aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

formaLogo, reunindo os resultados (1.6) e (1.7), temos que a equação de Euler-Lagrange ficará naN∑[k(q i+1 − q i )(δ n,i+1 − δ n,i ) − m i ¨q i δ n,i ] = 0.i=1Calculando o produto explicitado na equação acima e, após feito isso, utilizando a propriedadede filtragem da Delta, temos quem ¨q n + k(q n − q n+1 − q n−1 + q n ) = 0, (1.8)que é a equação de movimento para a N-ésima partícula do sistema.Para passarmos de um sistema discreto para um sistema contínuo, é necessário que façamossimultaneamente, o espaçamento entre as massas tender a zero, ou seja, a −→ 0, e o número departículas do sistema tender a infinito, ou seja, N −→ ∞, mantendo o comprimento l constante.E ainda, na somatória, fazerN∑−→ 1 ai=1sendo que, na última passagem, foi também necessária a introdução de um fator 1 para que osadois lados da igualdade sejam dimensionalmente consistentes. É, também, conveniente fazermosa seguinte parametrização na coordenada q n∫ l0dx,q n −→ √ aq(x), (1.9)sendo que x = na 1 e que √ a foi introduzida de maneira que garanta que nosso resultado nãoapresente divergências. Com isso podemos notar queq n+1 −→ √ aq(x + a). (1.10)Substituindo (1.9) e (1.10) na equação (1.8), teremos a equação de movimento não maisparametrizada em “n”, mas sim em “x”, na formam¨q(x) = k[q(x + a) − q(x) + q(x − a) − q(x)].Multiplicando e dividindo o segundo lado da igualdade por “a” e tomando o limite dea −→ 0, temos[ ]q(x + a) − q(x)m¨q(x) = ka lima−→0 a[ ]q(x − a) − q(x)+ ka lim. (1.11)a−→0 a1 Com esta nova definição para a variável “x” podemos parametrizar qualquer q n+m ; m = 0, 1, 2, 3..., logo:q n+m −→ √ aq[(n + m)a] = √ aq(x + ma)6