aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

logo, substituindo nesta última equação do campo dado por (2.62) e suas respectivas derivadastemporais e espaciais, dadas por (2.27) e (2.28), multiplicando os fatores desta e arrumandoseus termos, temosĤ = 1 ∫ ∫ ∫dx 3 dk ′3 dk 3 [(−w k ′w k − | k2⃗′ || ⃗ k| + m 2 )â † kâ † ′ k u∗ k ′u∗ k++(−w k ′w k − | ⃗ k ′ || ⃗ k| + m 2 )â k ′â k u k ′u k + (w k ′w k + | ⃗ k ′ || ⃗ k| + m 2 )â † k ′ â k u ∗ k ′u k++(w k ′w k + | ⃗ k ′ || ⃗ k| + m 2 )â k ′â † k u k ′u∗ k].Calculando agora as integrais em ⃗x presentes em cada termo da última relação começandopela integral da função u k , dada por (2.64) e de seu complexo conjugado u ∗ k ′. Assim, já organizandoalguns termos, temos∫dx 3 u ∗ k ′u k = 1(2π) 3 ∫que de acordo com (2.60), fica∫dx 3 1 1√ √ e i(w k ′ −wk)t e i⃗x·(⃗ k− ⃗ k ′) ,2wk ′ 2wkdx 3 u ∗ k ′u k = δ3 ( ⃗ k − ⃗ k ′ )√ 2wk√ 2wk ′e i(w k ′ −w k)t . (2.68)Calculando agora para u ∗ k e ′ u∗ k , temos∫∫dx 3 u ∗ k ′u∗ k = dx 3 1 1√ √ e i(w k ′ +wk)t e −i⃗x.(⃗ k+ ⃗ k ′) ,2wk ′ 2wkque analagamente ao caso anterior, fica∫dx 3 u ∗ k ′u∗ k = δ3 ( ⃗ k + ⃗ k ′ )√ 2wk√ 2wk ′e i(w k ′ +w k)t , (2.69)e ainda para u k e u k ′, de onde vem∫∫dx 3 u k ′u k =dx 3 1 1√ √ e −i(w′ k +wk)t e i⃗x.(⃗ k+ ⃗ k ′) ,2wk ′ 2wkque fica como∫dx 3 u k ′u k = δ3 ( ⃗ k + ⃗ k ′ )√ 2wk√ 2wk ′e −i(w k ′ +w k)t . (2.70)Com as relações (2.68), (2.69) e (2.70), podemos mostrar, concordando com (2.18), queĤ = 1 ∫ dk3[(−wk 2 + |2 2w ⃗ k| 2 + m 2 )â † −k↠k e2iw kt + (−wk 2 + | ⃗ k| 2 + m 2 )â −k â k e −2iwkt +k36