Modelos LIT - Universidade do Minho

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24 Modelos LIT / © Paulo Garrido – Universidade do Minho Observemos que, mais uma vez, o modelo abstracto correspondente é da forma (2.24)! Exemplo 2-9: modelização de sistema hidráulico com atraso puro. q i u MB h q o V1 V2 Vn Suponhamos que a motobomba é accionada por uma tensão eléctrica u. Vamos assumir que o fluxo q i é proporcional a esta tensão por uma constante K. Mas que existe um tempo de atraso T a , entre o instante de tempo t em que u muda de valor e o instante de tempo t+ Ta em que q i fica igual a K⋅u. O atraso é provocado pelo necessidade do fluxo de água, que sai da motobomba, percorrer a tubagem, até ser lançado no tanque. Assim sendo: q ( t+ T ) = K⋅ u( t) . (2.36) É usual e conveniente rescrever (2.36) com o operador causal de atraso. Ou seja: i a q () t = K⋅u( t− T ) (2.37) i Pretende-se um modelo que relacione h e u. A solução é de alguma forma evidente. Rescreve-se (2.35) com as variáveis explicitamente dependentes do tempo e substitui-se na equação obtida qi () t pela expressão (2.37). Vem: * h a dh() t 1 K ht () ut ( Ta ) dt + AR = A − . (2.38) Este exemplo mostra a forma usual de proceder quando num sistema existe um atraso puro, que afecta a influência que a variável de entrada produz noutra variável do sistema. Escreve-se o modelo para as variáveis cujas relações não são afectadas pelo atraso e, depois, entra-se em linha de conta com este. Exemplo 2-10: modelização de um sistema térmico. Uma estufa para secagem de material é representada esquematicamente na figura seguinte. O elemento de aquecimento é uma resistência eléctrica de potência, que debita para o interior da estufa o fluxo de calor q e . Resistência de aquecimento q .θ a f .θ Estufa q e Material a secar
Modelos LIT / © Paulo Garrido – Universidade do Minho 25 As temperaturas do interior da estufa e do ambiente são representadas por, respectivamente, θ e θ a . Devido à existência de um sistema que força a circulação do ar no interior da estufa, a temperatura θ supôe-se constante em qualquer ponto. Na construção de uma estufa, tenta-se evitar que haja perdas de calor através das suas paredes. Isto nunca se conseguirá por completo, de forma que a resistência térmica, entre a estufa e o ambiente, apresenta um valor R t , que não é infinito. Como consequência, existirá sempre um fluxo de calor q f da estufa para o ambiente, através das suas paredes. O valor da capacidade térmica da estufa é C t . Pretende-se um modelo que relacione a temperatura θ do interior da estufa (variável de saída) com o fluxo de calor q e fornecido pela resistência (variável de entrada). Ao tentarmos deduzir um modelo linear para este sistema encontramos o seguinte problema. Se não for fornecido calor à estufa, ou seja, se q e = 0 , a temperatura da estufa tornar-se-á igual á temperatura ambiente: θ = θa . Isto significa que o modelo não pode ser linear, porque para uma entrada 0, apresentará uma saída diferente de 0 (confrontar com a situação análoga do Exercíco 1.6). A forma de ultrapassar esta situação é: i) Considerar a temperatura θ a constante. ii) Considerar como variável de saída do modelo a diferença, ∆ θ , entre a temperatura do interior da estufa e a temperatura ambiente: ∆ θ = θ − θa . De acordo com a relação capacitiva na última linha da Tabela 2-6, e tomando em conta o ponto ii) acima, a energia térmica armazenada pela estufa, E t , escrever-se-á: E = Cθ = C ( ∆ θ + θ ). (2.39) Raciocinando como no Exemplo 2-8, escrevemos: t t t a dE dt t = q =∑ q (2.40) t j j Em (2.40), q t é o fluxo total de calor, igual ao somatório do fluxo fornecido pela resistência com o fluxo de fugas. Usando (2.39), e atendendo a que C e θ a são constantes, rescreveremos (2.40) como: d∆ θ Ct = qe − qf . (2.41) dt Temos agora que relacionar q f com ∆ θ . O fluxo de calor entre dois corpos a temperaturas diferentes é proporcional, com constante 1/ R t , à diferença de temperatura entre eles (veja-se a relação resitiva na última linha da Tabela 2-6. Então: Normalizando, obtemos o modelo pretendido: d∆ θ 1 Ct = qe − ∆ θ . (2.42) dt R t d∆ θ 1 1 + ∆ θ = qe . (2.43) dt R C C t t t Este exemplo, mostra que, em certas situações, obter um modelo linear implica usar como variável do modelo a variação de uma variável em relação a um valor constante, em vez de usar a própria variável. Neste caso, usámos ∆ θ , variação de θ em relação a θ a , em vez de usarmos θ . O modelo abstracto correspondente a (2.43) é também (2.24). Vamos agora estudar um exemplo, em que a equação diferencial que se obterá como modelo é de primeira ordem, como as anteriores, mas apresenta uma importante diferença.
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