03 - CERPCH - Unifei

ARTIGOS TÉCNICOS
postas nos pontos do espaço de projeto para medir a influência na
resposta exata, ou para reduzir o número de coeficientes do polinômio
de referência, e desde que seja feita antes da metamodelização.
O método que responde a este objetivo é a análise da variância
(ANOVA)[3]. Análises gráficas como o gráfico de probabilidade
normal ou (gráfico de Daniel) e o gráfico de Pareto, conforme
fig. (2), também podem ser usados nesta colocação [2].
2.3 Superfícies de resposta clássicas (RSM).
Nesta seção a formulação da RSM é resumida, com base nos desenvolvimentos
originalmente feitos por Myers et al. [2]. Considerando
um fenômeno físico obtido, o qual não tem efeito de memória
(as respostas obtidas dependem somente das entradas naquele
instante), a entrada, x, e a saída, y, são relacionamentos que podem
matematicamente ser definido por uma função: y=f(x). Se
não for possível modelar precisamente o fenômeno físico, a estratégia
é usar técnicas de aproximação de funções no qual o objetivo
é criar uma nova função conhecida g(x) a partir de uma função exata
f(x), que pelo menos, representará um determinado espaço.
Considerando que a função f(x) é desconhecida a priori, o erro quadrático,
eq = ||f(x)-g(x)||2 não pode ser calculado com precisão. O
conceito principal das técnicas de aproximação é usar um conjunto
de medidas (xk,yk=f(x)) do fenômeno físico para calcular o seguinte
erro médio quadrático (MSE) [4].
ne
1
2
� � � yk
� g�p,
xk
�
ne k �1
Onde ne é o número de experiências, e p é o vetor que contém
os coeficientes dos polinômios, g(p,xk) a ser determinado pela
aproximação.
De acordo com Eq. (2), o interesse é gerar g(x) que minimiza ε,
e para isto, são requeridos dois passos: treinando e validação. O
processo de treinamento é a escolha dos dados para executar a
aproximação e deve representar as evoluções da função exata. Na
validação, o conjunto de dados deve ser distinto dos dados de treinamento,
e é usado para conferir a aproximação. Pode-se escolher
usar polinômios, assim o problema de aproximação se torna um
problema de otimização paramétrica para determinar o vetor p que
contém os coeficientes dos polinômios que minimizam a função ε.
Neste sentido, é possível usar a metodologia de superfície de resposta
(RSM) para aproximar as soluções exatas pela relação
y=g(x). A família de polinômios normalmente usada para gerar o
RSM é a de primeira ordem (linear) e a de segunda ordem. Os modelos
de 1ª ordem podem ser divididos em modelos sem interações,
modelos que contêm todas as interações, e os modelos que
contêm só as interações de ordem 1, representadas, respectivamente,
pelas seguintes expressões:
yˆ � �0��1x1��2x2��3x3�� yˆ ��0��1x1��2x2��3x3��12x1x 2 ��
13x1x
3 ��
23 x2
x3
��
123 x1x
2 x3
��
yˆ
� �0��1x1��2x2��3x3��12x1 x2
��
13 x1x
3 ��
23x
2x
3 ��
Os modelos de 2a ordem, composto pelos termos quadráticos
são expressos como:
2
yˆ
� �0���ixi���ij xi
x j � ��
ii xi
��
��
2
Onde este modelo requer pelo menos, (k +3k+2)/2 para pode
ser completamente definido. As equações (2) e (3) podem ser definidas
como uma notação matricial, como: ˆy �X�ˆ�ε 20
�1
�
1
X � �
��
�
��
1
x
x
x
1,
1
2,
1
�
ne
, 1
1,
nc
�1
1,
nc
�1
ne
, nc
�1
Onde nc é o número de coeficientes a serem determinados; xi;j
representa as variáveis e interações; �Rn e �Rn
são vetores que
contem os coeficientes e os erros aleatórios a serem obtidos, respectivamente.
XRnxn Representa a matriz de experiências. Se ne
> nc e XTX é não singular, o Método dos Mínimos Quadrados [4]
possibilita o calculo do vetor de coeficientes α=(XTX)-1XTy.
Então,
a resposta assume a seguinte forma:
2.4 Validação: Plano Fatorial Completo e Anova:
Exemplo: Meio nutritivo para chrysogenum de pénicillium. Nesta
aplicação, explora se resultados de experiências que seguem o
uso de um plano fatorial completo para determinar os fatores mais
influentes na resposta.
Deseja-se obter a influência de cinco fatores: Concentração em
licor de milho, em lactose, em precursor, em nitrato de sódio, e em
glicose. A produção de penicilina é expressa em peso.
A tabela 1 representa o plano de experiências fatorial à 25 testes
é 32, e os efeitos de cada parâmetro e sua interação.
2.5 Função de Base Radial
Aproximações por funções de base radial (FBR) pertencem a
uma classe de modelos lineares generalizados. Diferem da metodologia
clássica por permitir a escolha das funções de base. Foi originalmente
desenvolvida por Hardy [5], para reconstruir uma de-
�
�
�
�
T
�1
T �XX� X Y ε
y � X �
x
x
x
�
�
�
�
�
�
��
Figura 1 – Diagrama de Pareto dos Efeitos
Fonte de Variação SS DF MS Ftest Contribuição
x 1
38,56 1 38,56 84,92 23,18
x 3
32,25 1 32,25 71,03 19,39
x 5
54,47 1 54,47 120 32,76
1 2
4,407 1 4,407 9,706 2,65
4,594 1 4,594 10,12 2,763
3,125 1 3,125 6,883 1,879
2,461 1 2,461 5,421 1,48
1,125 1 1,125 2,478 0,6765
13,78 1 13,78 30,35 8,287
1,033 1 1,033 2,276 0,6213
1,32 1 1,32 2,908 0,794
2 1 2 4,405 1,203
2,192 1 2,192 4,827 1,318
4,981 1 4,981 10,97 2,995
Resíduos 7.718.750 17 0.4540441
Total 1.740.151 31
x x
1 3 x x
1 4 x x
2 3 x x
2 5 x x
3 5 x x
Tabela2–Análise de Variância obtida do programa RSM em Fortran
x 1 x 2 x 4
x 1 x 3 x 5
x 1 x 2 x 3 x 4
x 1 x 3 x 4 x 5
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5