aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

na qual cada valor de n está associado com cada modo normal de vibração da corda, sendo c na amplitude da onda devido a cada modo normal de oscilação. De acordo com as condições decontorno periódicas impostas sobre a corda, efetivadas por extremidades fixas e comprimentoL, podemos definirk n = nπ L , (1.31)como sendo o número de onda que. Para tal caso, temos ainda quew n = k n v, (1.32)conhecida como relação de dispersão, essencial para que a equação (1.30) seja de fato soluçãoda equação da onda, entendida também como a freqüência de oscilação da corda (ou campo).A equação (1.30) represeta, basicamente, uma série de Fourrier na forma exponencial[3] epode também ser escrita, reunindo todos os termos de dependência temporal em ϕ n (t), como∞∑ϕ(x, t) = ϕ n (t)e iknx , (1.33)assumindo quen=−∞ϕ n (t) = c n e −iwnt . (1.34)Multiplicando toda a equação anterior por e ik n ′ x e integrando em x, temos que∫ Lϕ(x, t)e −ik n ′ x dx =∞∑∫ L0n=−∞ 0Porém, usando a representação da Delta[10] dada por∫ Lobtemos queϕ n (t) = 1 L0ϕ n (t)e i(kn−k n ′ )x dx.e i(kn±k n ′ ) dx = Lδ n,∓n ′, (1.35)∫ L0ϕ(x, t)e −iknx dx. (1.36)Uma vez que a equação (1.33) é construída como uma superposição de ondas planas, elaobedece à equação da onda dada por (1.17), ou seja,□ϕ(x, t) = 0, (1.37)10