Introdução à Mecânica Estatística Quântica: Estudos sobre o ...

A seguir iremos mostrar que os autovetores dos operadores hermitianos são ortogonais
e constituem uma base do espaço de Hilbert.
Sejam jai e ja 0 i dois autovetores distintos (com distintos autovalores) de um operador
hermitiano ^A, tais que:
^A jai = a jai
e
ha 0 j ^A = ha 0 j a 0 ;
onde a 6= a 0 : Multiplicando a primeira equação por ha 0 j à esquerda, a segunda por jai à
direita e subtraindo uma da outra chegamos a:
haja 0 i (a a 0 ) = 0: (3.17)
Como por hipótese a 6= a 0 concluímos que haja 0 i = 0; ou seja, os autovetores associados
com diferentes autovalores de ^A são ortogonais.
Designando por fja 1 i ; ja 2 i ; :::g o conjunto dos autovetores de um observável ^A, podemos,
então, escrever o seu valor médio em um estado jvi qualquer do espaço vetorial como:
hvj ^A jvi = hvj X k
ja k i ha k j ^A jvi (3.18)
= X k
= X k
= X k
a k hvja k i ha k jvi (3.19)
a k jhvja k ij 2 (3.20)
a k p k (a k ; v) ; (3.21)
onde p k (a k ; v) = jhvja k ij 2 é a probabilidade de uma medida da grandeza ^A no estado jvi
fornecer o resultado a k . É fácil ver que a normalização de jvi implica em:
X
p k = 1: (3.22)
k
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