Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

φ ′′ ∈ L 1 0, T ; L 2 (Ω) , (2.4)
φ ′′ − △φ = f, q. s. em Q, (2.5)
φ (·, 0) = φ 0 , φ ′ (·, 0) = φ 1 . (2.6)
Enunciaremos agora o resultado que nos garante a existência e unicidade da solução
forte para o problema (2.1) .
Teorema 2.1 (Solução Forte) Sejam φ 0 ∈ H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) , φ 1 ∈ H 1 0 (Ω) , f ∈
L 1 (0, T ; H 1 0 (Ω)), então existe uma única solução forte para o problema (2.1) .
Prova: Para provar a existência de solução, usaremos o método de Faedo-Galerkin que
consiste em três etapas:
1. Construção de soluções aproximadas em um espaço de dimensão finita;
2. Obtenção de estimativas a priori para as soluções aproximadas;
3. Passagem ao limite das soluções aproximadas.
Para provar a unicidade, usaremos o método da energía.
• Existência
Soluções Aproximadas.
Consideremos {wj} j uma base ortonormal em L 2 (Ω) , formada pelos autovetores do
operador −∆, ou seja, cada vetor wj é solução do problema espectral:
((wj, v)) = λj (wj, v) , ∀v ∈ H 1 0 (Ω) .
A existência desta base é garantida pelo Teorema Espectral (ver, por exemplo, [6] ou [28]).
Seja Vm = [w1, w2, ..., wm] o subespaço m-dimensional do H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) , gerado pelos m-
primeiros vetores da base {wj} j . O problema aproximado consiste em determinar funções
φm (t) ∈ Vm tais que
φm(x, t) =
m
gjm(t)wj(x),
j=1
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