aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

que segundo (2.16) e (2.17), fica∫ L 3[â n , â n ′] = −=0∫ L 3 ∫ L 300ˆϕ ↔ ∂ 0 u ∗ ndx 3 ∫ L 30ˆϕ ′ ↔∂0 u ∗ n ′dy3 −Usando o produto escalar de Klein-Gordon, temos[â n , â n ′] =∫ L 3 ∫ L 300∫ L 30ˆϕ ′ ↔∂0 u ∗ n ′dy3 ∫ L 3[( ˆϕ ′ ↔∂0 u ∗ n ′)( ˆϕ ↔ ∂ 0 u ∗ n) − ( ˆϕ ↔ ∂ 0 u ∗ n)( ˆϕ ′ ↔∂0 u ∗ n ′)]dx3 dy 3 .0ˆϕ ↔ ∂ 0 u ∗ ndx 3[( ˆϕ ′ ∂ 0 u ∗ n ′ − ∂ 0 ˆϕ ′ u ∗ n ′)( ˆϕ∂ 0u ∗ n − ∂ 0 ˆϕu ∗ n) − ( ˆϕ∂ 0 u ∗ n − ∂ 0 ˆϕu ∗ n)( ˆϕ ′ ∂ 0 u ∗ n ′ − ∂ 0 ˆϕ ′ u ∗ n ′)]dx3 dy 3 ,que segundo as derivadas temporais das funções u n , dada por (1.48), fica[â n , â n ′] =∫ L 3 ∫ L 300[(iw n ′ ˆϕ ′ u ∗ n ′ − ˆπ′ u ∗ n ′)(iw n ˆϕu ∗ n − ˆπu ∗ n) − (iw n ˆϕu ∗ n − ˆπu ∗ n)(iw n ′ ˆϕ ′ u ∗ n ′ − ˆπ′ u ∗ n ′)]dx3 dy 3 .Multiplicando os fatores da equação acima e, após isso, identificando nesta as relações decomutação, temos[â n , â n ′] =∫ L 3 ∫ L 300(w n w n ′[ ˆϕ, ˆϕ ′ ]u ∗ n ′u∗ n + iw n ′[ˆπ, ˆϕ ′ ]u ∗ nu ∗ n ′ + [ ˆϕ′ , ˆϕ]u ∗ n ′u∗ n + iw n [ ˆϕ, ˆπ ′ ]u ∗ nu ∗ n ′)dx3 dy 3 ,na qual, considerando as relações dadas por (1.59), resulte∫ L 3[â n , â n ′] = i0∫ L 30= (w n ′ − w n )[−iw n ′δ(⃗x − ⃗y) + iw n δ(⃗x − ⃗y)]u ∗ nu ∗ n ′dx3 dy 3∫ L 3 ∫ L 300δ(⃗x − ⃗y)u ∗ n(⃗x, t)u ∗ n ′(⃗x′ , t)dx 3 dy 3 .Usando a propriedade de filtragem da Delta de Dirac[3][4], dada portemos quef(a) =∫ xx 0f(x)δ(x − a)dx, (2.18)∫ L 3[â n , â n ′] = (w n ′ − w n ) u ∗ nu ∗ n ′dx3 ,0teremos portanto, de acordo com a relação (1.44), que[â n , â n ′] = (w n ′ − w n )L 3 D n D n ′e −i(wn+w n ′ )t δ n,−n ′,levando novamente em conta (2.18), temos que[â n , â n ′] = 0. (2.19)25