Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

W m,p (0, T ; X) é um espaço de Banach (vide [1]).
O espaço
W m,p
0 (0, T ; X) = {u ∈ W m,p (0, T ; X) ; u (0) = u (T ) = 0} ,
representa o fecho de D (0, T ; X) com a norma de W m,p (0, T ; X) .
Observação 1.6 Quando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, o espaço W m,p (0, T ; X) será
denotado por H m (0, T ; X) , que munido do produto interno
(u, v) H m (0,T ;X) =
m (j) (j)
u , v
j=0
L 2 (0,T ;X)
é um espaço de Hilbert. Denota-se por H m 0 (0, T ; X) o fecho, em H m (0, T ; X) , de D (0, T ; X)
e por H −m (0, T ; X) o dual topológico de H m 0 (0, T ; X) .
1.2 Principais Resultados Utilizados
Teorema 1.1 (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam E e F dois espaços de Banach e
seja T um operador linear contínuo e bijetivo de E em F. Então existe uma constante c > 0
tal que
Prova: Ver [6].
BF (0, c) ⊂ T (BE(0, 1)).
Lema 1.1 (Imersão de Sobolev) Seja Ω um aberto limitado do R n com fronteira Γ
regular.
(i) Se n > pm, então W m,p (Ω) ↩→ L q (Ω) , onde q ∈
np
1, .
n − mp
(ii) Se n = pm, então W m,p (Ω) ↩→ L q (Ω) , onde q ∈ [1, +∞) .
(iii) Se n = 1 e m ≥ 1, então W m,p (Ω) ↩→ L ∞ (Ω) .
Prova: Ver [6].
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