aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

que é a Lagrangeana (1.4) escrita no limite do contínuo, ou seja, a Lagrangeana para a cordaclássica.Podemos notar na equação (1.18) que seu integrando pode ser identificado como uma Densidadede Lagrangeana, que por sua vez nos fornece a Lagrangeana quando a integramos emtodo espaço considerado, ou seja,L =∫ l0Ldx. (1.19)Logo, comparando as equações (1.18) e (1.19) e, fazendo, por conveniência, a substituiçãoq(x, t) −→ ϕ(x, t) obtemosL = 12v 2 ( ∂ϕ∂t) 2− 1 2que é a Densidade de Lagrangeana para a corda vibrante.( ) 2 ∂ϕ, (1.20)∂xDe forma que suas energias cinéticas e potenciais são, respectivamente, redefinidas comoeT = 12v 2 ∫ l0( ) 2 ∂ϕdx (1.21)∂tV = 1 2∫ l0( ) 2 ∂ϕdx. (1.22)∂xPara que a equação da onda dada por (1.15), na qual surge uma espécie de covariancia entreas coordenadas espacial e teporal, seja obtida diretamente da equação de Euler-Lagrange, estaúltima deve ser modificada de tal maneira que leve em consideração a covariamcia observada.Devido a isso a equação de Euler-Lagrange, já em sua forma modificada (covariante), vem aser∂L∂ϕ − ∂ ∂Lµ∂∂ µ ϕ= 0, (1.23)que é a equação de Euler-Lagrange para campos clássicos, onde os operadores ∂ µ nada maissão do que derivadas covariantes, em relação ao tempo e ao espaço. Como µ varia de 0 a 3,adotaremos ∂ 0 como uma derivada parcial no tempo, ou seja,∂ 0 = ∂ ∂t , (1.24)e ainda ∂ i , onde i = 1, 2, 3, como as derivadas parciais no espaço, ou seja,∂ 1 = ∂∂x , ∂ 2 = ∂ ∂y , ∂ 3 = ∂ ∂z . (1.25)8