Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Então
Prova: Ver [23].
t
g(t) ≤ 2(a + m(s)ds) em [0, T ].
Lema 1.4 (Du Bois Raymond) Seja u ∈ L1 loc (Ω). Então
u(x)ϕ(x)dx = 0, ∀ ϕ ∈ D(Ω),
se,e somente se, u = 0 quase sempre em Ω.
Prova: Ver [26].
Ω
0
Lema 1.5 (Lax-Milgram) Seja H um espaço de Banach e a (u, v) uma forma bilinear,
contínua e coerciva. Para toda ϕ ∈ H ′ existe um único u ∈ H tal que
a (u, v) = 〈ϕ, v〉 , ∀ v ∈ H.
Além disso, se a é simétrica, u se caracteriza pela propriedade
u ∈ H e
1
1
a (u, u) − 〈ϕ, u〉 = Min a (v, v) − 〈ϕ, v〉 .
2 v∈H 2
Prova: Ver [6].
Teorema 1.4 Sejam X e Y espaços de Hilbert tal que X ↩→ Y e µ ∈ L p (0, T, X),
µ ′ ∈ L p (0, T ; Y ), 1 ≤ p ≤ ∞, então µ ∈ C 0 ([0, T ] ; Y ).
Prova: Ver [6].
Teorema 1.5 Sejam E um espaço de Banach, E ′ seu dual e (fn) uma sucessão de E ′ . Se
fn → f fraco −∗ em σ(E ′ , E), então fn ≤ C e f ≤ lim fn .
Prova: Ver [6].
Teorema 1.6 Seja 1 1 + p q = 1. Sejam u ∈ Lq (0, T, X ′ ) = E ′ e v ∈ Lp (0, T, X) = E, então
〈u, v〉 E ′ ,E = T
0 〈u(t), v(t)〉 X ′ ,X dt.
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