aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

que é o próprio operador D’Lambertiano definido agora segundo a notação relativística.Entendendo a última equação como sendo uma equação de onda, podemos inferir para estauma solução do tipo onda plana dada porϕ(x, t) =∞∑n=−∞c n e i(knx−wnt) . (2.7)Iremos impor condições de contorno para o campo em questão semelhantemente ao foi feitopara o caso da corda. Porém, para este caso, consideraremos o campo contido num certo volumeL 3 , sendo nulo o valor do campo na superfície deste cubo.Por mais que agora estejamosinteressados no caso tridimensional, proseguiremos com os cálculos numa única direção, demaneira que, após isto, possamos fazer a generalização para o caso de três dimensões espaciaissem maiores complicações.Substituindo a solução proposta em (2.7) na equação de Klein-Gordon, temos( )∂2∂t − ∂22 ∂x + 2 m2∞∑n=−∞c n e i(knx−wnt) = 0ou ainda, já tendo efetuado as derivadas indicadas nesta última equaçãoDe onde concluimos que∞∑n=−∞c n e i(knx−wnt) (−w 2 n + k 2 n + m 2 ) = 0.w 2 n = k 2 n + m 2 , (2.8)relação esta de extrema importância, essencial para que a solução (2.7) seja de fato solução daequação de Klein-Gordon.2.2 A Quantização do Campo Escalar sujeito à Condiçõesde Contorno PeriódicasDe maneira similar ao método seguido no capítulo anterior para a quantização da corda,cujo campo é dado pela equação (1.60), pode-se mostrar que a equação que rege o campo emquestão é dado porˆϕ(⃗x, t) =∞∑n=−∞1√ 2wm L 3 (â ne i⃗ k n·⃗x−iw nt + â † ne −i⃗ k n·⃗x+iw nt ), (2.9)21