Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e integrando de 0 a T obtemos:
T
(φ ′′ T
T
m(t), v) θδ(t)dt + (−∆φm(t), v) θδ(t)dt = (f(t), v) θδ(t)dt.
0
0
Integrando por partes o primeiro termo,
− φ 1 m, v + 1
δ
(φ
δ
′ δ
δ
m(t), v) dt − (−∆φm(t), v) θδ(t)dt = (f(t), v) θδ(t)dt.
0
0
Fazendo m → ∞ na última igualdade e observando as convergências (2.7) 3 , (2.21) e (2.22)
temos
− φ 1 , v + 1
δ
δ
0
(φ ′ δ
δ
(t), v) dt − (−∆φ(t), v) θδ(t)dt = (f(t), v) θδ(t)dt. (2.34)
Fazendo agora δ → 0 em (2.34) concluimos que
ou seja φ 1 = φ ′ (0).
• Unicidade
0
− φ 1 , v + (φ ′ (0), v) = (−φ 1 + φ ′ (0), v) = 0, ∀v ∈ L 2 (Ω) ,
Suponhamos φ e φ duas soluções nas condições do Teorema 2.1. Então ρ = φ−φ satisfaz
Logo faz sentido a seguinte equação
Assim,
ρ ∈ L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ,
ρ ′ ∈ L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) ,
ρ ′′ ∈ L ∞ 0, T ; L 2 (Ω) ,
ρ ′′ − ∆ρ = 0 q.s em Q,
ρ(0) = 0 e ρ ′ (0) = 0 em Ω.
ρ
Q
′′ ρ ′ dxdt −
1 d
2
e portanto, ρ = 0, ou seja, φ = φ.
Q
∆ρρ ′ dxdt = 0.
dt (|ρ′ (t)| 2 + ||ρ(t)|| 2 ) = 0
23
0
0
0