Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Teorema 2.5 (Desigualdade de Energia) Se φ é solução fraca do problema (2.1), então
onde E0 = E (0) .
t
E (t) ≤ E0 + (f(s), φ ′ (s))ds em [0, T ] , (2.74)
0
Prova: Usando as convergências (2.66) e (2.67) em (2.62) e o mesmo argumento aplicado
na prova do Teorema 2.2 podemos concluir que a desigualdade (2.74) é válida.
Corolário 2.2 Se φ é solução fraca de (2.1), então
|φ ′
φ
1
(t)| + φ(t) ≤ C
+ φ0 T
+
Prova: Usa-se o mesmo argumento do Corolário 2.1.
0
|f(s)| ds
em [0, T ]
Teorema 2.6 (Regularidade da Solução Fraca) A solução fraca φ do problema (2.1)
tem a seguinte regularidade:
φ ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω ) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) . (2.75)
Prova: Seja (φv) v∈N uma sequência de soluções fortes que aproxima a solução fraca φ, logo
se m, n ∈ N com m > n, temos por (2.59) que
(φ ′′ m(t) − φ ′′ n(t), v (t)) + ((φm(t) − φn(t), v (t))) = (fm(t) − fn(t), v (t)) ,
para todo v ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)). Tomando v = φ ′ m − φ ′ n, segue
d
|φ
dt
′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 + φm(t) − φn(t) 2
≤ |fm(t) − fn(t)|+|fm(t) − fn(t)| |φ ′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 .
Integrando a última desigualdade de 0 a T, obtemos
|φ ′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 + φm(t) − φn(t) 2
≤ |φ1 m − φ1 n| 2 + φ0 m − φ0 n 2 T
T
+ |fm(t) − fn(t)| dt +
0
35
0
|fm(t) − fn(t)| |φ ′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 dt