Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos f : Ω −→ R, tal que
1
f (x) =
e x
2 −1 se x < 1,
0 se x ≥ 1,
onde x = (x1, x2, ..., xn) e x =
n
i=1
x 2 i
1
2
f ∈ C ∞ (Ω) e supp(f) = B1 (0) é compacto, isto é f ∈ C ∞ 0 (Ω) .
é a norma euclidiana de x. Temos que
Definição 1.1 Diz-se que uma sequência (ϕn) n∈N em C ∞ 0 (Ω) converge para ϕ em C ∞ 0 (Ω) ,
quando forem satisfeitas as seguintes condições:
(i) Existe um compacto K de Ω tal que supp(ϕ) ⊂ K e supp(ϕn) ⊂ K, ∀ n ∈ N,
(ii) D α ϕn → D α ϕ uniformemente em K, para todo multi-índice α.
Observação 1.1 É possível (ver [31]) dotar C∞ 0 (Ω) com uma topologia de forma que a
noção de convergência nessa topologia coincida com a dada pela Definição 1.1.
O espaço C ∞ 0 (Ω), munido da noção de convergência acima definida será denotado por
D (Ω) e denominado de Espaço das Funções Testes sobre Ω.
Uma distribuição (escalar) sobre Ω é um funcional linear contínuo sobre D (Ω) . Mais
precisamente, uma distribuição sobre Ω é um funcional T : D (Ω) → R satisfazendo as
seguintes condições:
(i) T (αϕ + βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ) , ∀ α, β ∈ R e ∀ ϕ, ψ ∈ D (Ω) ,
(ii) T é contínua, isto é, se (ϕn) n∈N converge para ϕ em D (Ω) , então (T (ϕn)) n∈N converge
para T (ϕ) em R.
É comum denotar o valor da distribuição T em ϕ por 〈T, ϕ〉 . O conjunto de todas as
distribuições sobre Ω, com as operações usuais, é um espaço vetorial, o qual representa-se
por D ′ (Ω) .
Os seguintes exemplos de distribuições escalares desempenham um papel fundamental
na teoria.
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