Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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para 1 ≤ j ≤ m. Logo substituindo em (2.43), a solução aproximada é dada por φm(x, t) m φ 0 = , wj cos λjt + 1 1 φ , wj sen λjt + λj 1 t (f (s) , wj) sen λj 0 λj (t − s) ds wi(x). i=1 Encontrada explicitamente, a expresão da solução aproximada, passemos a provar a regularidade (2.42). • φ ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω)) . Mostraremos que (φm) m∈N é uma sequência de Cauchy em C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω)) . Com efeito,considerando m, n ∈ N com m > n, temos φm(t) − φn(t) 2 H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω) = m gi(t)wi(x) i=n+1 2 H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω) = m gi(t)∆wi(x) i=n+1 Sendo −∆wi = λiwi e {wj} j uma base ortonormal em L 2 (Ω) , pelo Teorema de Pitágoras, obtemos φm(t) − φn(t) 2 H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω) = m gi(t)λiwi(x) i=n+1 Analisando o último termo da igualdade anterior, deduzimos 2 = m i=n+1 |gi(t)λi| 2 . |gi(t)λi| 2 = (φ0 , wi) λi cos √ λit + λi √λi (φ1 , wi) sen √ λit + λi t √λi (f (s) , wi) sen 0 √ λi (t − s) ds (φ 0 ≤ , wi) λi cos √ λit λi + √ (φ λi 1 , wi) sen √ λit + t λi √ (f (s) , wi) sen λi 0 √ 2 λi (t − s) ds ≤ |(φ0 λi , wi) λi| + √ (φ λi 1 , wi) + t 2 λi √ (f (s) , wi) ds . λi Aplicando a desigualdade (a + b) 2 ≤ 2a 2 + 2b 2 duas vezes obtemos |gi(t)λi| 2 ≤ 4 φ 0 , wi λi 2 λi + 4 √ λi 0 1 φ , wi 2 T + 2 0 27 λi (f (s) , wi) √λi ds 2 2 . . (2.46) 2
Como {wi} i é uma base ortonormal em L2 wi (Ω), então λi H1 0 (Ω)∩H 2 wi (Ω). Mais ainda, pode-se provar que λi i logo pela identidade de Parseval, obtemos 0 φ 2 H1 0 (Ω)∩H2 (Ω) = ∞ Como φ 0 , wi λi i=1 H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω) φ 0 , wi λi = H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω) ∆φ 0 , ∆ wi λi 2 i é ortonormal em é completo. Suponhamos f regular, e φ 1 2 = ∞ φ 1 , wi 2 √λi . i=1 = − ∆φ 0 , λiwi = − λi ∆φ 0 , wi e φ 1 , wi √λi H1 0 (Ω) = ∇φ 1 , ∇wi √ = − φ λi 1 , ∆wi √ = − φ λi 1 , λiwi √ = − λi φ 1 λi , wi √λi , deduzimos que de onde m i=n+1 ∆φ 0 2 , wi → 0 e m i=n+1 √λi 1 λi φ , wi Notemos agora que sendo f (s) ∈ H 1 0 (Ω), temos f(s) 2 H 1 0 i=1 f (s) = ∞ i=1 2 R f(s), wi wi √λi √λi , ∞ = f(s), wi wi √λi √λi 2 → 0, quando m, n → ∞. (2.47) = ∞ λi (f(s), wi) √λi Como consideramos f regular, ou seja, f ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω)), aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos T λi (f(s), wi) √λi ds 0 2 T ≤ T 0 i=1 λi (f(s), wi) √λi Portanto o último termo do lado direito de (2.46) pode ser visto como m i=n+1 T λi (f(s), wi) √λi ds 0 2 T ≤ T 0 m i=n+1 28 λi (f(s), wi) √λi 2 2 ds. 2 ds → 0, quando m, n → ∞. . (2.48)
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(iii) para cada compacto K de G exi
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Apêndice B Desigualdades de Observ
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Multiplicando ambos lados de (3.32)
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φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
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[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
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