Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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B Desigualdades de Observabilidade 94 B.1 Observabilidade para o Controle Exato na Fronteira . . . . . . . . . 94 B.2 Observabilidade para o Controle Exato Interno . . . . . . . . . . . . . 98 x
Notações e Simbologias • (·, ·) designa o produto interno em L 2 . • |·| designa a norma em L 2 . • ((·, ·)) designa o produto interno em H 1 0. • · designa a norma em H 1 0. • 〈·, ·〉, quando não especificado, designa diferentes pares de dualidades. • ∆ = n ∂ i=1 2 ∂x2 i • q. s. - quase sempre. designa o operador laplaciano. • ↩→ designa a imersão contínua. • c ↩→ designa a imersão compacta. • C, quando não especificada, é uma constante positiva e arbitrária. • ′ = ∂ ∂t . • lim designa o limite inferior. • L (X, Y ) designa o espaço dos operadores lineares e contínuos de X em Y . • D (f) designa o domínio da função.f. xi
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Page 13 and 14: mistérios do controle de sistemas.
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Assim, pela desigualdade de Cauchy-
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Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
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Notemos que (2.170) e (2.171) são
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Consideremos o sistema ⎧ y ⎪⎨
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Consideremos o problema não homog
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Dessa forma, temos por (3.8) que
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Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.
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Pela desigualdade inversa (3.21) te
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Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
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Por (i) e (ii) concluimos a equival
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Da desigualdade direta (3.46) obtem
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outro controle tal que para dados i
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(ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
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podemos reescrever (3.61) por inf
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Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
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Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 }
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Consideremos o operador linear e co
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Para cada n ∈ N, seja ρn a solu
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de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
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(iii) para cada compacto K de G exi
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Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
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Apêndice B Desigualdades de Observ
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onde E (t) é a energia definida em
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B.2 Observabilidade para o Controle
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Mostremos que, dado ε > 0 tal que
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Multiplicando ambos lados de (3.32)
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φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
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[11] KALMAN, R. E., Optimization, M
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[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
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