Introdução à Mecânica Estatística Quântica: Estudos sobre o ...

trajetória do sistema, enquanto que na teoria quântica, o ato de medir a grandeza ^A faz
colapsar o estado jvi num dos autoestados do operador associado. Depois da medição, o
estado do sistema é, em geral diferente do estado imediatamente antes da medida.
De…nindo o operador de Heisenberg:
^A (t) = ^U y (t; t 0 ) ^A ^U (t; t 0 ) ; (3.30)
temos uma nova representação da Mecânica Quântica, onde o estado permanece …xo no
tempo e os operadores evoluem segundo a Eq.(3:30). Na representação de Schrödinger
a evolução temporal é atribuida ao estado, mantendo-se os operadores …xos no tempo.
Vamos agora evoluir no tempo o operador de Heisenberg. Da Eq.(3:30) temos:
d ^A (t)
dt
onde utilizamos a Eq. (3:29) :
= d dt
h
^U y (t; t 0 ) ^A ^U (t 0 ; t)i
= @ ^A
@t + 1
ih ^A (t) ^H 1
ih ^H ^A (t) ; (3.31)
Obtemos assim a equação de evolução dos operadores na representação de Heisenberg,
d ^A (t)
dt
= @ ^A
@t + 1 h
^A (t) ; ^Hi
: (3.32)
ih
Note que nesta equação aparece o comutador de dois operadores.
Este comutador na
teoria quântica tem um papel semelhante ao do parênteses de Poisson na física clássica
(compare, por exemplo, a Eq.(3:32) com a Eq.(2:39) para o caso particular da função
distribuição).
Uma grandeza física representada por um operador hermitiano ^A será uma constante
de movimento se seu valor médio for independente do tempo. Como na maior parte dos
casos, os operadores são explicitamente independentes do tempo, na representação de
h
Heisenberg a condição necessária e su…ciente para isso é que ^A (t) ; ^Hi
= 0:
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