Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde C independe de m e t. Aplicando o Lema de Gronwall em (2.11), obtemos
|φ ′ m (t)| 2 + φm (t) 2 ≤ C, (2.12)
onde C independe de m e t. Logo podemos estender a solução para todo o intervalo [0, T ]
(ver Apêndice A, Corolário A.2).
Estimativas II. Fazendo em (2.7) 1 , v = −2∆φ ′ m (t) ∈ Vm, temos
ou seja,
(φ ′′ m(t), −2∆φ ′ m (t)) + ((φm(t), −2∆φ ′ m (t))) = (f(t), −2∆φ ′ m (t)) ,
Integrando de 0 a t ≤ T, segue que
d
dt φ′ m (t) 2 + d
dt |∆φm (t)| 2 = 2 ((f(t), φ ′ m (t))) . (2.13)
φ ′ m (t) 2 + |∆φm (t)| 2 = φ 1 m
2 +
0
∆φ
m
2 t
+ 2
Utilizando as desigualdades de Cauchy-Schwartz, Hölder e Young, temos:
t
2 ((f(s), φ ′ t
m (s))) ds ≤ 2 |((f(s), φ ′ t
m (s)))| ds ≤ 2
0
0
T
≤ 2
0
f(s) ds
1
2 t
0
T
t
≤ f(s) ds +
0
0
0
((f(s), φ ′ m (s))) ds. (2.14)
0
f(s) φ ′ m (s) ds
f(s) φ ′ m (s) 2 ds
f(s) φ ′ m (s) 2 ds.
Substituindo a última desigualdade em (2.14), e levando em conta a hipótese sobre f, (P A1) 2
e (P A1) 3 segue que
φ ′ m (t) 2 + |∆φm (t)| 2 ≤ φ 1 m
t
+
0
f(s) φ ′ m (s) 2 ds ≤ C +
Aplicando o Lema de Gronwall (Lema 1.3), temos
1
2
2 + ∆φ 0
m
2 T
+ f(s) ds (2.15)
0
t
0
f(s) φ ′ m (s) 2 ds.
φ ′ m (t) 2 + |∆φm (t)| 2 ≤ C, (2.16)
19