Modelos LIT - Universidade do Minho

30 Modelos LIT / © Paulo Garrido – Universidade do Minho
Observemos que o modelo abstracto correspondente é:
y′′ + a y = (2.67)
0
0
O seu diagrama de blocos apresenta-se na Figura 2-14.
u b 0
+
–
y′′
∫
y′ y
∫
Figura 2-14 Diagrama de blocos do oscilador
harmónico.
a 0
Exemplo 2-14: modelização de um sistema mecânico com inércia, atrito e elasticidade.
Considere-se um sistema mecânico com massa, atrito e elasticidade
como na figura junta. O sistema é constituído por um corpo de massa M
f
x
M que se desloca na direcção x solidariamente com um amortecedor,
cujo coefiente de atrito é B, e com uma mola ou elemento elástico, cujo
coeficiente de elasticidade é K
e
. A massa é impulsionada por uma
força externa f, colinear com x.
Esta configuração encontra-se em muitos sistemas mecânicos. Por
exemplo, numa balança ou na suspensão de uma roda de um veículo
automóvel.
B K e
Pretende-se um modelo que relacione o deslocamento x (variável de saída) com a força f (variável de
entrada).
Aplicando a relação de Newton – o produto da massa pela aceleração iguala o somatório das forças
aplicadas –, escrevemos:
M
2
d x
f
2 i
dt i
= ∑ . (2.68)
Neste sistema, as forças aplicadas, a considerar na modelização, são a força externa f, a força de atrito no
amortecedor f
a
e a força de reacção da mola f
e
. As 2 últimas opõem-se a f. Portanto:
2
d x
2 a e
M = f − f − f . (2.69)
dt
As relações resistiva e capacitiva na segunda linha da Tabela 2-6, dizem-nos que:
fa = B dx fe = Kex
dt
Sucessivamente, substituindo em (2.69) e normalizando obtém-se o modelo pretendido :
2
d x dx
2 e
M = f −B − K x
(2.70)
dt dt
2
d x dx
M + B + K
2 ex = f
(2.71)
dt dt