aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

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Capítulo 1A Quantização da CordaNeste capítulo mostraremos, basicamente, que a noção de campos clássicos pode emergirnaturalmente de sistemas de muitas partículas. Faremos ainda a quantização da corda nãorelativística,ou seja, na corda a qual viajam ondas com velocidade v muito mais baixa que avelocidade da luz. Mostraremos que a quantização da corda, em vários aspectos, é análoga àquantização de campos clássicos.Para tanto, antes de implementarmos tal quantização, nos é conveniente desenvolver ochamado formalismo Lagrangeano para campos clássicos, tomando, basicamente, o limite depassagem de sistemas discretos para sistemas contínuos.1.1 O Formalismo Lagrangeano para Campos ClássicosPara nossa finalidade nos é conveniente considerar um sistema mecânico composto por Nosciladores acoplados. Sendo m a massa de cada uma das partículas oscilantes, ligadas umasas outras por uma mola de constante elástica k, e que na posição de equilíbrio mantém umadistância a entre uma partícula e outra imediatamente sucessora ou antecessora à esta. Talsistema possui um comprimento fixo l (Figura 1.1).Figura 1.1: Osciladores acoplados.Podemos encontrar a Lagrangeana[20], também deste sistema, efetuando a diferençaL = T − V, (1.1)4
sendo T a energia cinética dada pore V a energia potencial dada porT = 1 2N∑i=12m i q˙i(1.2)V = 1 2N∑k(q i+1 − q i ) 2 . (1.3)i=1Logo, podemos reescrever a definição (1.1), de acordo com as definições para as energiascinéticas e potenciais dadas, respectivamente por (1.2) e (1.3), comoL = 1 2N∑[m i q˙2 i − k(q i+1 − q i ) 2 ]. (1.4)i=1Para encontrarmos as equações de movimento que regem este sistema basta que façamos asubstituição da equação (1.4) na Equação de Euler-Lagrange, dada por∂L∂q i− d dtCalculando cada termo da última equação, temos para o primeiro∂L∂q i= − 1 2N∑i=1( ) ∂L= 0. (1.5)∂q˙ik ∂∂q n(q i+1 − q i ) 2 ,que aplicando a derivada, segundo a regra da cadeia, fica∂L∂q i= −N∑i=1k(q i+1 − q i ) ∂∂q n(q i+1 − q i ).Note que ∂q i+1∂q n= δ n,i+1 e ainda ∂q i∂q n= δ n,i , assim∂L∂q i= −N∑k(q i+1 − q i )(δ n,i+1 − δ n,i ) (1.6)e ainda, para o segundo termo da equação de Euler-Lagrange, temosi=1∂L=∂q˙iN∑i=1m i q˙i δ n,i ,que, portanto, conforme o segundo termo da equação (1.5), vamos tomar sua derivada total notempo. Assim fazendo temos( )d ∂L=dt ∂q˙iN∑m i ¨q i δ n,i . (1.7)i=15
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Bibliografia[1] ALVES, V.S.S., Nota
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