Introdução à Mecânica Estatística Quântica: Estudos sobre o ...

onde i = x; y; z:Vamos calcular a função de partição para este sistema.
espaço de fases é clássico e portanto faremos a mudança
Neste caso o
Z 1 =
0X
Z
1 +1
exp ( H) ! dxdydzdp
h 3 x dp y dp z exp ( H) ;
1
onde h é uma constante tal que Z 1 continue sendo adimensional. Assim temos:
Z 1 = 1 Z +1
dxdydzdp x dp y dp z exp
h 1
2m p2 x + p 2 y + p 2 z
= V Z +1
dp
h 3 x dp y dp z exp
1
2m p2 x + p 2 y + p 2 z
" 2m
= V # 1=2 3
; (2.57)
h 3
onde utilizamos, nas passagens intermediárias, a integral Gaussiana, ou seja:
Z +1
1
dx exp Ax 2 = =A: (2.58)
Agora vamos calcular a energia interna por partícula. Já sabemos que:
U =
@ ln Z; (2.59)
@
logo, para apenas uma partícula a energia interna é dada por:
u =
=
=
@
@ ln Z 1
" # 3=2
@
@ ln V 2m
h 3
3 1
2 2
= 3 kT: (2.60)
2
que é o resultado esperado de acordo com a teorema de equipartição da Energia (no modelo
cinético para um gás ideal, cada partícula possui apenas movimento de translação; como
este movimento pode ser decomposto em três movimentos ortogonais, dizemos que cada
partícula tem três graus de liberdade. O teorema de equipartição associa, a cada grau de
liberdade do sistema, um termo de 1 kT na energia interna média da partícula [1, 2]).
2
18