03 - CERPCH - Unifei

A celeridade pode ser estimada por (MACINTYRE, 1983):
9900
a �
' D
48,
3 � k .
e
Sendo, k o módulo de elasticidade volumétrica, ou seja fator nu-
10
mérico igual a 10 /E. EE=módulo de elasticidade do material,
N/m²; e= espessura da parede do conduto, m;
2.1 Diferenças Finitas pelo Esquema Difusivo de Lax
Solucionam-se as equações de escoamentos em condutos forçados
pelo Esquema Difusivo de Lax, que é comumente utilizado
na resolução das equações de Saint-Venant que governam o escoamento
transitório em canais. Para solucionar por diferenças finitas
as derivadas parciais de um sistema de equações deve ser introduzido
o conceito do plano das variáveis independentes: espaço
e o tempo (STEINSTRASSER, 2005). Pelo Esquema Difusivo de Lax
representam-se as derivadas espaciais em tempos conhecidos, por
esta razão é camado de esquema explícito (CASTANHARO, 2003).
As funcões v=v(x,t) e h=h(x,t) são representadas por v v(
i x,
j t)
e .A discretização das derivadas parciais são resolvidas
pelas seguintes aproximacões por diferenças finitas centradas:
i
j � � �
h h(
i x,
j t)
i
� � �
j
j � 1 *
�v
vi
�v
�
�t
�t
j � 1 *
�h
hi
�h
�
�t
�t
j j
� �1
v vi�1
�vi
�
�x
2�x
Sendo que v* e h* são as médias no instante j:
j j
* ( vi
�1 vi�1)
v
2
Substituindo nas equações (1) e (2) as equações (4) se obtém
a equação da quantidade de movimento:
�
j j
* ( hi�1
hi
�1)
�
h
2
�
�
j�1
i
v
h
j �1
i
j j � j j
j j j j � j j j j
( v
��
i�1
� vi�1
) ( hi�1
� hi�1
) ( vi�1
� vi�1
) ( vi
�1
� vi
�1)
f ( v � �
� � � �
�
� � i �1
vi�1
) ( vi�1
vi�
1)
t.
g.
.
.
. ��
2 � 2�x
2 2�x
2D
�
�
�
� 2 2
���
Da equação de conservação da massa:
�
As equações (7) e (8), solucionam os pontos internos do conduto
i = 1,2,3,...m, onde m é o ponto ligeiramente antes da chaminé
de equilíbrio. E também os pontos m+2 até n que correspondem
ao trecho do conduto a jusante da chaminé até a válvula. Para
os demais pontos são inseridas as condições de contorno para o
problema.
O ponto O corresponde ao reservatório que segue as seguintes
relações de condição de contorno:
j 1 j
v0 v0
�
j j f . v . v
�
j�
1
0 0
h0
� hr
�
2.
g
Sendo, hr = elevação do nível do reservatório, m;
O ponto m+1 corresponde à chaminé de equilíbrio que segue as
seguintes relações de condição de contorno:
Sendo, Qc = vazão da chaminé, m³/s.
j j
� �1
h hi�1
�hi
�
�x
2�x
j
2 j j
j j j j
j j
� hi
�1
) � a ( v i�
1 � v i�1
) ( hi�
1 � hi
�1
) ( hi�
1 � hi
�1
) ( vi�
1 � v i�
) �
� �t.
� .
�
.
�
. sen�
�
2 � g 2 �x
2 2�x
2 �
j
( hi�
1
1
�Q�j. �t�.
Q �j. �t��
j j
hm �hm � kc
c
c
� �1
1
.
Q
� 1
�� � � � � 1
j�1
j
hm�1
�hm
�1
j �
j �1.
�t
� . A h
c
�1
�1
�t
j j
Qm� 1 �Qm
�Qc
c
. ��j�1�. �t�
m�1
ARTIGOS TÉCNICOS
O ponto n+2 corresponde à válvula de fechamento rápido onde
pode ser inserida nas rotinas de cálculos a lei de fechamento ou
abertura conforme o tipo de válvula. Seguem as seguintes relações
de condição de contorno:
j�1
�Q
. �j�1�. �t
Sendo, Qr = vazão da válvula, m³/s.
2.3 Condições de Estabilidade e Convergência
Para obter a estabilidade e a convergência dos resultados pelos
métodos explícitos deve-se atender a condição CFL - Courant, Friedrichs
e Lax definida por (STEINSTRASSER, 2005).
Sendo, v = velocidade do escoamento; a = celeridade da onda.
3.RESULTADOS E DISCUÇÃO
Qn� 2 T
�t 1
�
�x
v � a
� �
3.1 Ensaios Laboratorial e Modelo Hidrodinâmico WANDA
Para se obter a base de comparação foi preparado um Experimento
Laboratorial (a) com dimensões que estão apresentadas na
Figura 1, e além do programa desenvolvido neste estudo outra simulação
computacional foi gerada usando o modelo Wanda 3 (b):
a)Experimento Laboratorial: Modelo físico instalado no Laboratório
Didático de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica da Universidade
Federal do Paraná, anexo às instalações do Laboratório de hidráulica
do LACTEC. Este modelo foi projetado com base em um modelo
genérico de chaminé de equilíbrio utilizado na Universidade de Toronto
no Canadá. A tomada dos resultados das oscilações de níveis
se deu através de sensor de pressão instalado na base da chaminé
de equilíbrio.
b)Wanda 3 – Water Analysis Data Advisor - WANDA Transient -
Delft Hydraulics: A teoria que rege os cálculos do programa
WANDA 3 trata das formulações para escoamentos nãopermanentes
pelo método das características (DELFT
HYDRAULICS, 2001).
Os dados utilizados são os seguintes: vazão média 0,964 l/s,
comprimento do conduto 12,21 m, perda de carga de 1,91 m, do reservatório
até a seção da chaminé, diâmetro interno do tubo
0,0277 m, área da chaminé de equilíbrio 0,02 m² e tempo de fechamento
da válvula de 0,2 segundos.
3.2 Análise dos Resultados
A Figura 3 apresenta uma amostra típica dos resultados de fechamento
rápido obtidos pelas simulações Modelo LAX, Modelo
Wanda 3 e Modelo Físico.
As curvas dos modelos computacionais LAX e Wanda apresentaram
boa aderência aos dados observados no modelo físico e ficaram
muito próximas entre si, às vezes sobrepondo-se. Assim, conclui-se
pela viabilidade do uso do modelo Difusivo de Lax desenvolvido.
Os modelos que se baseiam em métodos que fazem um tratamento
específico para o fator de atrito transitório (com certa variação
de coeficientes) apresentam um amortecimento maior nos casos
estudados (AMARAL e PALMIER, 2006). Justificando-se que as
taxas de dissipação para os métodos que envolvem coeficientes de
perdas de carga de escoamentos permanentes, como são os casos
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