aspectos básicos para a quantização canônica de campos ...

Então a solução geral pode ser re-escrita, com base em (1.39), comoa −n e −iw−nt + b −n e iw−nt = a ∗ ne iwnt + b ∗ ne −iwnt . (1.43)Comparando os termos nos dois lados da igualdade, concluímos quew −n = w n (1.44)e ainda{a−n = b ∗ nb −n = a ∗ n.(1.45)Então, substituindo (1.39) na equação (1.33), temos que esta se dará na forma∞∑ϕ(x, t) = (a n e −iwnt + b n e iwnt )e iknx ,n=−∞ou ainda∞∑ϕ(x, t) = [a n e (iknx−iwnt) + b n e (iknx+iwnt) ].n=−∞A condição de realidade para a última equação nos leva, novamente, à troca n −→ −nno segundo termo da somatória. Fazendo isso e levando em conta as relações (1.41), (1.44) e(1.45), podemos re-escrever tal equação como∞∑ϕ(x, t) = [a n e (iknx−iwnt) + a ∗ ne (−iknx+iwnt) ]. (1.46)n=−∞Note na equação (1.46), solução clássica para o oscilador harmônico simples, que os termossomados são de tal forma que um é o complexo conjugado do outro, fato este que nos garantequalquer função (ou número) pertejnça ao conjunto dos números reais[20].Como o intuito deste capítulo é a quantização da equação (1.46), o primeiro passo neste caminhoé garantir que ela seja normalizável, de maneira a garantir a interpretação probabilística dafunção de onda. Para isso nos é conveniente definir uma solução dita ortonormalizável escritacomou n (x, t) = D n e −iwnt+iknx , (1.47)sendo D n uma constante de normalização que determinaremos a partir de então. Para essafunção, dada por (1.47), temos que a derivada temporal será dada por∂ 0 u n (x, t) = ˙u n (x, t) = −iw n u n (x, t), (1.48)12