Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Note que
T
(φ ′′ T
m(t), v) θ(t)dt =
0
e, por (2.25) ,
0
d
dt (φ′ T
m(t), v) θ(t)dt = − (φ
0
′ m(t), v) θ ′ (t)dt
T
−
0
(φ ′ m(t), v) θ ′ T
(t)dt → −
0
(φ ′ (t), v) θ ′ T
(t)dt =
0
Temos por (2.26) que
d
dt (φ′ (t), v) θ(t)dt. (2.28)
T
T
− (∆φm(t), v) θ(t)dt → − (∆φ(t), v) θ(t)dt. (2.29)
0
0
Logo, fazendo m → ∞ em (2.27) e usando (2.28) e (2.29), obtemos
T
− (φ
0
′ (t), v) θ ′ T
T
(t)dt − (∆φ(t), v) θ(t)dt = (f(s), v) θ(s)ds. (2.30)
0
0
Seja β(x, t) = v(x)θ(t) ∈ D(Q), portanto
T
−
0
e, assim,
φ
Ω
′ (x, t)β ′ (x, t)dxdt −
T
〈φ ′′ , β〉 D´(Q),D(Q) =
0
Ω
Q
T
∆φ(x, t)β(x, t)dxdt =
(f(x, s) + ∆φ(x, s))β(x, s))dxds.
Dessa forma, a distribução φ ′′ é definida por f + ∆φ ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e
Q
0
Ω
f(x, s)β(x, s)dxds
[φ ′′ (x, s) − ∆φ(x, s) − f(x, s)] β(x, s)dxds = 0, ∀β ∈ D(Q). (2.31)
Logo, pelo Lema Du Bois Raymond (Lema 1.4), segue que
Condições Iniciais.
• φ(0) = φ 0
φ ′′ − ∆φ = f q.s. em Q.
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