aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

ou aindaque, usando a equação (1.50), ficaque segundo (1.44) fica∫ L 3(u n , u ∗ n ′) = (w n u n u n ′ − w n ′u n u n ′)dx 3 ,0= (w n − w n ′)∫ L 30u n u n ′dx 3 ,(u n , u ∗ n ′) = (w n − w n ′)D n D n ′e −i(wn+w n ′ )t L 3 δ n,−n ′,(u n , u ∗ n ′) = 0. (2.13)Calculando ainda (u n , u n ′), analogamente ao caso anterior, temos(u n , u n ′) = −i= −i∫ L 30∫ L 30= (w n + w n ′)(u n ∂ 0 u ∗ n ′ − ∂ 0u n u ∗ n ′)dx3 ,(iw n ′u n u ∗ n ′ + iw nu n u ∗ n ′)dx3 ,∫ L 3que de acordo com a equação (1.52), fica na formaque devido a (1.54), fica0u n u ∗ n ′dx3 ,(u n , u n ′) = (w n + w n ′)D n D ∗ n ′L3 δ n,n ′,(u n , u n ′) = 2w n L 3 |D n | 2 ,como as funções u n são ortonormais entre si, temos para isto queD n =1√ 2wn L 3 , (2.14)que é justamente a constante de normalização, encontada de maneira imediata partindo dadefinição do produto escalar de Klein-Gordon. Logo(u n , u n ′) = δ n,n ′. (2.15)Para explicitar a forma dos operadores â n e â † n, em termos do campo ϕ(⃗x, t), vamos aplicarna equação (2.10), pela esquerda, por∫ L 3−i u n ′0↔∂ 0 dx 3 ,23