedades:
(i) 2 A;
(ii) Se A 2 A então A c 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
(iii) Se A1; A2; ::: 2 A então 1
[
i=1 Ai 2 A. (a classe é fechada pela união in…nita
enumerável)
Então a classe A de subconjuntos de é chamada uma -álgebra.
Proposição 1 Seja A uma -álgebra de subconjuntos de . Se A1; A2; ::: 2 A então
1
\
i=1 Ai 2 A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 6 Os membros de A são chamados (no contexto da teoria de Probabil-
idade) de eventos, ou subconjuntos de A-mensuráveis, ou apenas subconjuntos
mensuráveis de se não houver confusão quanto à -álgebra referente. O par ( ;
A) é dito ser um espaço mensurável.
Exercício 2 Seja = R e A a classe de todas as uniões …nitas de intervalos do
tipo ( 1; a], (b; c] e (d; 1). Mostre que
(a) A é uma álgebra;
(b) A não é uma -álgebra.
3

Exercício 3 Mostre que toda -álgebra é uma álgebra, mas a recíproca não é ver-
dadeira.
Exercício 4 Mostre, com exemplo, que se A e B são -álgebras, A [ B não é
necessariamente uma -álgebra.
Exercício 5 Mostre que se A e B são -álgebras, A \ B é também uma -álgebra.
Observação 2 Dada uma classe B de subconjuntos de , podemos construir a
menor álgebra contendo B, da seguinte forma:
(i) Formamos a classe B1 contendo , ;, A e A c para todo A 2 B;
(ii) Formamos a classe B2 de interseções de elementos de B1;
(iii) Formamos a classe B3 de uniões …nitas de elementos de B2.
Claramente, B B1 B2 B3, e pode-se veri…car facilmente que B3 é uma
álgebra.
Observação 3 Podemos construir (ainda que de forma abstrata) a menor álgebra
contendo uma classe B de subconjuntos de , da seguinte forma: Considere todas
as álgebras contendo B. Denote-as (B), 2 . O conjunto é não-vazio,
pois o conjunto de todos os subconjuntos de é uma álgebra. Então, a menor
álgebra contendo B é dada por
(B) = \ 2
Exemplo 6 Seja = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. (a) Construa a menor álgebra de subcon-
juntos de ; (b) Construa a menor álgebra contendo a classe de subconjuntos
de dada por ff1; 2g ; f1; 3; 4g ; f3; 5gg; (c) Construa a menor álgebra contendo
todos os subconjuntos de (esta álgebra é chamada de conjunto das partes de ,
e é denotada por P( )).
4
(B)

De…nição 7 A álgebra de Borel é gerada pela coleção de conjuntos abertos de
um espaço topológico. Os membros desta álgebra são chamados Borelianos.
As álgebras em R d , d > 1, e R são geradas por intervalos nestes espaços e
são denotadas por B(R d ) = B d e B = B 1 = B(R), respectivamente. Por exemplo, se
= R, B pode ser gerada por quaisquer dos intervalos (a; b), (a; b], [a; b) ou [a; b],
isto é,
e assim por diante.
B = f(a; b); 1 a < b +1g
= f[a; b); 1 < a < b +1g
= f[a; b]; 1 < a < b < +1g
= f( 1; x]; x 2 Rg,
De…nição 8 Seja A uma ( )álgebra em . Um membro A de A é dito um
átomo, se A 6= ; e se B A implica que ou B = ; ou B = A. Portanto, átomos
são os membros mais …nos de uma ( )álgebra.
Exemplo 7 Seja = f1; 2; 3; 4; 5; 6g e seja A = f;; f2g; f1; 3; 4; 5; 6g; f4; 6g; f1; 2; 3; 5g;
f1; 3g; f2; 4; 5; 6g; f5g; f1; 2; 3; 4; 6g; f1; 3; 5g; f4; 5; 6g; f1; 3; 4; 6g; f2; 5g; f1; 2; 3g; f2; 4; 6g; g.
Então os átomos associados à A são f2g, f5g, f1; 3g e f4; 6g.
1.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes:
(Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis.
Seja A um evento e o espaço amostral …nito, então
P (A) = #A
#
onde #A é a cardinalidade de A e # a cardinalidade de .
5

(Freqüentista) Baseia-se na freqüência relativa de um ”número grande” de realizações do
experimento. Seja A um evento, então
nA
P (A) = lim
n!1 n
onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
Observação 4 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático,
pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n n0 se
tenha
É improvável que P (A)
nA
n
P (A)
nA
n
< ".
" para n N (grande), mas pode acontecer.
Outra di…culdade do conceito freqüentista é que o experimento nunca é realizado
in…nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.
(Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno
em estudo. Por exemplo, seja o evento C ”chove em Moscou”.
Para alguém no Rio de Janeiro podemos ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5.
Para alguém de Leningrado, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em Leningrado
e P (C) = 0; 2, se não chove em Leningrado.
Para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em Moscou e
P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou.
Não nos preocuparemos com o problema de como de…nir probabilidade para cada
experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como
foi erigida pelo matemático russo Kolmogorov, responsável pela base matemática
solida da teoria.
6

Seja um espaço amostral e A uma -álgebra para um dado experimento. Uma
medida de probabilidade P é uma aplicação
tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) 0.
A2) P ( ) = 1.
P : A ! [0; 1]
A3) (Aditividade …nita) Se A1; A2; :::; An 2 A são disjuntos dois a dois, isto é,
nX
P (Ai).
Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P n
[
i=1 Ai =
Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade …ni-
tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente
supor -aditividade:
A3’) Se A1; A2; ::: 2 A são disjuntos dois a dois, então P 1
[
i=1 Ai =
i=1
1X
P (Ai).
Modelo Probabilístico: Terminamos a formulação do modelo matemático para
um experimento, ou modelo probabilístico. É constituído de
a) Um conjunto não-vazio , de resultados possíveis, o espaço amostral.
b) Uma -álgebra A de eventos aleatórios.
c) Uma probabilidade P de…nida em A.
Vamos agora retirar nosso modelo do contexto de um experimento e reformulá-lo
como um conceito matemático abstrato.
De…nição 9 Um espaço de probabilidade é um trio ( ; A; P ) onde
(a) é um conjunto não-vazio,
7
i=1

mas:
(b) A é uma -álgebra de subconjuntos de , e
(c) P é uma probabilidade de…nida em A.
Com base nos axiomas de probabilidade, pode-se demonstrar os seguintes teore-
Teorema 1 P (;) = 0.
Prova. (Em aula.)
Proposição 2 O Axioma 3’implica o Axioma 3, isto é, se P é -aditiva, então é
…nitamente aditiva.
Prova. (Em aula.)
Teorema 2 Para todo A 2 A, temos P (A c ) = 1 P (A).
Prova. (Em aula.)
Teorema 3 Para todo A 2 A, temos 0 P (A) 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 4 Sejam A e B 2 A. Se A B, então
(a) P (B A) = P (B) P (A);
(b) P (A) P (B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 5 Sejam A e B 2 A. Então P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B).
Prova. (Em aula.)
8

Teorema 6 Para qualquer seqüência de eventos A1; A2; :::; An 2 A, P 1
[
1X
P (Ai) (desigualdade de Boole).
i=1
Prova. (Em aula.)
Teorema 7 Sejam A1; A2; :::; An 2 A. Então
P n
[
i=1 Ai =
nX
P (Ai) X
P (Ai \ Aj) + X
P (Ai \ Aj \ Ak)
i=1
X
i

Prova. (Em aula.)
Exemplo 8 Considere uma população de indivíduos capazes de gerar proles do
mesmo tipo. O número de indivíduos inicialmente presentes, denotado por X0, é
o tamanho da geração zero. Todos as proles da geração zero constituem a primeira
geração e o seu número é denotado por X1. Em geral, Xn denota o tamanho da
n-ésima geração. Mostre que limn!1 P (Xn = 0) existe e interprete o seu signi…cado.
10

1.1.3 Probabilidade Condicional
De…nição 11 Seja ( ; A; P ) um espaço de probabilidade. Se B 2 A e P (B) > 0,
a probabilidade condicional de A dado B é de…nida por
P (A j B) =
P (A \ B)
, A 2 A. (1.1)
P (B)
Note que P (A j B), A 2 A, é realmente uma probabilidade em A (veri…que os
axiomas!). Conseqüentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por
exemplo,
P (A c j B) = 1 P (A j B).
Observe que, dado B, se de…nirmos PB(A) = P (A j B), então podemos de…nir
um novo espaço de probabilidade dado por (B; G; PB), onde G := fA \ B : A 2 Ag.
Exercício 6 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili-
dade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6;
(b) a soma dos números ser 8?
Teorema 9 Sejam A; B 2 A com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então
Prova. (Em aula.)
P (A \ B) = P (B):P (A j B)
= P (A):P (B j A)
Teorema 10 (a) P (A \ B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \ B).
(b) P (A1 \ A2 \ ::: \ An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1 \ A2):::P (An j A1 \
A2 \ :::An 1), para todo A1; A2; :::; An 2 A e para todo n = 2; 3; :::.
11

Prova. (Em aula.)
Exercício 7 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
De…nição 12 Seja um conjunto não-vazio. Uma partição de é uma família
de conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i) n
[
i=1 Ai =
(ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto . Dizemos também que foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
Para todo evento B 2 A temos
Partição do Espaço Amostral
B = n
[
i=1 (Ai \ B) .
12

Teorema da Probabilidade Total
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai \B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 11 (Teorema da Probabilidade Total) Se a seqüência (…nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de , então
para todo B 2 A.
Prova. (Em aula.)
P (B) = X
P (Ai):P (B j Ai) (1.2)
i
Teorema 12 (Fórmula de Bayes) Se a seqüência (…nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de , então
Prova. (Em aula.)
P (Ai j B) = P (Ai)P (B j Ai)
X
. (1.3)
P (Aj):P (B j Aj)
j
Exercício 8 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas
caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Pergunta: qual a probabilidade condi-
cional da moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado …nal foi cara?
13

Exercício 9 Uma caixa contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 vermelhas.
Removem-se três bolas sem observar suas cores. Determine:
(a) a probabilidade de que uma quarta bola removida da caixa seja vermelha;
(b) a probabilidade de que as três bolas removidas sejam brancas, sabendo-se que
pelo menos uma delas é branca.
Exercício 10 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro,
qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exercício 11 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro
escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a
carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito?
Exercício 12 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2?
Exercício 13 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são
comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o
comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e
4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada
aleatoriamente deste comitê.
(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista.
(b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter
vindo do comitê 1?
14

Exercício 14 Um executivo pediu à sua secretária que …zesse uma ligação para
o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a
ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele
momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a
secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%.
(a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com
o Sr.X pelo telefone.
(b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade
condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou.
Exercício 15 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1
vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao
acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B?
(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?
Exercício 16 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os
cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda
no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre
4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-
partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidade
de que o outro compartimento contenha:
(a) um anel de esmeralda;
(b) um anel de brilhantes.
Exercício 17 Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual
cada questão tem cinco respostas possíveis, das quais exatamente uma é correta. O
15

estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele
seleciona ao acaso uma resposta dentre as 5 possíveis. Suponha que o estudante
saiba 70% das questões. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para uma
dada questão?
(b) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a
probabilidade de que ele sabia a resposta?
1.1.4 Independência
De…nição 13 Seja ( ; A; P ) um espaço de probabilidade. Os eventos aleatórioa A
e B são (estocasticamente) independentes se
P (A \ B) = P (A):P (B).
Observação 5 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer outro.
Teorema 13 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 14 Se A e B são independentes, então A e B c também são independentes
(e também A c e B, e ainda A c e B c ).
Prova. (Em aula.)
Observação 6 Se A \ B = ;, então A e B não são independentes (a menos que
um deles tenha probabilidade zero).
De…nição 14 Os eventos aleatórios Ai, i 2 I (I um conjunto de índices), são
independentes dois a dois (ou a pares) se
P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj)
16

para todo i; j 2 I, i 6= j.
De…nição 15 (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An (n 2) são chamados (coletiva
ou estocasticamente) independentes se
P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim)
para todo 1 i1 < i2 < ::: < im n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as
combinações satisfazem a regra produto).
(b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n 2, A1; :::; An
são independentes.
Observação 7 Independência a pares não implica independência coletiva. Con-
forme o exercício a seguir.
Exercício 18 Seja = fw1; w2; w3; w4g e suponha P (fwg) = 1=4 para todo w 2 .
Sejam os eventos A = fw1; w4g, B = fw2; w4g e C = fw3; w4g. Veri…que que A, B
e C são independentes dois a dois, mas
P (A \ B \ C) 6= P (A):P (B):P (C).
Teorema 15 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi, i 2 I,
são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou A c i (ou um ou outro).
Prova. (Em aula.)
Observação 8 Toda família de eventos independentes é independente.
Exercício 19 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é
ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, uma
moeda com probabilidade p 6= 1
2
de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos
lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara,
qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada?
17

Capítulo 2
Variáveis Aleatórias
2.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 9 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então = f(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca); (Co; Co)g. Se de…nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca; Ca), !2 = (Ca; Co), !3 = (Co; Ca),
!4 = (Co; Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 10 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então = [0; 1] e
X(!) = ! 2 .
Exemplo 11 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então = f(x; y) : x 2 + y 2 1g e, com
18

! = (x; y), temos
X(!) = p x 2 + y 2 .
Exemplo 12 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
Entretanto, nem toda função de em R traduz uma variável aleatória. Para
que ela seja uma variável aleatória, precisamos garantir que todo evento relacionado
à variável aleatória possa ser mensurado. Daí a de…nição seguinte:
De…nição 16 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade ( ; A; P ) é
uma função real de…nida no espaço tal que o conjunto [! 2 : X(!) x] (daqui
para frente escrito de forma simpli…cada [X x]) é evento aleatório para todo x 2 R;
isto é,
X : ! R
é uma variável aleatória se [X x] 2 A para todo x 2 R.
Exemplo 13 Sejam = f1; 2; 3; 4g e A = f;; f1; 2g; f3; 4g; g e considere os con-
juntos A = f1; 2g e B = f1; 3g. Então 1A é variável aleatória em ( ; A), mas 1B
não é.
2.2 Função de Distribuição
De…nição 17 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX, ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de…nida
por
FX(x) = P (X x), x 2 R. (2.1)
19

Exercício 20 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o
número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória
X e represente-a gra…camente.
Exercício 21 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto ao acaso
do intervalo [a; b] com a < b. Seja X a variável aleatória que representa a co-
ordenada do ponto. Construa a função de distribuição da variável aleatória X e
represente-a gra…camente.
Proposição 3 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma variável
aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) Se x1 x2 então F (x1) F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx! 1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula)
Tendo em mente que FX(x) = P (X x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1 P (X a) = 1 FX(a)
2. P (a < X b) = P (X b) P (X a) = P (X b) P (X a) =
FX(b) FX(a)
3. P (X = a) = P (X a) P (X < a) = FX(a) FX(a ). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
20

4. P (a < X < b) = P (a < X b) P (X = b)
= P (X b) P (X a) P (X = b) = FX(b) FX(a) [FX(b) FX(b )]
= FX(b ) FX(a).
5. P (a X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b ) FX(a) + [FX(a) FX(a )] = FX(b ) FX(a ).
6. P (a X b) = P (a < X b) + P (X = a)
= FX(b) FX(a) + [FX(a) FX(a )] = FX(b) FX(a ).
Exercício 22 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa o número obtido
no lançamento do dado. Pede-se:
(a) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
(b) A probabilidade de ocorrer 5, dado que ocorreu um número ímpar?
(c) A probabilidade de ocorrer um número par, dado que ocorreu um número
menor do que 5?
Exercício 23 Seja F (x) a função
8
< 0, se x < 0
F (x) = x +
:
1
2 , se 0 x 1
2
1, se x > 1
2
Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule:
(a) P (X > 1
8 )
(b) P ( 1
8
(c) P (X < 2
5
< X < 2
5 )
j X > 1
8 )
21

2.3 Variáveis Aleatórias Discretas
De…nição 18 A variável aleatória X é discreta se toma um número …nito ou enu-
merável de valores, isto é, se existe um conjunto …nito ou enumerável fx1; x2; :::g
R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 . A função p(xi) de…nida por
é chamada função de probabilidade de X.
Observação 9 Note que [X x] = [
Além disso, observe que
e
p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (2.2)
F (x) = X
i:xi x
i:xi x
[X = xi] e assim
P (X = xi) = X
i:xi x
p(xi).
p(xi) 0, i = 1; 2; 3; ::: (2.3)
1X
p(xi) = 1. (2.4)
i=1
Exercício 24 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2/3. Ele deve
atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa
o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se:
(a) A função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as propriedades
(2.3) e (2.4).
(b) A probabilidade de serem necessários cinco tiros para que ele acerte o alvo.
Exercício 25 Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
P (X = x) = cx 2 , onde c é uma constante e k = 1; 2; 3; 4; 5. Calcule F (x) e P(X ser
ímpar).
22

Exercício 26 Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda
honesta. Construa a função de probabilidade e a função de distribuição de X es-
boçando os seus grá…cos.
2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nição 19 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de
distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de
densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades
de modo que
fX(x) 0 para todo x 2 R e
Z1
1
FX(x) =
fX(x)dx = 1
Zx
1
fX(t)dt.
Observação 10 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que
fX(x) = dFX(x)
.
dx
Observação 11 Como FX(x) é contínua, observe que
1. P (X = x) = FX(x) FX(x ) = 0 para todo x 2 R.
2. P (a
Zb
X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) =
fX(x)dx.
a
3. dFX(x) = fX(x)dx.
Exercício 27 Veri…que que
8
><
0, z < 0
FZ(z) =
>:
1, z 1
z2 , 0 z < 1
2
1 3(1 z) 2 1 , 2
23
z < 1

é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também
P (Z > 1
4 jZ
3
4 ).
Exercício 28 Veri…que que
8
< 0, y < 0
p
FY (y) = y, 0 y 1
:
1, y > 1
é uma função de distribuição e calcule a função de densidade de Y. Use-a para
calcular P ( 1
4
< Y < 3
4 ).
De…nição 20 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes
classi…cações (parte discreta e parte contínua).
Exercício 29 (Exemplo de Variável Aleatória Mista: Discreta e Contínua ao mesmo
tempo) A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por:
8
0, x < 0
><
x,
0 x < 1
2
FX(x) = , 1 x < 2
3
11
>:
, 2 x < 3
12
1, x 3
Obtenha:
(a) o grá…co de FX(x);
(b) P (X < 3);
(c) P (X = 1);
(d) P (X > 1=2);
(e) P (2 < X < 4).
Exercício 30 Seja X uma variável com função de distribuição
8
< 0, x < 2
FX(x) =
:
1 x+2 + , 4 8 2 x < 0
(a) Classi…que X e faça um grá…co de F.
(b) Calcule P (X > 1) e P (X 4jX > 0).
3
4
+ 1
4 (1 e x ), x 0
(c) Decomponha F nas partes discreta e absolutamente contínua.
24

Exercício 31 Mostre que se X é uma v. a . do tipo contínuo com função de
densidade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX( x),
então:
(a) FX(x) = 1 FX( x);
(b) FX(0) = 1
2 ;
(c) P ( x < X < x) = 2FX(x)
Zx
1, x > 0;
fX(t)dt, x > 0.
(d) P (X > x) = 1
2
0
Exercício 32 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
(a) Obtenha a função de distribuição de X.
(b) Ache P ( 1 < X < 2).
(c) Ache P (jXj > 1).
1
, 1 < x < 1
2(1 + jxj) 2
Exercício 33 Z é uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade
fZ(z) = 10e 10z , z > 0
0, z 0
Obtenha a função de distribuição de Z e esboce o seu grá…co.
2.5 Vetores Aleatórios
De…nição 21 Um vetor X = (X1; :::; Xn) com Xi variáveis aleatórias de…nidas no
mesmo espaço de probabilidade ( ; A; P ) é chamado vetor aleatório se
X 1 (B) 2 A para todo B 2 B n .
De…nição 22 A função de distribuição conjunta F = FX de um vetor aleatório X
é de…nida por
FX(x) = FX(x1; :::; xn) = P (X1 x1; :::; Xn xn).
25

Observação 12 fX1 x1; :::; Xn xng =
n\
f! : Xi(!) xig 2 A.
Proposição 4 Propriedades da Função de Distribuição Conjunta. Se X
é um vetor aleatório em ( ; A; P ), então para qualquer x 2 R n , sua função de
i=1
distribuição F goza das seguintes propriedades:
F1) F (x) é não-decrescente em cada uma de suas coordenadas.
F2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas.
F3) Se para algum j, xj ! 1, então F (x) ! 0 e, ainda, se para todo j, xj !
+1, então F (x) ! 1.
F4) F (x) é tal que para todo ai; bi 2 R, ai < bi, 1 i n, temos
Prova. (Em aula)
P fa1 < X1 b1; a2 < X2 b2; :::; an < Xn bng 0.
Observação 13 A propriedade F4 parece tão óbvia que poderíamos questionar a
necessidade de mencioná-la. No caso unidimensional ela não é necessária, mas no
caso muldimensional ela é essencial, pois há funções que atendem as propriedades
F1, F2 e F3 que não são funções de distribuições de nenhum vetor aleatório, con-
forme o exemplo abaixo.
Exemplo 14 Considere a seguinte função:
F (x; y) =
1, em S = f(x; y) : x 0, y 0 e x + y 1g
0, caso contrário
Então F (x; y) satisfaz F1, F2 e F3, mas P f0 < X 1; 0 < Y 1g = 1 < 0! Logo
F (x; y) não satisfaz F4 e, portanto, não pode ser função de distribuição conjunta.
26

Exemplo 15 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com função de distribuição
conjunta FX;Y (x; y). Mostre que
P fa < X b; c < Y dg = F (b; d) F (b; c) F (a; d) + F (a; c)
Exemplo 16 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) = 1 e x y , x 0 e y 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
Exemplo 17 Veri…que se a seguinte função
F (x; y) = (1 e x )(1 e y ), x 0 e y 0
0, caso contrário
é uma função de distribuição de algum vetor aleatório.
Observação 14 A partir da função de distribuição conjunta, pode-se obter o com-
portamento de cada variável isoladamente. A função de distribuição individualizada
é denominada função de distribuição marginal e é obtida da seguinte forma:
FXk (xk) = lim
xi!1
i6=k
F (x)
em que o limite é aplicado em todas as coordenadas, exceto k.
Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto
e de…nimos sua função de probabilidade conjunta da seguinte forma:
É imediato veri…car que
p(x) = p(x1; :::; xn) = P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
p(x) 0, para todo x 2 R n e
X
p(x) = 1.
x
27

A função de probabilidade marginal de uma variável, digamos Xk, é obtida a
partir da conjunta, somando-se os valores possíveis em todas as coordenadas, exceto
em k, isto é,
pXk (xk) = P (Xk = xk) =
=
nX X
p(x)
i=1
i6=k
nX X
P (X1 = x1; :::; Xn = xn).
i=1
i6=k
xi
Exemplo 18 Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e de…n-
imos as variáveis aleatórias X e Y da seguinte forma: X = número de caras nos
dois lançamentos e Y = função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos.
Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y e as funções de probabilidade
marginais de X e de Y.
Denominamos vetor aleatório contínuo, o vetor aleatório cujas componentes são
variáveis aleatórias contínuas. Dada a função de distribuição conjunta de um vetor
aleatório, sucessivas derivadas parciais produzem a função de densidade conjunta,
representada por f(x). Então, podemos considerar que um vetor aleatório é contínuo
se existe uma função f : R n ! R+ tal que
Z x1
FX(x) =
1
xi
Z xn
::: f(y)dy1:::dyn.
1
Observe que isto é uma generalização do caso univariado, e, como antes, valem
as propriedades
Z 1
1
Z 1
::: f(x)dx1:::dxn = 1
1
f(x) 0, para todo x 2 R n e
@ Além disso, decorre do cálculo que n
@x1:::@xn FX(x) = f(x).
28

Observação 15 Assim, podemos perceber que
P (X1 2 dx1; :::; Xn 2 dxn) = f(x)dx1:::dxn.
Exemplo 19 Sejam três variáveis aleatórias X, Y e Z com função de densidade
conjunta dada por
f(x; y; z) = kxy2 z, se 0 < x 1, 0 < y 1 e 0 < z p 2
0, caso contrário
Encontre o valor de k e ache a função de densidade marginal de X.
Exemplo 20 (Função Mista) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X
discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade dada por
f(x; y) =
xyx 1
, se x = 1; 2; 3 e 0 < y 1
3
0, caso contrário
(a) Veri…que que esta função é de fato uma função mista de probabilidade.
(a) Mostre que
8
0, se x < 1 ou y < 0
y
, se 1 x < 2 e 0 3
><
y < 1
F (x; y) = , se x 3 e 0 3
1,
se 1 x < 2 e y 3
2
>:
, se 2 x < 3 e y 3
1, se x 3 e y 1
y < 1
1
1
2.5.1 Independência
y+y 2
3 , se 2 x < 3 e 0 y < 1
y+y 2 +y 3
De…nição 23 Sejam X1; X2; :::; Xn, n 2, variáveis aleatórias de…nidas no mesmo
espaço de probabilidade ( ; A; P ), de modo que X = (X1; :::; Xn) é um vetor aleatório
em ( ; A; P ). As variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são (coletivamente) indepen-
dentes se
P fX1 2 B1; X2 2 B2; :::; Xn 2 Bng =
para todo Bi 2 A, i = 1,2,...,n.
29
nY
P fXi 2 Big
i=1

Observação 16 (i) (Propriedade de Hereditariedade de Variáveis Aleatórias In-
dependentes) Observe que para toda família de variáveis aleatórias independentes
X1; X2; :::; Xn qualquer subfamília é também formada por variáveis aleatórias inde-
pendentes, pois, por exemplo
P fX1 2 B1; X2 2 B2g = P fX1 2 B1; X2 2 B2; X3 2 R; :::; Xn 2 Rg
= P fX1 2 B1g P fX2 2 B2g P fX3 2 Rg :::P fXn 2 Rg
= P fX1 2 B1g P fX2 2 B2g :1:::1
= P fX1 2 B1g P fX2 2 B2g
(ii) Se as variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são independentes, então funções de
famílias disjuntas das variáveis são também independentes. Por exemplo:
(a) X1 + X2 + X3 e e X4 são independentes.
(b) min(X1; X2) e max(X3; X4) são independentes.
(c) X1:X2 e X2 + X3 não são necessariamente independentes!
A proposição a seguir nos fornece o critério para independência de variáveis
aleatórias a partir da função de distribuição conjunta. Trata-se do critério de fa-
toração.
Proposição 5 (a) Se X1; X2; :::; Xn, n 2, são variáveis aleatórias independentes,
então
FX(x) = FX(x1; :::; xn) =
nY
i=1
FXi (xi) para todo (x1; :::; xn) 2 R n .
(b) Reciprocamente, se existem funções F1; F2; :::; Fn tais que limx!1 Fi(x) = 1
nY
para todo i e FX(x1; :::; xn) =
i=1
são variáveis aleatórias independentes e Fi = FXi
Prova. (Em aula)
Fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 R n então X1; X2; :::; Xn
30
para todo i = 1,2,...,n.

Proposição 6 (Critério para independência no caso contínuo)
(a) Se X1; X2; :::; Xn, n 2, são variáveis aleatórias independentes e possuem
densidades fX1; :::; fXn, então a função
nY
fX(x1; :::; xn) =
i=1
fXi (xi), (x1; :::; xn) 2 R n
é densidade conjunta das variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn.
(b) Reciprocamente, se X1; X2; :::; Xn têm densidade conjunta f satisfazendo
nY
fX(x1; :::; xn) = fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn onde fi(xi) 0 e R 1
1 fi(x)dx =
i=1
1 para todo i, então X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e fi é a
densidade de Xi para todo i = 1,2,...,n.
Prova. (Em aula)
Proposição 7 (a) Se F (x; y) é a função de distribuição conjunta de X e Y, então
a função de distribuição marginal de X é
FX(x) = lim
y!1 FX;Y (x; y) = FX;Y (x; +1).
(b) Se f(x; y) é a função de densidade conjunta de X e Y, então a função de
densidade marginal de X é
Prova. (Em aula)
Z 1
fX(x) = f(x; y)dy.
1
Exercício 34 Enuncie o resultado análogo da proposição anterior para o caso dis-
creto.
Exemplo 21 Dizemos que o vetor aleatório (X; Y ) possui distribuição normal bi-
variada quando tem densidade dada por
f(x; y) =
2
1
p
1 2 1 2 :
(
"
: exp
1
2 (1 2 )
x 1
1
31
2
2
x 1
1
y 2
2
+ y 2
2
2 #)

onde 1 > 0, 2 > 0, 1 < < 1, 1 2 R e 2 2 R. Mostre que se = 0, então X
e Y são independentes e X N( 1; 2 1) e Y N( 2; 2 2). (Se 6= 0, então X e Y
não são independentes, pois sua densidade conjunta não é produto das densidades
marginais.
Exemplo 22 Seja G 2 R n uma região tal que V olG > 0, onde V olG é o volume
n-dimensional de G, de modo que V olG = R R
::: 1dx1:::dxn. Dizemos que X =
G
(X1; X2; :::; Xn) é uniformemente distribuído em G se X tem densidade
fX(x1; :::; xn) =
1
V olG , se (x1; :::; xn) 2 G
0, se (x1; :::; xn) =2 G
2.6 Funções de Variáveis Aleatórias
2.6.1 Transformações Mensuráveis
Suponha que a entrada de um sistema é modelado por um vetor aleatório X e nosso
objetivo seja caracterizar a saída do sistema Y = g(X), onde g : R d ! R depende
das propriedades do sistema. A aplicação
( ; F) X ! (R d ; B d )
g
! (R; B)
de ( ; F) a (R; B) de…ne uma saída (output). Y é uma variável aleatória.
2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios
Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em ( ; A; P ), e considere o problema
de determinar a distribuição de Y = g(X), com g uma função mensurável. Então,
temos
FY (y) = P fY yg = P fg(X) yg
De…nindo By = f(x1; x2; :::; xn) : g(x1; x2; :::; xn) yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
32

ou seja, conhecendo a distribuição conjunta de X1; X2; :::; Xn, podemos obter a dis-
tribuição de qualquer função mensurável de X.
Observação 17 (a) Quando X é discreto, Y é também discreto e o problema torna-
se simples, pois
pY (y) = X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é contínuo, o problema é mais complexo pois Y pode ser discreto
ou contínuo.
Exemplo 23 Se X e Y são independentes, cada uma com distribuição uniforme em
[0,1], mostre que Z = X=Y tem função de distribuição
8
><
0, se z 0
z
FZ(z) =
, se 0 < z < 1
2
>: 1
1 , se z 1
2z
e função de densidade
fZ(z) = F 0
Z(z) =
8
0, se z 0
>< 1
, se 0 < z < 1
2
>:
1
, se z 1
2z2 Proposição 8 (a) Se X e Y têm densidade conjunta f(x; y), então a variável
aleatória Z = X + Y tem densidade dada por
Z 1
Z 1
fZ(z) = f(z t; t)dt = f(t; z t)dt.
1
(b) Se X e Y são independentes com densidades fX e fY então Z = X + Y tem
densidade dada por
Prova. (Em aula.)
Z 1
Z 1
fZ(z) = fX(z t)fY (t)dt = fX(t)fY (z t)dt.
1
1
33
1

Observação 18 Se f1 e f2 são densidades de variáveis aleatórias, sua convolução
f1 f2 é de…nida como
Z 1
f1 f2(x) = f1(x t)f2(t)dt.
1
Portanto, pela proposição anterior, se X e Y são independentes e absolutamente
contínuas, fX fY é a densidade da soma X + Y .
2.6.3 Método do Jacobiano
Sejam G0 R n e G R n duas regiões abertas e seja g : G0 ! G uma função
bijetora onde
g(x1; :::; xn) = (g1(x1; x2; :::; xn); :::; gn(x1; x2; :::; xn)) = (y1; :::; yn).
Então existe a função inversa h = g 1 en G, onde
x1 = h1(y1; :::; yn); :::; xn = hn(y1; :::; yn).
Suponha também que existam as derivadas parciais
@xi
@yj
= @hi(y1; :::; yn)
, 1 i; j n,
@yj
e que elas sejam contínuas em G. De…nimos o jacobiano J(x; y) pelo determinante
2
3
J(x; y) = @xi
@yj
6
= det 4
Pelo cálculo de várias variáveis, sabemos que se o jacobiano for não-nulo para todo
y 2 G, então
Z
Z
:::
A
Z
f(x1:::; xn)dx1:::dxn =
Z
:::
g(A)
@x1
@y1
.
@xn
@y1
. ..
@x1
@yn
.
@xn
@yn
f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x; y)j dy1:::dyn
para qualquer f integrável em A, onde A G0. Com isso, no contexto de probabil-
idade, temos o seguinte teorema:
34
7
5

Teorema 16 Sejam Y1; Y2; :::; Yn variáveis aleatórias transformadas, isto é, Yi =
gi(X1; X2; :::; Xn) para i=1,2,...,n. Então a densidade conjunta de Y1; Y2; :::; Yn é
fY(y1:::; yn) = fX(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x; y)j , y 2 G
0, y =2 G
onde fX é a função de densidade conjunta de X.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 24 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com dis-
tribuição exponencial com parâmetro 1, mostre que Z = X + Y e W = X
Y são
também independentes com densidades
e
fZ(z) = ze z , z > 0
0, z 0
8
< 1
, w > 0
fW (w) = (w + 1) 2
:
0, w 0
Observação 19 Seja a função g : R n ! R k com k < n. Então g não é bijetora.
Então para obtermos a distribuição de Y = g(X), basta:
(a) Completar a transformação g através de variáveis auxiliares convenientes:
Yk+1 = gk+1(X); :::; Yn = gn(X).
(b) Obter a conjunta de Y1; Y2; :::; Yn usando o método do jacobiano fY(y1:::; yn) =
f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x; y)j.
(c) Obter a marginal conjunta de Y1; Y2; :::; Yk como R 1
1 ::: R 1
1 fY(y1:::; yn)dyk+1:::dyn.
Exemplo 25 A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
fX;Y (x; y) = 1
(x + y)1(0;2](x)1(0;1](y).
3
35
.

Mostre que a densidade de Z = X + Y é dada por
8
z
><
fZ(z) =
>:
2
, 0 z < 1
z
3
, 1 z < 2
3
z(3 z)
, 2 z 3
3
0, caso contrário
Exemplo 26 (Jacobiano sem bijeção) Seja X uma variável contínua com densidade
fX(x) = 1
2 e jxj , 1 < x < 1. Mostre que a densidade de Y = X 2 é dada por
fY (y) = 1
2 p y e p y 1(0;1)(y).
Exemplo 27 Seja X uma variável contínua com densidade uniforme em [ 2; 5].
Encontre a densidade de Y = X 2 .
Exemplo 28 Seja X uma variável contínua com densidade
8
1
>< x, 0 x < 2
4
fX(x) = 1
, 2 x 6
>: 8
0, caso contrário
(a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X).
(b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular.
2.6.4 Estatísticas de Ordem
Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de distribuição FX, então
os Xi formam uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população
com distribuição FX. As Xi ordenadas crescentemente são estatísticas de ordem da
amostra e representamos X(1); X(2); :::; X(n) tais que
X(1)(!) X(2)(!) ::: X(n)(!)
Temos assim os seguintes resultados para as distribuições de estatísticas de ordem
para variáveis aleatórias contínuas.
36

Proposição 9 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX, então
fX (1);X (2);:::;X (n) (x1:::; xn) = n!fX(x1):::fX(xn) para x1 < x2 < ::: < xn
Prova. (Em aula.)
Proposição 10 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX, então
fX (k) (x) = n
Prova. (Em aula.)
n 1
k 1
fX(x) [FX(x)] k 1 n k
[1 FX(x)]
para x 2 R
Proposição 11 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX, então para k < l, temos
fX (k);X (l) (x; y) =
n(n 1)
para x < y.
n 2
k 1
Prova. (Em aula.)
n k 1
l k 1
fX(x)fX(y) [FX(x)] k 1 [FX(y) FX(x)] l k 1 n l
[1 FX(y)]
Corolário 1 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis-
tribuição FX e função de densidade fX, então a densidade conjunta de U = min1 i n Xi
e V = max1 i n Xi é dada por
fU;V (u; v) = n(n 1) [FX(v) FX(u)] n 2 fX(u)fX(v), u < v
0, caso contrário
Prova. (Em aula.)
37

Capítulo 3
Esperança Matemática
3.1 De…nição
De…nição 24 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição FX. A
esperança de X, denotada E(X), é de…nida como
E(X) =
quando a integral está bem de…nida.
Z1
1
xdFX(x) (3.1)
Observação 20 (a) '(x) = x é contínua. A integral (3.1) é de Riemann-Stieltjes.
Z1
(b) A esperança está bem de…nida se pelo menos uma das integrais xdFX(x)
ou
Z0
1
xdFX(x) for …nita.
Z1
(c) Se ambas as integrais xdFX(x) e
é integrável, ou seja, X é integrável se
0
E(jXj) =
Z1
1
Z0
1
xdFX(x) forem …nitas, dizemos que X
jxj dFX(x) < 1.
(d) Se X é uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto fx1; x2; x3; :::g
e com função de probabilidade p(xi) = P (X = xi), então
E(X) =
1X
xip(xi).
i=1
38
0

(e) Se X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
fX(x), então
então
E(X) =
Z1
1
xfX(x)dx
(f) Se X é tal que sua função de distribuição se decompõe F = Fd + Fac + Fs,
E(X) =
1X
xip(xi) +
i=1
Z1
1
xfX(x)dx +
Z1
1
xdFs(x).
Exercício 35 Um dado é lançado sucessivamente, até que a face 6 ocorra pela
primeira vez. Seja X a variável que conta o número de lançamentos até a ocorrência
do primeiro 6. Calcule a esperança de X.
Exercício 36 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
(a) Obtenha o valor de C.
(b) Obtenha a esperança de X.
(c) Ache P (jXj 1).
f(x) = C(9 x2 ), 3 x 3
0, caso contrário
3.1.1 Propriedades da Esperança Matemática
1. E(C) = C, onde C é uma constante.
2. Se a X b, então a E(X) b.
3. E(aX b) = aE(X) b.
4. E[X E(X)] = 0.
5. Se X Y , então E(X) E(Y ).
6. Se X é uma variável aleatória tal que 0 jXj Y , onde Y é variável aleatória
integrável, então X é integrável.
39

Exercício 37 Seja X uma variável aleatória simétrica em torno de , isto é, P fX
+ xg = P fX xg para todo x 2 R. Mostre que se X é integrável, então
E(X) = .
Observe pelo exercício seguinte, que sem a hipótese de integrabilidade, o resul-
tado não se veri…ca, pois:
Exercício 38 Seja X uma variável aleatória Cauchy com parâmetros M e b, isto
é, a densidade de X é dada por
f(x) =
b
[b 2 + (x M) 2 ]
para todo x 2 R, b > 0 e M 2 R. Mostre que M é ponto de simetria de X, mas
E(X) não existe.
Exercício 39 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição
uniforme em [0; 1]. Sejam Z = min(X; Y ) e W = max(X; Y ). Calcule E(Z) e
E(W ).
Proposição 12 (Desigualdade de Jensen) Seja ' uma função convexa de…nida na
reta. Se a variável aleatória X é integrável, então
Prova. (Em aula)
E['(X)] '[E(X)].
Observação 21 Se ' é uma função côncava, então E['(X)] '[E(X)]. (Mostre
isso!)
Exemplo 29 Pela desigualdade de Jensen, temos, por exemplo, que
(a) E [jXj] jE(X)j.
40

(b) E(X 2 ) E 2 (X).
(c) E jXj p
(d) E 1
X
(E jXj) p
1
EX .
jEXj p . onde p 1.
3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias
De…nição 25 Seja X uma variável aleatória e (x) uma função real mensurável.
Então a esperança da variável aleatória Y = (X) é dada por
E(Y ) =
Z1
1
ydF (X)(y).
A fórmula acima nem sempre é muito fácil de ser usada, pois devemos obter
a distribuição de Y a partir da distribuição da variável X e só então obter E(Y ).
No entanto é possível mostrar pela Teoria da Medida que a esperança da variável
aleatória Y = (X) é dada por
E (X) =
Z1
1
ydF (X)(y) =
Z1
1
(x)dFX(x)
onde a existência de uma das integrais implica a existência da outra bem como a
igualdade das duas. Ou seja,
E[ (X)] =
E[ (X)] =
3.3 Momentos
Z1
1
1X
i=1
(xi)p(xi) (se X é discreta)
(x)fX(x)dx (se X é contínua)
De…nição 26 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento or-
dinário da variável aleatória X, mk, como
mk = E(X k ) =
41
Z1
1
x k dFX(x).

Assim,
mk =
mk =
1X
i=1
1
Z
1
x k i P (X = xi) se X é v.a.d.
x k fX(x)dx se X é v.a.c.
De…nição 27 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento de
X em torno de b, Mk, como
E[(X b) k ] =
Z1
1
(x b) k dFX(x).
De…nição 28 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se o k-ésimo momento cen-
tral da variável aleatória X, Mk, como
Assim,
Mk =
Mk =
Mk = E[(X E(X)) k ].
1X
[xi E(X)] k P (X = xi) se X é v.a.d.
i=1
1
Z
1
[x E(X)] k fX(x)dx se X é v.a.c.
De…nição 29 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se a variância da variável
aleatória X, denotada por V ar(X) ou 2 X , como
V ar(X) = E[(X E(X)) 2 ].
Observação 22 Observe que V ar(X) = E[(X E(X)) 2 ] = E[X 2 2XE(X) +
E 2 (X)] = E[X 2 ] 2E 2 (X) + E 2 (X) = E(X 2 ) E 2 (X).
3.3.1 Propriedades da Variância
1. V ar(C) = 0, onde C é uma constante.
2. V ar(aX b) = a 2 V ar(X).
42

De…nição 30 De…ne-se o desvio-padrão da variável aleatória X, denotado por
DP (X) ou X, como
DP (X) = p V ar(X).
Observação 23 Pelas de…nições acima, vemos que
m1 = E(X)
M1 = 0
M2 = V ar(X) = m2 m 2 1.
Proposição 13 (Desigualdade básica de Markov) Seja X uma variável aleatória
não-negativa e seja > 0 uma constante. Então
Prova. Em aula.
P (X ) E(X) .
Proposição 14 (Desigualdade de Markov) Seja X uma variável aleatória qualquer
e seja > 0 uma constante. Então para todo t > 0,
Prova. Em aula.
P (jXj )
E jXjt
t .
Proposição 15 (Desigualdade Clássica de Tchebychev) Seja X uma variável aleatória
integrável e seja > 0 uma constante. Então
Prova. Em aula.
P (jX E(X)j )
V ar(X)
2 .
Exercício 40 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que P (X 0) = 1 e
P (X 10) = 1.
Mostre que E(X) 2.
5
43

Exercício 41 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que E(X) = 10,
P (X 7) = 0; 2 e P (X 13) = 0; 3. Prove que V ar(X) 9
2 .
Proposição 16 Se Z 0 e EZ = 0, então P fZ = 0g = 1, ou seja, Z = 0 quase
certamente.
Prova. Em aula.
Observação 24 A proposição acima implica que, quando V arX = 0, então X é
constante quase certamente, pois P fX = EXg = 1.
3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios
Teorema 17 Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em ( ; A; P ) e :
R n ! R mensurável a Borel. Então
E (X) =
Z1
1
ydF (X)(y) =
Z1
1
Z
:::
1
1
(x)dFX(x)
onde a última integral é uma integral n-dimensional de Stieltjes.
Prova. (Teoria da Medida)
Observação 25 (i) Se X for discreto tomando valores em fx1; x2; :::g temos
E (X) =
1X
i=1
(xi)pX(xi).
(ii) Se X for contínuo com densidade fX(x) temos
E (X) =
Z1
1
Z
:::
1
1
(x)fX(x)dx1:::dxn.
(iii) E[ 1(X) + ::: + n(X)] = E[ 1(X)] + ::: + E[ n(X)].
44

Proposição 17 Se X1; X2; :::; Xn
nY
são variáveis aleatórias independentes e integráveis,
então Xi é integrável e
i=1
Prova. (Em aula)
E [X1:X2:::Xn] =
nY
E[Xi].
O exemplo a seguir nos mostra que a recíproca da proposição anterior não é
sempre verdadeira, isto é, EXY = EX:EY não implica X e Y independentes.
Exemplo 30 Sejam X e Y variáveis aleatórias tomando valores 1; 0; 1 com dis-
tribuição conjunta dada por p( 1; 1) = p( 1; 1) = p(1; 1) = p(1; 1) = p(0; 0) =
1.
Então EXY = EX:EY , mas X e Y não são independentes, pois P (X = 0; Y =
5
0) 6= P (X = 0):P (Y = 0).
De…nição 31 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é de…nida como
i=1
Cov(X; Y ) = E [(X EX) (Y EY )]
= E [XY ] E [X] E [Y ]
Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas não-correlacionadas se Cov(X; Y ) =
0. Segue-se que variáveis aleatórias independentes são não-correlacionadas, mas
a recíproca não é necessariamente verdadeira.
Observação 26 Há certos casos em que não correlação implica em independência.
O caso mais importante é o da Normal: Se X e Y possuem distribuição conjunta nor-
mal bivariada e são não-correlacionadas, então = 0 e como vimos anteriormente
X e Y são independentes.
Proposição 18 A variância da variável aleatória Y = nP
Xi é dada por
V ar
" nX
i=1
Xi
#
=
i=1
nX
V ar [Xi] + 2 X
Cov(Xi; Xj).
i=1
45
i

Prova. (Em aula)
Corolário 2 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias não-correlacionadas, então
"
nX
#
nX
V ar = V ar [Xi] .
Prova. (Em aula)
i=1
De…nição 32 Dada uma variável aleatória X, a variável aleatória Z =
Xi
i=1
X EX
uma padronização de X (também chamada de redução ou normalização de X).
Observe que EZ = 0 e V arZ = 1.
De…nição 33 Chama-se coe…ciente de correlação entre X e Y, denotado por
X;Y ou (X; Y ), a correlação entre as sua variáveis padronizadas, isto é,
X;Y =
Cov(X; Y )
X: Y
= E
X EX
X
Y EY
Exercício 42 Mostre que (X; Y ) = (aX + b; cY + d) para a > 0 e c > 0.
X e Y.
A proposição seguinte nos informa que X;Y representa a dependência linear entre
Proposição 19 Sejam X e Y variáveis aleatórias com variâncias …nitas e positivas.
Então:
(i) 1 X;Y 1.
(ii) X;Y = 1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a > 0 e b 2 R.
(iii) X;Y = 1 se e somente se P fY = aX + bg = 1 para algum a < 0 e b 2 R.
Prova. (Em aula)
Proposição 20 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) E jXY j p EX 2p EY 2 .
Prova. (Em aula)
46
Y
.
X
é

3.5 A Função Geratriz de Momentos
De…nição 34 Seja X uma variável aleatória. De…ne-se a função geratriz de
momentos de X, mX(t), como
Assim,
mX(t) =
mX(t) =
mX(t) = E[e tX ], com t 2 R.
1X
e txiP (X = xi) se X é v.a.d.
i=1
1
Z
1
e tx fX(x)dx se X é v.a.c.
Propriedades da Função Geratriz de Momentos
1. mX(0) = E[e 0 ] = E[1] = 1.
2. Se X tem função geratriz de momentos mX(t) e se Y = aX + b, então
mY (t) = e bt mX(at).
3. Se X tem função geratriz de momentos mX(t), então
ou seja
dk dtk mX(t) = E[X
t=0
k ].
d k
dt k mX(0) = mk (o k-ésimo momento ordinário de X).
4. A função geratriz de momentos de…ne de forma unívoca a distribuição da
variável aleatória, ou seja, dada m(t) existe apenas uma função de distribuição F (x)
que a gera. No entanto, se mX(t) = mY (t), então podemos apenas a…rmar que as
variáveis X e Y têm a mesma distribuição, mas X e Y podem ser diferentes com
probabilidade 1. Para ver isto, suponha que X N (0; 1) e seja Y = X. Então
Y N (0; 1) e, portanto, mX(t) = mY (t), mas P (X = Y ) = P (X = X) = P (X =
0) = 0, ou seja P (X 6= Y ) = 1.
47

De…nição 35 Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório. De…ne-se a função
geratriz de momentos de X, mX(t1; :::; tn), como
mX(t1; :::; tn) = E[exp ft1X1 + ::: + tnXng], com (t1; :::; tn) 2 R n .
Observação 27 (i) mX(0; :::; 0) = E[e 0 ] = E[1] = 1.
(ii) Se X tem função geratriz de momentos mX(t1; :::; tn), então
@ k1+k2+:::+kn
@t k1
1 @t k2
2 :::@t kn
n
mX(t1; t2; :::; tn)
t=0
= E[X k1
1 X k2
2 :::X kn
n ].
Exercício 43 Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos de
uma moeda honesta até que ocorra a primeira cara. Ache a função geratriz de
momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X).
Exercício 44 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por
(
1 x
e 5 , se x 0
fX(x) = 5
0, caso contrário
Ache a função geratriz de momentos de X e use-a para calcular E(X) e V ar(X).
Exercício 45 Suponha que X seja uma variável aleatória com função geratriz de
momentos dada por
Ache a esperança e a variância de X.
mX(t) = e t2 +3t , 1 < t < 1.
Exercício 46 Seja Y uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por
fY (y) = ye y , se y > 0
0, caso contrário
Ache a função geratriz de momentos de Y e use-a para calcular E(Y ) e V ar(Y ).
48

Teorema 18 Sejam X1; X2; :::; Xn v.a.’s independentes e para i = 1; 2; :::; n, seja
mXi (t) a função geratriz de momentos de Xi. Seja Y = X1 + X2 + ::: + Xn, então
para todo valor de t tal que mXi (t) existe para i = 1; 2; :::; n, temos
Prova. (Em aula.)
mY (t) =
nY
i=1
mXi (t).
Exercício 47 Suponha que X e Y sejam independentes e identicamente distribuídas
e que a f.g.m. de cada uma seja dada por
mX(t) = mY (t) = e3t
, para t > 1=2.
1 + 2t
Ache a f.g.m. da variável aleatória Z = 3X Y + 4.
Exemplo 31 Suponha um experimento realizado uma única vez tendo probabilidade
p de sucesso e q = 1 p de fracasso. Denote a variável aleatória X = 0 se fra-
casso ocorre e X = 1 se sucesso ocorre. Então a variável aleatória X é dita ter
distribuição de Bernoulli com parâmetro p, representado por X Ber(p), e sua
função de probabilidade é dada por
Assim se X Ber(p), então
P (X = x) = p x (1 p) 1 x , x = 0; 1.
mX(t) = pe t + q,
E(X) = p,
V ar(X) = pq.
Exemplo 32 Sejam n ensaios independentes de Bernoulli, cada um tendo a mesma
probabilidade p de sucesso e q = 1 p de fracasso. Seja X a variável aleatória que
49

conta o número de sucessos nas n realizações. A variável aleatória X é dita ter
distribuição Binomial com parâmetros n e p, denotado por X B(n; p), e sua
função de probabilidade é dada por
P (X = x) = n
x
(a) Se X B(n; p), então
(b) Se Xi
::: + Xn B(n; p).
p x q n x , x = 0; 1; 2; 3; :::; n.
mX(t) = (pe t + q) n ,
E(X) = np,
V ar(X) = npq.
Ber(p), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 +
(c) Se Xi B(ni; p), para i = 1; 2; :::; k, independentes, então X = X1 + X2 +
::: + Xk B( P k
i=1 ni; p).
Exemplo 33 Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo
a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1 p de fracasso. Seja X a variável
aleatória que conta o número de realizações até que o primeiro sucesso ocorra. A
variável aleatória X é dita ter distribuição Geométrica com parâmetro p, deno-
tado por X Geo(p), e sua função de probabilidade é dada por
Assim, se X Geo(p), então
P (X = x) = q x 1 p, x = 1; 2; 3; 4; :::
mX(t) =
pet ,
1 qet para t < ln q
E(X) = 1
p ,
V ar(X) = q
.
p2 50

Exercício 48 As cinco primeiras repetições de um experimento custam R$ 10; 00
cada. Todas as repetições subseqüentes custam R$ 5; 00 cada. Suponha que o experi-
mento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso
de uma repetição é igual a 0; 9, e se as repetições são independentes, qual é custo
esperado da operação?
Exemplo 34 Sejam ensaios sucessivos e independentes de Bernoulli, cada um tendo
a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1 p de fracasso. Seja X a variável
aleatória que conta o número de realizações até que o r-ésimo sucesso ocorra. A
variável aleatória X é dita ter distribuição Binomial Negativa com parâmetros
r e p, denotado por X BN(r; p), e sua função de probabilidade é dada por
P (X = x) =
x 1
r 1
Para entender o resultado acima, observe que se Xi
p r q x r , x = r; r + 1; r + 2; r + 3; :::.
independentes então X = X1 + X2 + ::: + Xr BN(r; p).
Assim, se X BN(r; p), então
mX(t) =
E(X) = r
p ,
V ar(X) = rq
.
p2 pe t
1 qe t
r
, para t < ln q
Geo(p), para i = 1; 2; :::; r,
Exercício 49 Deseja-se colocar três satélites em órbitas em torno da terra. Em
cada tentativa, a probabilidade de um bem sucedido lançamento de satélite é de 0; 8.
Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que os três satélites entrem
em órbita.
(a) Qual é a probabilidade de que exatamente 5 tentativas sejam necessárias?
(b) Qual o número esperado de lançamentos até que isso ocorra?
51

Exemplo 35 Seja X uma variável aleatória de…nida em f0; 1; 2; 3; :::g tendo função
de probabilidade dada por
P (X = x) = e
x!
x
, para x = 0; 1; 2; 3; ::: e > 0.
Então X é dita ter distribuição de Poisson de parâmetro , X P( ).
(a) Se X P( ), então
mX(t) = e (et 1) ,
E(X) = ,
V ar(X) = .
(b) Se Xi P( i), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 + ::: +
Xn P( P n
i=1 i).
(c) Quando temos agora um processo fXtg t 0 que conta o número de ocorrências
no intervalo [0; t], então dizemos que Xt é um processo de Poisson se sua distribuição
em [0; t] é P( t), ou seja,
P (Xt = x) = e t ( t) x
x!
, para x = 0; 1; 2; 3; ::: e > 0.
Exercício 50 O número de petroleiros que chegam a uma re…naria em cada dia
ocorre a uma taxa média de 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a
três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a
outro porto.
(a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a
todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
Exemplo 36 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição uniforme no inter-
valo [a; b], denotado por X U[a; b] se sua função de densidade de probabilidade é
52

dada por
Assim, se X U[a; b], então
(
1
, se a x b
fX(x) = b a
0, caso contrário.
mX(t) = ebt e at
t(b a) .
Exemplo 37 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição exponencial com
parâmetro , denotado por X Exp( ), se a função de densidade de probabilidade
de X é dada por
fX(x) =
(a) Assim se X Exp( ) então
mX(t) =
E(X) = 1
V ar(x) = 1 2
e x , x 0
0, caso contrário
t
, para t <
(b) Se Xt é um processo de Poisson com parâmetro t e T é a variável aleatória
representando o tempo de espera entre as ocorrências do processo Xt, então T
Exp( ).
Exercício 51 Suponha que a vida útil de certo tipo de lâmpada tenha distribuição
exponencial com parâmetro = 3, quando a vida é expressa em dias. Uma lâmpada
solitária é ligada em uma sala no instante t=0. Um dia depois, você entra na sala
e …ca ali durante 8 horas, saindo no …nal desse período.
(a) Qual a probabilidade de que você entre na sala quando já está escura?
(b) Qual a probabilidade de você entrar na sala com a lâmpada ainda acesa e sair
depois de a lâmpada queimar?
53

Exemplo 38 Diz-se que X Gama( ; ), se sua f.d.p. é dada por
f(x) = ( ) x 1 exp [ x] para x > 0,
onde ( ) = R 1
0 x 1 e x dx, lembrando que ( ) = ( 1) ( 1) de modo que se
n 2 N, então (n) = (n 1)!. Além disso, temos ( 1
2 ) = p .
(a) Assim, se X Gama( ; ), então
mX(t) =
E(X) =
V ar(x) = 2
t
, para t <
(b) Se Xi Gama( i; ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 +
X2 + ::: + Xn Gama( P n
i=1 i; ).
(c) Se Xi Exp( ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 +
::: + Xn Gama(n; ).
Exemplo 39 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição Qui-Quadrado com
2 n graus de liberdade (X n) se X Gama( n 1 ; 2 2 ).
Y
2
n.
(a) Assim, se X
(b) Se Xi
2 n, então
mX(t) =
E(X) = n
V ar(x) = 2n
1
1 2t
n
2
, para t < 1
2
2
1, para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1+X2+:::+Xn
2 (c) Se X + Y = Z, com X e Y independentes com X n1 e Z 2
n1+n2 , então
2 n2 .
54

Exemplo 40 Diz-se que a variável aleatória Z tem distribuição normal (ou Gaus-
siana) padrão com média zero e variância 1, denotado por Z N (0; 1), se a função
de densidade de probabilidade de Z é dada por
(a) Assim, se Z N (0; 1), então
fZ(z) = 1
p 2 e z2
2 , 1 < z < 1
mZ(t) = e t2
2
E(Z) = 0
V ar(Z) = 1
(b) Se Z N (0; 1), então Y = Z 2 2 1.
(c) Se Zi
::: + Z 2 n
2
n.
N (0; 1), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então Y = Z 2 1 + Z 2 2 +
Exemplo 41 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição normal (ou Gaus-
siana) com média e variância 2 , denotado por X N ( ; 2 ), se a função de
densidade de probabilidade de X é dada por
fX(x) = 1 p 2 e
(a) Se X N ( ; 2 ), então Z = X
(b) Assim, se X N ( ; 2 ), então
mX(t) = e
E(X) =
V ar(X) = 2 .
(x )2
2 2 , 1 < x < 1
N (0; 1).
t+ 1
2 2 t 2
(c) Se Xi N ( i; 2 i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 +
::: + Xn N ( P n
i=1 i; P n
i=1
2
i ).
55

(d) Se Xi N ( ; 2 ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = X1 + X2 +
::: + Xn N (n ; n 2 ).
N ( ;
(e) Se Xi N ( ; 2 ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então Xn = X1+X2+:::+Xn
2
n
n ).
(f) Se Xi N ( i; 2 i ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então X = a1X1 +
a2X2 + ::: + anXn + b N ( P n
i=1 ai i + b; P n
i=1 a2 i
(g) Se Xi N ( ; 2 ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então (n 1)S 2
2
n 1, onde S2 =
P n
i=1 Xi Xn
n 1
2
2
i ).
(a variância amostral). Observe também que
E (S 2 ) = 2 , daí a correção da variância amostral para a divisão dos desvios-
quadráticos por n 1 ao invés de n.
Exemplo 42 A distribuição dos comprimentos dos elos da corrente de bicicleta é
normal, com média 2 cm e variância 0; 01 cm 2 . Para que uma corrente se ajuste à
bicicleta, deve ter comprimento total entre 58 e 61 cm. Qual é a probabilidade de
uma corrente com 30 elos não se ajustar à bicicleta?
Exercício 52 As durações de gravidez têm distribuição normal com média de 268
dias e desvio-padrão de 15 dias.
(a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade
de que a duração de sua gravidez seja inferior a 260 dias.
(b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta es-
pecial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos
de duração de suas gravidezes terem média inferior a 260 dias (admitindo-se que a
dieta não produza efeito).
(c) Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de
preocupação para os médicos de pré-natal? Justi…que adequadamente.
56
2

Exercício 53 O peso de uma determinada fruta é uma variável aleatória com dis-
tribuição normal com média de 200 gramas e desvio-padrão de 50 gramas. Determine
a probabilidade de um lote contendo 100 unidades dessa fruta pesar mais que 21 kg.
Exercício 54 Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um peso total
de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos
são normalmente distribuídos com média 165 libras e desvio-padrão de 10 libras,
qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10 homens
escolhidos aleatoriamente?
Exemplo 43 Um vetor X = (X1; X2; :::; Xn) T é dito ter distribuição normal multi-
variada com média = ( 1; 2; :::; n) T 2R n e matriz de covariância = [ ij] onde
ij = Cov(Xi; Xj) com matriz simétrica n n positiva de…nida e não-singular,
se a função de densidade de X é dada por
(
1
1
fX(x) = exp
2 x
(2 ) n
2 j j 1
2
(a) Se X N ( ; ), então
mX(t) = exp
T
1 x
T t+ 1
2 tT t .
)
, para x 2R n .
(b) Quando n = 2, então X = (X1; X2) T é dito ter distribuição normal bivariada
e sua densidade é dada por
=
fX(x1; x2)
2
1
p
1 2 1 2 :
(
"
: exp
1
2 (1 2 )
x1 1
1
2
2
x1 1
1
x2 2
2
+ x2 2
onde 2 1 = V ar(X1) > 0, 2 2 = V ar(X2) > 0, 1 < < 1 com = (X1; X2) o
coe…ciente de correlação entre X1 e X2, 1 = E(X1) 2 R e 2 = E(X2) 2 R. Assim
mX(t1; t2) = E e t1X1+t2X2
(
= exp 1t1 + 2t2+ 1
2X 2X
)
titj ij
2
57
i=1
j=1
2
2 #)

onde = [ ij] onde ij = Cov(Xi; Xj).
(b.1) A f.g.m de X1 é dada por
mX1(t1) = mX(t1; 0)
= exp 1t1+ 1
2 t2 1 11
= exp 1t1+ 1
2 t2 1 2 1
Logo a marginal de X1 é normal com média 1 e variância 2 1.
(b.2) A f.g.m de X2 é dada por
mX2(t2) = mX(0; t2)
= exp 2t2+ 1
2 t2 2 22
= exp 2t2+ 1
2 t2 2 2 2
Logo a marginal de X2 é normal com média 2 e variância 2 2.
Exemplo 44 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição Beta com parâmet-
ros e ( > 0 e > 0), denotado por X Beta( ; ),se a função de densidade
de probabilidade de X é dada por
8
<
fX(x) =
:
( + )
( ) ( ) x 1 (1 x) 1 , 0 < x < 1
0, c.c.
(a) Assim, R 1
0 x 1 (1 x) 1 dx = ( ) ( )
( + ) .
(b) Se X Beta( ; ), então
E(X) =
+
V ar(X) = ( + ) 2 ( + + 1) .
(A função geratriz de momentos não é útil nesse caso.)
(c) Se X Beta(1; 1), então X U (0; 1).
58

Exemplo 45 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição t-Student com n
graus de liberdade, denotado por X tn Student,se a função de densidade de
probabilidade de X é dada por
fX(x) =
( n+1
2 )
(n ) 1=2
( n
x2
+
)(1 2
n ) (n+1)=2 , para x 2 R
(a) Se X t1 Student, então X é dita ter distribuição de Cauchy-Padrão.
Assim se X Cauchy P adr~ao, então
fX(x) =
1
(1 + x2 , para x 2 R
)
Observação: Já vimos que se X Cauchy P adr~ao, então X não possui média.
Logo não existe esperança matemática para a distribuição t-Student com 1 grau de
liberdade.
(b) Se Z N (0; 1) e W 2 n são variáveis aleatórias independentes, então
X =
Z
W
n
1=2
tn Student.
h
(c) Se X tn Student, com n > 1, então E jXj ki
< 1 para k < n e
h
E jXj ki
= 1 para k n. Em outras palavras, os primeiros n 1 momentos
existem, mas os momentos de ordem superior a n 1 não existem. Com isso, X
não possui função geratriz de momentos. Além disso, para n > 1,
N ( ;
n
) e (n 1)S2
2
E [X] = 0
V ar [X] =
n
n 2 .
2 (d) Se Xi N ( ; ), para i = 1; 2; :::; n, independentes, então vimos que Xn
2
2
n 1, onde Xn = X1+X2+:::+Xn e S n
2 Pn i=1
=
Xi
2
Xn
n 1
Pode-se mostrar que Xn e S 2 são independentes. Com isso, tendo em mente que
Xn
p n
N (0; 1) e
59
(n 1)S2
2
2
n 1
.

temos
Assim
T =
Xn
p n
0
(n 1)S
B
@
2 1
n
2
1
C
A
T = Xn
S
p n
1=2
= Xn
p n
tn 1 Student.
: S = Xn
S
p n
Exercício 55 Seja X1; X2; :::; Xn uma amostra aleatória retirada de uma população
com distribuição normal com média e variância 2 . Então:
(a) Se é desconhecida e 2 é conhecida, o intervalo de con…ança para a média
populacional com 1 de probabilidade ( é dito o nível de con…ança) é dado por
P Xn p n z =2 Xn + p n z =2 = 1 .
onde z =2 é o valor encontrado na tabela da normal padrão tal que 1 =2 = P (Z
z =2).
(b) Se é desconhecida e 2 é desconhecida, o intervalo de con…ança para a
média populacional com 1 de probabilidade ( é dito o nível de con…ança) é
dado por
P Xn
S
p n tn 1; =2 Xn + S p n tn 1; =2 = 1 .
onde tn 1; =2 é o valor encontrado na tabela da t-Student com n 1 graus de liberdade
tal que 1 =2 = P (T tn 1; =2).
(c) O intervalo de con…ança para 2 é dado por
P
(n 1)S 2
2
n 1;1 =2
2 (n 1)S 2
2
n 1; =2
!
= 1 .
onde 2 n 1; =2 é o valor encontrado na tabela da Qui-Quadrado com n 1 graus de
liberdade tal que =2 = P ( 2 n 1; =2 ).
60

Exempli…cação do resultado acima: Suponha que o peso de um determi-
nado produto produzido por uma fábrica tenha distribuição normal com média e
variância 2 ambas desconhecidas. Uma amostra aleatória de tamanho 10 dessa
produção é retirada tendo sido obtidos os seguintes resultados: P 10
i=1 xi = 159 e
P 10
i=1 x2 i = 2531. Assim, temos
xn = 15; 9 e s = 0; 57.
Desejamos construir um intervalo de con…ança para e 2 com 95% de con…abili-
dade. Então para temos
Assim:
P 15; 9
P x10
Agora para 2 temos
S
p 10 t9;0;25 x10 + S
p 10 t9;0;975 = 0; 95
0; 57
0; 57
p (2; 262) 15; 9 + p (2; 262) = 0; 95
10 10
P
P (15; 49 16; 31) = 0; 95.
9s 2
2
9;0;975
2
9s 2
2
9;0;025
= 0; 95
Os valores tabelados são: 2 9;0;975 = 19; 0 e 2 9;0;025 = 2; 7. Com isso
ou seja
P
9 (0; 57) 2
19
P 0; 15
2
2
9 (0; 57) 2
!
= 0; 95
2; 7
1; 07 = 0; 95.
Exemplo 46 Diz-se que a variável aleatória X tem distribuição F-Snedecor com
m e n graus de liberdade, denotado por X F (m; n), se a função de densidade de
probabilidade de X é dada por
8
<
fX(x) = (
:
m n ) ( 2
0, c.c.
1(m
+ n)
2
2 ) mm=2nn=2 (m=2) 1 x
(mx + n)
61
(m+n)=2 , para x > 0

(a) Se U 2 m e V 2 n são variáveis independentes, então
X = U=m
V=n
F (m; n).
Com isso m é o grau de liberdade do numerador e n o do denominador.
X =
(b) Se X F (m; n), então Y = 1
X
F (n; m).
(c) Se X tn Student, então Y = X 2 F (1; n). (Basta ter em mente que
Z
W
n
1=2 onde Z N (0; 1) e W 2 n independentes e que X 2 =
Z 2 2 1 e W 2 n também independentes.)
(d) Se X F (m; n), então
E [X] =
n
, se n > 2.
n 2
V ar [X] = 2n2 (m + n
m(n 2)
2)
2 (n
, se n > 4.
4)
Z 2
1
W
n
com
(e) Se X1; X2; :::; Xn1 uma amostra aleatória retirada de uma população com dis-
tribuição normal com média 1 e variância 2 1 ambas desconhecidas e se Y1; Y2; :::; Yn2
uma amostra aleatória retirada de uma outra população com distribuição normal com
média 2 e variância 2 2 também ambas desconhecidas, e se as duas amostras são
independentes então
onde S 2 1 =
(n1 1)S 2 1
2
1
Pn1 i=1 Xi Xn1
n1 1
2
(n1 1)S 2 1
2
1
n1 1
(n2 1)S 2 2
2
2
n2 1
2
n1 1 e (n2 1)S2 2
2
2
e S2 Pn2 i=1
2 =
Yi
n2
Yn2
1
= S2 1
S2 :
2
2
2
2
1
2
2
n2 1
F (n1 1; n2 1)
independentes. Assim
Exercício 56 Se X1; X2; :::; Xn1 uma amostra aleatória retirada de uma população
com distribuição normal com média 1 e variância 2 1 ambas desconhecidas e se
62

Y1; Y2; :::; Yn2 uma amostra aleatória retirada de uma outra população com distribuição
normal com média 2 e variância 2 2 também ambas desconhecidas, e se as duas
amostras são independentes então o intervalo de con…ança para a razão
variâncias populacionais com 1 de probabilidade é dada por
P S2 2
S2 F(n1 1;n2 1); =2
1
2
2
2
1
S2 2
S2 F(n1 1;n2 1);1 =2 = 1 .
1
2
2
2
1
entre as
Exempli…cação do resultado acima: Suponha que tenhamos retirado duas
amostras de duas populações onde n1 = 5, P5 i=1 (xi x5) 2 = 8; 24, n2 = 3,
P3 i=1 (yi y5) 2 = 3; 42, Assim S2 1 = 8;24
4 = 2; 06 e S2 2 = 3;42
2 = 1; 71. Os valores
tabelados ao nível de signi…cância de 10% ( = 0; 1) é dado por
tendo em mente que
Assim
F(4;2);0;95 = 19; 25, F(4;2);0;05 =
P
F(n1 1;n2 1); =2 =
1; 71
(0; 1441)
2; 06
2
2
2
1
P 0; 1196
1
F(2;4);0;95
1
= 1
6; 94
F(n2 1;n1 1);1 =2
.
= 0; 1441
1; 71
(19; 25) = 0; 90
2; 06
2
2
2
1
15; 98 = 0; 90.
Como 1 pertence ao intervalo de con…ança para a razão entre as variâncias, não há
evidência de que as populações tenham variâncias diferentes com 90% de con…abili-
dade.
3.6 Lista
Questão 1) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com densidade Gama
de parâmetros ( ; ) e ( ; ), respectivamente. Mostre que:
63

(a) W = X
X+Y
tem densidade Beta de parâmetros ( ; ).
(b) T = X + Y tem densidade Gama de parâmetros ( + ; ).
(c) W e T são independentes.
Questão 2) Sendo X N(0; 1) e Y 2 n independentes, mostre que T = X q Y
n
tem distribuição t-Student com n graus de liberdade.
Questão 3) Sendo X 2 m e Y 2 n independentes.
de liberdade.
(a) Mostre que W = (X=m)
(Y=n)
(b) Ache a distribuição de 1
W .
(c) Mostre que V = m
n W
1+ m
n
tem distribuição F-Snedecor com (m; n) graus
W tem distribuição Beta.
Questão 4) Considere X1; X2; :::; Xn variáveis aleatórias independentes com
densidade Exp( i), i = 1; 2; :::; n. Mostre que P fXk = min(X1; X2; :::; Xn)g =
k
P n
i=1 i .
Questão 5) Certo supermercado tem duas entradas, A e B. Fregueses entram
pela entrada A conforme um processo de Poisson com taxa média de 15 fregueses
por minuto. Pela entrada B, entram fregueses conforme outro processo de Poisson,
independente do primeiro, a uma taxa média de 10 por minuto.
(a) Seja Xt o número total de fregueses que entram no supermercado até o
instante t (inclusive), para t 0. Obtenha a distribuição de Xt.
(b) Seja T1 o tempo em que o primeiro freguês entra pela entrada A e V1
o tempo em que o primeiro freguês entra pela entrada B. Ache a distribuição de
min (T1; V1), o mínimo dos dois tempos.
(c) Determine a probabilidade de que o primeiro freguês a entrar no mercado
entre pela entrada A.
64

Capítulo 4
Distribuição e Esperança
Condicionais
Seja X uma variável aleatória em um espaço de probabilidade ( ; A; P ), e seja A
um evento aleatório tal que P (A) > 0. De…nimos a distribuição condicional de X
dado o evento A por
P (X 2 B j A) =
P ([X 2 B] \ A)
P (A)
para B 2 B, a -álgebra dos borelianos da reta. Os axiomas abaixo se veri…cam
Axioma 1) P (X 2 B j A) 0.
Axioma 2) P (X 2 R j A) = 1.
Axioma 3) Se B1; B2; ::: são borelianos disjuntos dois a dois, então P (X 2
1[
1X
Bi j A) = P (X 2 Bi j A).
i=1
i=1
A função de distribuição associada à distribuição condicional é chamada função
de distribuição condicional de X dado A:
FX(x j A) = P (X x j A) =
P ([X x] \ A)
, x 2 R.
P (A)
A esperança condicional de X dado A é a esperança da distribuição condicional
65

de…nida por
se esta esperança existe.
E(X j A) =
= E [X:1A]
=
Z 1
xdFX(x j A)
1
E [1A]
1
P (A) E [X:1A] ,
Observe, pelo Teorema da Probabilidade Total, que
P (X 2 B) = X
P (An)P (X 2 B j An), para todo B 2 B.
E [X] =
n
FX(x) = X
P (An)P (X x j An)
n
= X
P (An)FX(x j An), para todo x 2 R.
n
Z 1
Z " #
1 X
xdFX(x) = xd P (An)FX(x j An)
1
= X
P (An)
n
1
n
Z 1
xdFX(x j An) = X
P (An)E(X j An).
1
Exemplo 47 Seja X U [ 1; 1] e sejam A1 = [X 0] e A2 = [X < 0]. Pede-se
(a) A distribuição condicional de X dado A1.
(b) A distribuição condicional de X dado A2.
(c) E(X j An) para n = 1; 2.
Exemplo 48 Seja X uma variável aleatória exponencial com parâmetro . Encon-
tre E [X j X > 2].
Se X e Y são v.a.’s discretas, a função de probabilidade condicional de X dado
Y = y é de…nida para todo y tal que P (Y = y) > 0 como
P fX = xjY = yg =
66
n
P fX = x; Y = yg
.
P fY = yg

A função de distribuição condicional de X dado Y = y é de…nida como
F (xjy) = P fX xjY = yg
e a esperança condicional de X dado Y = y como
E [XjY = y] =
Z1
1
xdF (xjy) = X
xP fX = xjY = yg .
Se X e Y têm função de densidade conjunta fX;Y (x; y), a função de densidade
condicional de X dado Y = y é de…nida para todo y tal que fY (y) > 0 como
f(xjy) = fX;Y (x; y)
fY (y)
e a função de distribuição condicional de X dado Y = y é de…nida como
F (xjy) = P fX xjY = yg =
x
Zx
1
f(tjy)dt:
A esperança condicional de X dado Y = y é de…nida, neste caso, como
E [XjY = y] =
Z1
1
xdF (xjy) =
Z1
1
xf(xjy)dx.
Observação 28 Qualquer que seja a natureza das variáveis aleatórias X e Y , temos
portanto
E [XjY = y] =
Z1
1
xdF (xjy) .
Proposição 21 Os seguintes resultados envolvendo esperanças condicionais se ver-
i…cam:
(a) E [X] =
1R
1
(b) P (X 2 B) =
(c) FX(x) =
1R
1
Prova. (Em aula.)
E (XjY = y) dFY (y).
1R
1
P (X 2 B j Y = y)dFY (y), para todo B 2 B.
FX (xjY = y) dFY (y).
67

Observação 29 Para qualquer função mensurável, de…nimos
E [ (X)jY = y] =
Z1
Exemplo 49 Sejam X e Y com densidade conjunta
fX;Y (x; y) =
Calcule E [XjY ] e E [X].
1
(x)dFX (xjy) :
6xy(2 x y), 0 < x < 1 e 0 < y < 1
0, caso contrário
Exemplo 50 Sejam X e Y com densidade conjunta
fX;Y (x; y) =
Calcule E e X=2 jY e E e X=2 jY = 1 .
1
2ye xy , 0 < x < 1 e 0 < y < 2
0, caso contrário
Proposição 22 E [XjY ] é uma função da variável aleatória Y (e portanto ela
própria uma v.a.) que assume o valor E [XjY = y] para Y = y. A esperança condi-
cional tem as seguintes propriedades:
(1) E [ (X)] = E fE [ (X)jY ]g.
(2) E nP
i=1
i (Xi)jY = y = nP
i=1
(3) Se 0 então E [ (X)jY ] 0.
(4) E [g(X; Y )jY = y] = E [g(X; y)jY = y].
iE [ (Xi)jY = y] onde i 2 R para todo i.
(5) E [ (X)jY = y] = E [ (X)] se X e Y são independentes.
(6) E [g(X)h(Y )jY = y] = h(y)E [g(X)jY = y].
(7) E [g(X)h(Y )] = E fh(Y )E [g(X)jY ]g.
(8) E [ jY = y] = onde 2 R.
(9) E [ (Y )jY = y] = (y).
(10) E [XjY ] = E fE [XjW; Y ] jY g.
(11) Se X1 X2, então E [X1jY ] E [X2jY ].
68

(12) (Desigualdade de Jensen) Seja uma função convexa. Então E [ (X)jY ]
fE [XjY ]g.
Prova. (Em aula.)
De…nição 36 De…nimos V ar [XjY ] = E [X E(XjY )] 2 jY .
Proposição 23 (a) V ar [XjY ] = E [X 2 jY ] [E(XjY )] 2 .
(b) V ar [X] = E fV ar [XjY ]g + V ar fE(XjY )g.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 51 Seja X U [0; 1]. Se X = x, então uma moeda com probabilidade x
de sair cara é lançada n vezes independentemente. Seja Y a v.a. que representa o
número de caras obtidas. Encontre a distribuição de Y , a esperança de Y , e mostre
que E(Y ) = E [E(Y jX)].
Exemplo 52 Seja X v.a.d. tomando valores 1; 2; 3; ... com probabilidades respecti-
vas p1; p2; p3; ::: Se X = n, um número Y real não-negativo é selecionado de acordo
com uma função de densidade de probabilidade fn(y). Pede-se
(a) A densidade de Y .
(b) Calcule P (1 X + Y 3).
Exemplo 53 Considere partículas que chegam a um contador segundo um processo
de Poisson com parâmetro > 0. Seja Xt o número de partículas que chegam até o
tempo t > 0 e seja T1 o tempo de chegada da primeira partícula. Dado que chegou
exatamente uma partícula até t, qual a distribuição do seu tempo de chegada? Qual
a esperança condicional do tempo de chegada da primeira partícula, dado que chegou
exatamente uma partícula até t?
69

Exemplo 54 Seja o vetor aleatório (X; Y ) com distribuição normal bivariada, isto
é, sua densidade conjunta é dada por
f(x; y) =
2
1
p
1 2 1 2 :
(
"
: exp
1
2 (1 2 )
x 1
1
2
2
x 1
1
y 2
2
+ y 2
onde 1 > 0, 2 > 0, 1 < < 1, 1 2 R e 2 2 R. Vimos que X N( 1; 2 1) e
Y N( 2; 2 2). Mostre que XjY = y N( 1 + 1
2 (y 2); 2 1 (1 2 )) e portanto
E [XjY = y] = 1 + 1
2 (y 2) e V ar(XjY = y) = 2 1 (1 2 ). Mostre também
que Cov(X; Y ) = 1 2 e portanto é o cor…ciente de correlação entre X e Y .
Exemplo 55 Sejam X e Y v.a.’s independentes tais que X U [0; 2] e Y
U [ 1; 1].
(a) Calcule E [XjX + Y 2].
(b) Calcule E [XjX + Y ].
(c) Calcule E [XjX + Y = 2].
Exemplo 56 Seja X1; X2; :::.uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas e seja N uma variável aleatória inteira e não-negativa in-
dependente da seqüência X1; X2; :::. Seja Y = NP
Xi. Mostre que E [Y ] = E [N] E [X]
e V ar [Y ] = E [N] V ar [X] + E 2 [X] V ar [N].
Exemplo 57 Sejam Y1; Y2; :::; Yn v.a. ’s não-negativas i.i.d. Mostre que
E [Y1 + Y2 + ::: + YkjY1 + Y2 + ::: + Yn = y] = k
y, k = 1; 2; :::; n:
n
Exemplo 58 Um número não-negativo X é escolhido com densidade fX(x) = xe x
para x > 0. Se X = x, um número Y é escolhido no intervalo [0; x]. Ache
P (X + Y 2).
70
i=1
2
2 #)

Capítulo 5
Convergência de Variáveis
Aleatórias
5.1 Tipos de Convergência
Considere um experimento com a variável aleatória X representando um caracterís-
tico numérico. Repita n vezes independentemente (n grande).
A Lei dos Grandes Números estabelece que a média das n observações é aproxi-
madamente igual a EX, quando n é grande.
Mas de que maneira X1+X2+:::+Xn
n
! EX quando n ! 1?
Por exemplo, seja o experimento de lançar uma moeda honesta sucessiva e in-
dependentemente n vezes e seja Sn o número de caras obtidas nos n lançamentos.
Então
Como Xi
que
Ber( 1
Xn(!) =
1, se ! = Ca
0, se ! = Co
P (Xn = 1) = 1
2 = P (Xn = 0)
2 ), temos E(Xi) = 1
2
Sn = X1 + X2 + ::: + Xn
Sn
n
. E a Lei dos Grandes Números estabelece
! 1
2 .
71

Mas em que sentido? Há vários tipos de convergência em Teoria das Probabilidades.
Vejamos as principais:
Sejam X e fXng n 1 variáveis aleatórias de…nidas num mesmo espaço de proba-
bilidade ( ; A; P ).
De…nição 37 Xn converge para X em probabilidade, se para todo " > 0
Notação: Xn
P
! X.
P fjXn Xj "g ! 0, quando n ! 1.
Exemplo 59 Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, tais que P (Xn = 1) = 1
n e
1
P
P (Xn = 0) = 1 . Mostre que Yn ! 0.
n
Exemplo 60 Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, identicamente distribuídas com
distribuição Exp(1). De…na
para n > 1. Mostre que Yn
P
! 0.
Yn = Xn
ln n
De…nição 38 Xn converge para X quase certamente, se
P fXn ! X, quando n ! 1g = 1,
ou seja, o evento A0 = f! : Xn(!) ! X(!)g é de probabilidade 1.
Notação: Xn
q:c:
! X.
Observação 30 Observe que a convergência quase certa é uma convergência pon-
tual num conjunto de medida 1, ou seja, Xn(!) ! X(!) para quase todo !, exceto
aqueles dentro de um conjunto de medida nula. Por outro lado convergência em
probabilidade não diz respeito à convergência pontual, ela apenas a…rma que para
valores grandes de n as variáveis Xn e X são aproximadamente iguais com proba-
bilidade bem alta.
72

Exemplo 61 Seja = [0; 1]. Um ponto é selecionado aleatoriamente do intervalo
[0; 1] e seja a sequência de variáveis aleatórias dada por
Mostre que Xn
Xn(!) = ! + ! n .
q:c:
! X com X U [0; 1]. Observe também que Xn(1) q:c:
9 X(1). Mas
P f! 2 : Xn(!) 9 X(!), quando n ! 1g = 0.
De…nição 39 Xn converge para X em Lp, se
lim
n!1 E fjXn Xj p g = 0.
Quando p = 2, a convergência é dita em média quadrática.
Notação: Xn
Lp
! X.
Exemplo 62 Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, tais que P (Xn = 1) = 1
n e
1
Lp
P (Xn = 0) = 1 . Mostre que Yn ! 0, para todo p.
n
De…nição 40 Sejam fXn; n 1g e X variáveis aleatórias com funções de dis-
tribuição fFn; n 1g e F , respectivamente. Diremos que Xn converge em dis-
tribuição (ou em lei) para X, se para todo ponto x em que F é contínua, tivermos
Notação: Xn
D
! X.
lim
n!1 Fn(x) = F (x).
Exemplo 63 Seja fXn; n 1g uma seqüência de v.a. independentes com dis-
tribuição uniforme em (0; b), b > 0. De…na Yn = max(X1; X2; :::; Xn) e Y = b.
Então veri…que que Yn
D
! Y .
Exemplo 64 Seja Xn = 1
n
para n 1 e X = 0. Mostre que Xn
D
! X, embora
limn!1 Fn(0) = 0 6= 1 = F (0). Mas como 0 não é ponto de continuidade de F , isto
não é problema.
73

Observação 31 Pode-se mostrar que
Xn
q:c:
! X =) Xn
mas a recíproca não é verdadeira.
Observação 32 Pode-se mostrar que se
Xn
Lp
! X =) Xn
mas a recíproca não é verdadeira.
P
! X =) Xn
P
! X =) Xn
D
! X;
D
! X;
Observação 33 Não há qualquer relação de implicação entre convergência quase
certa e convengência em Lp.
Exercício 57 Considere o espaço de probabilidade ([0; 1] ; B [0; 1] ; ) onde é a me-
dida de Lebesgue em [0; 1] (medida uniforme). Sejam X1; X2; ::: variáveis aleatórias
de…nidas como
(a) Veri…car se Xn
Xn (!) = n 2 :1 1
[0; ) (!) , ! 2 [0; 1] .
n
q:c:
! X para alguma v.a. X.
Exemplo 65 (b) Veri…car se Xn
(c) Veri…car se Xn
(d) Veri…car se Xn
p
! X para alguma v.a. X.
D
! X para alguma v.a. X.
L1
! X para alguma v.a. X.
5.2 Leis dos Grandes Números
Sejam X1; X2; ::: v.a.’s integráveis em ( ; A; P ) e S1; S2; ::: suas somas parciais dadas
por
Sn = X1 + X2 + ::: + Xn.
74

De…nição 41 X1; X2; ::: satisfazem a Lei Fraca dos Grandes Números se para todo
" > 0 temos
ou seja, se
P
Sn ESn
n
" ! 0, quando n ! 1,
Sn ESn
n
P
! 0.
De…nição 42 X1; X2; ::: satisfazem a Lei Forte dos Grandes Números se para todo
" > 0 temos
ou seja, se
Sn ESn
P lim
n!1 n
Sn ESn
n
= 0 = 1,
q:c:
! 0.
Teorema 19 (Lei Fraca de Tchebychev) Sejam X1; X2; ::: v.a.’s não-correlacionadas
dois a dois com variâncias …nitas e uniformemente limitadas (isto é, existe c …nito,
tal que para todo n V arXn < c). Então X1; X2; ::: satisfazem a Lei Fraca dos
Grandes Números:
Prova. (Em aula)
Sn ESn
n
P
! 0.
Corolário 3 (Lei dos Grandes Números de Bernoulli, publicada em Ars Conjectandi,
1713) Considere uma seqüência de ensaios binomiais independentes tendo a mesma
probabilidade p de sucesso em cada ensaio. Se Sn é o número de sucessos nos
primeiros n ensaios, então
Prova. (Em aula)
Sn
n
P
! p.
75

Teorema 20 (Lei Fraca de Khintchin) Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, iden-
ticamente distribuídas e integráveis, com média . Então X1; X2; ::: satisfazem a Lei
Fraca dos Grandes Números:
Prova. (Em aula)
Sn
n
P
! .
Exemplo 66 Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, identicamente distribuídas com
distribuição de Poisson com parâmetro . Qual o limite em probabilidade da seqüên-
cia (Yn) n 1 , onde
Yn = X2 1 + X2 2 + ::: + X2 n
?
n
Teorema 21 (Primeira Lei Forte de Kolmogorov) Sejam X1; X2; ::: v.a.’s indepen-
dentes e integráveis, e suponha que
1X
n=1
V arXn
n 2
< 1.
Então X1; X2; ::: satisfazem a Lei Forte dos Grandes Números:
Sn
n
ESn
n
q:c:
! 0.
Prova. (Omitida, pois demanda resultados avançados de Teoria das Probabili-
dades.)
Exemplo 67 Seja 0 < < 1
2 . Prove que se X1; X2; ::: são v.a.’s independentes, tais
que P Xn = n = 1
2 = P Xn = n , então
X1 + X2 + ::: + Xn
n
q:c:
! 0.
Teorema 22 (Lei Forte de Kolmogorov) Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, iden-
ticamente distribuídas e integráveis, com EXn = . Então X1; X2; ::: satisfazem a
Lei Forte dos Grandes Números:
Sn
n
q:c:
! .
76

Prova. (Em aula)
Exemplo 68 Sejam X1; X2; ::: v.a.’s independentes, identicamente distribuídas com
EX1 = 1 = V arX1. Mostre que
nP
Xi
i=1
r
n nP
X
i=1
2 i
q:c: 1
! p2 .
5.3 Teorema Central do Limite
Teorema 23 (Teorema Central do Limite para v.a.s i.i.d.) Seja fXn; n 1g uma
seqüência de v.a.’s i.i.d., com média comum e variância comum 2 , onde 0 <
2 < 1. Seja Sn = X1 + X2 + ::: + Xn. Então
isto é,
Prova. (Em aula.)
Sn ESn
p V arSn
Sn n
pn
D
! N (0; 1),
D
! N (0; 1).
Exemplo 69 Fregueses chegam em certo supermercado segundo um processo de
Poisson com intensidade média de 10 por minuto. Sejam T1; T2; ::: os tempos entre
chegadas de fregueses, de modo que T1 + T2 + T3 + ::: + Tn é o tempo de chegada no
n-ésimo freguês.
(a) Utilizando o Teorema Central do Limite, ache um número entre 0 e 1 que
seja aproximadamente igual à probabilidade do milésimo freguês chegar depois de
100 minutos.
(b) Como você calcularia o valor exato da probabilidade no item (a)?
77

Observação 34 Se X1; X2; :::; Xn é uma seqüência de variáveis aleatórias indepen-
dentes de Bernoulli com parâmetro p, então sabemos que Sn = X1 + X2 + ::: + Xn
B(n; p). Assim, pelo Teorema Central do Limite, para n su…cientemente grande Sn
pode ser aproximada por uma distribuição Normal, já que
Ou de outra forma
Sn np
p npq
N (0; 1).
Sn N (np; npq).
Exemplo 70 Um par de dados honestos é lançado 180 vezes por hora (aproximada-
mente).
(a) Qual a probabilidade aproximada de que 25 ou mais lançamentos tenham tido
soma 7 na primeira hora?
(b) Qual a probabilidade aproximada de que entre 700 e 750 lançamentos tenham
tido soma 7 durante 24 horas?
78