Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Dados {φ 0 , φ 1 , f} ∈ {H 1 0 (Ω) , L 2 (Ω) , L 1 (0, T ; L 2 (Ω))}, existem sequências (φ 0 m), (φ 1 m)
e (fm) em H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω), H 1 0 (Ω) e C 0 ([0, T ] ; C 1 (Ω)) respectivamente tais que
tal que
Como
φ 0 m (x) → φ 0 forte em H 1 0 (Ω) ,
φ 1 m → φ 1 forte em L 2 (Ω) ,
fm → f forte em L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) .
(2.55)
Para cada m, o Teorema 2.1 nos garante a existência de uma única função φm : Q → R
φm ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω)), (2.56)
φ ′ m ∈ L ∞ (0, T, H 1 0(Ω)), (2.57)
φ ′′ m ∈ L ∞ (0, T, L 2 (Ω)), (2.58)
φ ′′ m − ∆φm = fm q.s em Q, (2.59)
φm(0) = φ 0 m, φ ′ m(0) = φ 1 m em Ω. (2.60)
(φ ′′ m (t) , v (t)) + ((φm (t) , v (t))) = (fm (t) , v (t)) ∀t ∈ (0, T ) , ∀v ∈ L 2 0, T ; H 1 0 (Ω) , (2.61)
tomando v = φ ′ m obtemos
ou seja,
Integrando de 0 a T , obtemos
(φ ′′ m (t) , φ ′ m (t)) + ((φm (t) , φ ′ m (t))) = (fm (t) , φ ′ m (t)),
d
dt (|φ′ m (t)| 2 + ||φm (t)|| 2 ) = 2(fm (t) , φ ′ m (t)).
|φ ′ m (t)| 2 + φm (t) 2 = φ 1 m
2 +
0
φ
m
2 T
+ 2
Utilizando as desigualdades de Cauchy -Scharwz, Hölder e Young temos:
|φ ′ m (t)| 2 + ||φm (t)|| 2 ≤ φ 1 m
0
(fm (t) , φ ′ m (t))dt. (2.62)
2 +
0
φ
m
2 T
t
+ |fm(t)| dt + |fm(t)| |φ ′ m(t)| 2 dt.
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0
0