Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Substituindo em (2.40) θ por uma função θh ∈ D (0, T ) , definida por
⎧
⎨ θ(t), em (s − h, s + h) ⊂ (0, T ),
θh(t) =
⎩ 0, em (0, T ) − (s − h, s + h) ,
dividindo ambos os lados por 2h > 0 e fazendo h → 0, obtemos
s+h
1
lim φ
h→02h
s−h
′ (t) 2 s+h
1
θ(t)dt + lim |∆φ(t)|
h→02h
s−h
2 θ(t)dt
s+h
1
≤ lim φ
h→02h
s−h
1 2 s+h
1
θ(t)dt + lim ∆φ
h→02h
s−h
0 2 θ(t)dt
s+h t
1
+ 2lim
((f(s), φ
h→02h
′
(s))) ds θ(t)dt
s−h
e, portanto, temos a desigualdade de energia (2.35).
0
Corolário 2.1 Se φ é solução forte do problema (2.1), então
φ ′
φ
1
(t) + |∆φ(t)| ≤ C
+ ∆φ0 T
+ f(s) ds em [0, T ] . (2.41)
Prova: Seja φ a solução forte do problema (2.1). Então do Teorema 2.2, segue que
φ ′ (t) 2 + |∆φ(t)| 2 ≤ 2 1
φ
+ ∆φ0 t
2
+ 4
0
0
f(s) (φ ′ (s) + |∆φ(s)|) 2 ds.
Sejam g(t) = φ ′ (t) + |∆φ(t)| , a = φ 1 + |∆φ 0 | e m(s) = 2 f(s) , então
1
2 g(t)2 ≤ g(t) 2 ≤ 2a 2 + 2
0
t
m(s)g(s)ds em [0, T ] .
Pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3), obtemos
t
g(t) ≤ 2 a + m(s)ds em [0, T ] ,
o que implica na desigualdade (2.41) .
Teorema 2.3 (Regularidade da Solução Forte) A solução forte φ de (2.1) pertence à
classe
0
φ ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) . (2.42)
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