teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

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Proposição 9 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX, então fX (1);X (2);:::;X (n) (x1:::; xn) = n!fX(x1):::fX(xn) para x1 < x2 < ::: < xn Prova. (Em aula.) Proposição 10 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX, então fX (k) (x) = n Prova. (Em aula.) n 1 k 1 fX(x) [FX(x)] k 1 n k [1 FX(x)] para x 2 R Proposição 11 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX, então para k < l, temos fX (k);X (l) (x; y) = n(n 1) para x < y. n 2 k 1 Prova. (Em aula.) n k 1 l k 1 fX(x)fX(y) [FX(x)] k 1 [FX(y) FX(x)] l k 1 n l [1 FX(y)] Corolário 1 Se X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias i.i.d. com função de dis- tribuição FX e função de densidade fX, então a densidade conjunta de U = min1 i n Xi e V = max1 i n Xi é dada por fU;V (u; v) = n(n 1) [FX(v) FX(u)] n 2 fX(u)fX(v), u < v 0, caso contrário Prova. (Em aula.) 37
Capítulo 3 Esperança Matemática 3.1 De…nição De…nição 24 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição FX. A esperança de X, denotada E(X), é de…nida como E(X) = quando a integral está bem de…nida. Z1 1 xdFX(x) (3.1) Observação 20 (a) '(x) = x é contínua. A integral (3.1) é de Riemann-Stieltjes. Z1 (b) A esperança está bem de…nida se pelo menos uma das integrais xdFX(x) ou Z0 1 xdFX(x) for …nita. Z1 (c) Se ambas as integrais xdFX(x) e é integrável, ou seja, X é integrável se 0 E(jXj) = Z1 1 Z0 1 xdFX(x) forem …nitas, dizemos que X jxj dFX(x) < 1. (d) Se X é uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto fx1; x2; x3; :::g e com função de probabilidade p(xi) = P (X = xi), então E(X) = 1X xip(xi). i=1 38 0
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