Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

conjunto de estados alcançáveis coincide com o espaço dos dados iniciais (controlabilidade
exata) e quando o conjunto de estados alcançáveis é simplesmente um subconjunto denso do
espaço dos dados iniciais (controlabilidade aproximada).
Esta dissertação está baseada em resultados que aparecem nos trabalhos de Lions ([16],
[17], [20]), Medeiros [23], Micu e Zuazua [27] e Zuazua ([33], [34]).
Passemos agora a descrever o conteúdo desta dissertação, que está dividida em três
capítulos.
No Capítulo 1, temos alguns resultados básicos e algumas notações essenciais para o
entendimento do trabalho.
No Capítulo 2, provamos a existência, unicidade e regularidade de soluções forte, fraca
e ultra fraca da equação da onda linear. Usamos o Método de Faedo-Galerkin para provar
a existência de solução forte. A solução fraca é obtida como limite de uma seqüência de
soluções fortes. O Método de Transposição é usado para definir a solução ultra fraca.
No Capítulo 3, estudamos a controlabilidade exata e aproximada da equação linear
da onda, considerando, para os dois casos, o controle localizado na fronteira do domínio
Ω e no seu interior. Vimos, por meio do HUM, que o problema de controlabilidade exata
é equivalente a provar uma desigualdade de observabilidade associada ao sistema adjunto.
Além disso, mostramos como o problema de controlabilidade se reduz a um problema de
minimização. Na controlabilidade aproximada formulamos um problema de minimização e,
em seguida, fizemos uso de um método de dualidade no sentido de Fenchel para encontrarmos
um funcional custo e, a partir do mínimo desse funcional, construir o controle desejado.
Para finalizar o trabalho, escrevemos dois apêndices. No primeiro é apresentado o
resultado que nos garante a existência e prolongamento de soluções aproximadas, e é parte
essencial à obtenção da solução forte da equação linear da onda. O segundo apêndice
está destinado às provas das desigualdades inversas (ou desigualdades de observabilidade),
essenciais para obtermos a controlabilidade na fronteira e interna da equação de onda linear.
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