Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Assim
d
dt (φ′ (t) , v) + ((φ (t) , v)) = (f (t) , v) em D ′ (0, T ) ∀v ∈ H 1 0 (Ω)
Considerando, em particular, v ∈ D (Ω), temos
ou seja,
Logo
Assim
Portanto
〈φ ′′ , v〉 D´(Q),D(Q) − 〈∆φ, v〉 D´(Q),D(Q) = 〈f, v〉 em D ′ (0, T ), (2.69)
〈φ ′′ − ∆φ − f, v〉 D´(Q),D(Q) = 0 em D ′ (0, T ), ∀v ∈ D(Ω).
φ ′′ − ∆φ = f em D ′ (Q). (2.70)
Como ∆ ∈ L(H 1 0 (Ω) ; H −1 (Ω)) e φ ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)), então ∆φ ∈ L ∞ (0, T, H −1 (Ω)).
φ ′′ = f + ∆φ ∈ L 1 (0, T, L 2 (Ω)) + L ∞ (0, T, H −1 (Ω)) ⊂ L 1 0, T ; H −1 (Ω) .
Condições Iniciais.
φ ′′ − ∆φ = f em L 1 (0, T, H −1 (Ω)). (2.71)
Por (2.49) − (2.51) e o Teorema 1.4, temos que φ ∈ C 0 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) e φ ′ ∈
C 0 ([0, T ] ; H −1 (Ω)), logo faz sentido o cálculo de φ e φ ′ em t = 0. A demostração de (2.54)
segue usando o mesmo argumento da Seção 2.1.
• Unicidade
Para provar a unicidade da solução fraca φ do problema (2.1), aplicaremos o Método
devido a Visik-Ladyzhenskaya [32].
Suponhamos que existem duas soluções fracas φ e φ do problema (2.1). Seja w = φ − φ,
logo w é solução fraca do problema:
w ′′ − ∆w = 0
w = 0
w(0) = 0, w
em Q,
sobre Σ,
′ (0) = 0 em Ω.
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