Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Assim, por (2.47) e (2.48), deduzimos de (2.46) que
e portanto, a seqûencia (φm) m∈N é tal que
|gi(t)λi| 2 → 0, quando m, n → ∞
max
0≤t≤T φm(t) − φn(t) 2
H1 0 (Ω)∩H2 (Ω) → 0, quando m, n → ∞,
ou seja, (φm) m∈N é uma sequência de Cauchy em C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω)), logo (φm) m∈N
é convergente e seu limite é a solução forte φ ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω)) .
onde
• φ 1 ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω))
A derivada de (2.43) com respeito a t é
φ ′ m(x, t) =
m
g ′ i(t)wi(x),
i=1
g ′ i(t) = − φ 0
, wj sen λit + φ 1
, wj cos λit +
Suponhamos m > n com m, n ∈ N, logo
φ ′ m(t) − φ ′ n(t) 2
m
= g
′
i(t)wi(x)
i=n+1
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos
φ ′ m(t) − φ ′ n(t) 2 =
m
i=n+1
2
t
(f (s) , wi) cos λi (t − s) ds.
0
=
m
g ′
i(t)∇wi(x)
i=n+1
g ′ i(t) λi
2
Usando os mesmos argumentos da primera parte, para o termo de lado direito da
igualdade anterior, obtemos
m
i=n+1
g ′ i(t) λi
2
Observemos que
≤ 4 φ 0 , wi
λi
0
φ , wi λi = ∆φ 0
1
, wi , φ , wi λi = φ 1 λi
, wi √λi
2
+ 4 φ 1
, wi λi
2
T
+ 2 (f (s) , wi)
0
λids
29
.
2
.
2
e (f (s) , wi) λi = (f (s) , wi) λi
√λi .
.