Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Teorema 1.11 Sejam H um espaço de Bananch reflexivo, K um subconjunto convexo
fechado de H e φ : K → R uma função com as seguintes propriedades:
(i) φ é convexa,
(ii) φ semi-continua inferiormente,
(iii) Se K é ilimitado, então φ é coercivo, ou seja,
lim φ (x) = ∞.
x→∞
Então φ atinje um mínimo em K, ou seja, exite x0 ∈ K tal que
Prova: Ver [6].
φ (x0) = minφ
(x) .
x∈K
Teorema 1.12 (Fenchel) Sejam X e Y espaços de Hilbert, A ∈ L(X, Y ), f : X →
R ∪ {∞} , g : Y → R ∪ {∞} funções semicontinuas inferiormente e convexas. Seja
v = inf
x∈X [f (x) + g (Ax)] e v∗ = inf
q∈Y ∗ [f ∗ (−A ∗ q) + g ∗ (q)] ,
onde f ∗ é a conjugada de f e é dada por f ∗ (p) = sup [〈p, x〉 − f (x)] . Se 0 ∈
x∈X
int [A (D (f))) − D (g)], então:
(i) v + v ∗ = 0,
(ii) Existe q ′ ∈ Y ∗ tal que f ∗ (−A ∗ q ′ ) + g ∗ (q ′ ) = v ∗ .
Prova: Ver [4].
Teorema 1.13 (Regularidade) Considere Ω ⊂ R n um conjunto aberto limitado com
fronteira Γ de classe C2 . Sejam f ∈ L2 (Ω) e u ∈ H1 0 (Ω) tal que
∇u∇ϕ + uϕ =
Ω
Ω
fϕ, ∀ϕ ∈ H
Ω
1 0 (Ω) .
Então u ∈ H 2 (Ω) e u H 2 (Ω) ≤ C |f| L 2 (Ω) , onde C é uma constante que só depende de Ω.
Prova: Ver [6].
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