Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Lema 2.3 Seja (qk) 1≤k≤n um campo vetorial tal que qk ∈ C 1 (Ω) para 1 ≤ k ≤ n. Se (φm) m∈N
é uma sequência de soluções fortes do problema 2.1, então para cada m ∈ N, temos 1
1
2
+
qkνk
Σ
Q
2 ∂φm
dΓdt =
∂ν
∂qk ∂φm ∂φm
dxdt −
∂xj ∂xk ∂xj
φ ′ m(t), qk
fmqk
Q
∂φm(t)
∂xk
∂φm
dxdt.
∂xk
T
0
+ 1
2
Q
∂qk
∂xk
|φ ′ m| 2 − |▽φm| 2 dxdt
(2.88)
Prova: Para cada m ∈ N, seja φm solução forte do problema (2.1). Então qk ∂φm
∂xk ∈ L2 (Q) e
faz sentido a seguinte equação:
φ ′′
∂φm
∂φm
mqk dxdt − ∆φmqk dxdt =
∂xk
Q ∂xk
Q
fmqk
Q
∂φm
dxdt. (2.89)
∂xk
Iremos agora analisar as integrais que aparecem no lado esquerdo da equação (2.89).
• Análise de
Notemos que
T
=
Q φ′′ mqk ∂φm
∂xk dxdt.
φ
0 Ω
′′ mqk
φ ′ m(t), qk
∂φm
dxdt =
∂xk
T
∂φm(t)
∂xk
Observemos que
− 1
∂
qk (φ
2 ∂xk
′ m) 2 dxdt = 1
2
Q
0
φ ′ m, qk
− 1
2 Q
qk
Q
∂
∂xk
∂φm
∂xk
qk
T
0
T
−
0
∂
(φ
∂xk
′ m) 2 dxdt,
(φ ′ m) 2 dxdt − 1
2
φ
Ω
′ ∂φ
mqk
′ m
∂xk
e, por sua vez, segue do Teorema de Gauss-Green (Teorema 1.8) que
1 ∂
qk (φ
2 Q ∂xk
′ m) 2
dxdt = 1
qk (φ
2 Σ
′ m) 2 νkdΓdt = 0,
pois φ ′ m (t) ∈ H 1 0(Ω). Logo
− 1
2
Q
∂qk
∂xk
1 Índices repetidos significam soma.
(φ ′ m) 2 dxdt = 1
2 Q
39
qk
Q
dxdt
∂
qk (φ
∂xk
′ m) 2
dxdt
(2.90)
∂
(φ
∂xk
′ m) 2 dxdt. (2.91)