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RESUMO ABSTRACT ARTIGOS TÉCNICOS MODELAGEM COMPUTACIONAL DE OSCILAÇÃO DE MASSA EM CHAMINÉ DE EQUILÍBRIO UTILIZANDO DIFERENÇAS FINITAS DISCRETIZADAS PELO ESQUEMA DIFUSIVO DE LAX 1.INTRODUÇÃO Os circuitos de geração de alta queda estão sujeitos às ocorrências de escoamentos variados em função da operação de fechamento, parcial ou não, de válvulas no limite de jusante do sistema ou pelos próprios distribuidores das turbinas. Esta perturbação pode gerar golpes de aríete que são variações significativas de pressão na tubulação e/ou túnel de carga. A chaminé de equilíbrio, por sua vez, faz o papel de atenuar esta sobre pressão pois permite a oscilação (fuga) da massa de água no seu interior, transformando a energia de pressão em energia cinética (ANDRZEJEWSKI, 2009). Os métodos matemáticos de análise dos transientes em condutos forçados e chaminés de equilíbrio se baseiam nas equações da continuidade, da conservação da quantidade de movimento, e de relações entre propriedades físicas associadas ao escoamento e ao golpe de aríete. Quando bem definida a resposta dinâmica do sistema e as envoltórias do problema, ou seja: níveis de água, dimensões geométricas, rugosidade do circuito hidráulico, perda de carga localizadas, comportamento dos equipamentos e condições de segurança; pode-se chegar a resultados confiáveis através da ajuda dos cálculos computacionais (RAMOS e ALMEIDA, 2001). Porém, novos modelos de cálculos de chaminés de equilíbrio possibilitam ampliar a gama de métodos de utilização e gerar novas contribuições nas alternativas de estudo de usinas de alta queda. Edgar Alberti Andrzejewski 2 Eloy Kaviski Desenvolveu-se um método computacional para a análise das oscilações de massa em chaminés de equilíbrio considerando as discretizações das equações diferenciais parciais que modelam os escoamentos não-permanentes em condutos pelo Esquema Difusivo de Lax. A intenção é desenvolver uma nova alternativa de cálculo de chaminés de equilíbrio por diferenças finitas para o estudo de arranjos de circuitos de geração de usinas hidrelétricas com longos túneis e condutos de adução. A verificação da confiabilidade dos resultados simulados pelo modelo matemático desenvolvido se deu através da comparação com os resultados obtidos por ensaios em um modelo físico genérico de um arranjo de circuito de geração. Outra comparação foi realizada considerando os resultados obtidos através da ferramenta computacional Wanda 3 do Instituto holandês Delft Hydraulics. Com base na comparação com o golpe de aríete experimental, o método proposto se mostrou adequado, estável e convergente. Palavras-chave: Modelagem Computacional, Escoamento não-Permanente, Oscilação de Massa, Chaminé de Equilíbrio, Diferenças Finitas, Esquema Difusivo de Lax, Usina Hidrelétrica. The Lax´s diffusive scheme was used to develop a computation routine in Turbo Pascal language to solve the differential equations for nom permanent flows in conduits. The aim was to present an alternative model to calculate surge tanks for hydropower plants with long intake tunnels or conduits. The validation of the model was performed trough the comparison between the results of a physical hydraulic model in the UFPR hydraulic lab, the results of the computations of the Lax´s model and also from other mathematical model, the Wanda 3 developed by Delft Hydraulics in The Netherlands. The Lax´s model presented quite similar results which were adherent to the physical hydraulic model ones. The new mathematical model was convergent and stable when considered the Courant condition for the application of the finite differential method. Key words: Mathematical Modeling, Nom Permanent Flows, Mass Oscillations, Surge Tanks, Finite-Differences Method, Lax´s Diffusive Scheme, Hydroelectric Plant. 24 1 No presente trabalho, foram solucionadas as equações diferenciais parciais que governam o escoamento não-permanente unidimensional de por diferenças finitas pelo Esquema Difusivo de Lax. O problema foi programado e processado em linguagem Pascal. Os resultados alcançados foram satisfatórios quando analisado em conjunto com dados gerados experimentalmente. 2.MATERIAIS E MÉTODOS As equações, na forma não-conservativa, do escoamento nãopermanente unidimensional em condutos, que representam a conservação da quantidade de movimento linear e a conservacão de massa, são as seguintes (WYLIE e STREETER, 1978): �h Q �Q �Q QQ gA � � � f � 0 �x A �x �t 2DA Sendo, Q= vazão do conduto, m³/s; g = aceleração da gravidade, m/s²; f = fator de resistência de Darcy-Weisbach; D= diâmetro hidráulico do conduto, m; A= área da seção transversal do conduto, m²; e h= carga piezométrica, m.c.a.; α= ângulo do eixo do conduto com a horizontal, graus; e a= celeridade da onda (velocidade de propagação da onda de choque do golpe de aríete, m/s). 1 Engenheiro Civil – e-mail: ed.andrz@gmail.com 2 Professor – Engenheiro Civil – Universidade Federal do Paraná – UFPR, Departamento de Hidráulica e Saneamento – e-mail: eloy.dhs@ufpr.br. Q �h �h Q a² �Q � � sen( �) � � 0 A �x �t A Ag �x
A celeridade pode ser estimada por (MACINTYRE, 1983): 9900 a � ' D 48, 3 � k . e Sendo, k o módulo de elasticidade volumétrica, ou seja fator nu- 10 mérico igual a 10 /E. EE=módulo de elasticidade do material, N/m²; e= espessura da parede do conduto, m; 2.1 Diferenças Finitas pelo Esquema Difusivo de Lax Solucionam-se as equações de escoamentos em condutos forçados pelo Esquema Difusivo de Lax, que é comumente utilizado na resolução das equações de Saint-Venant que governam o escoamento transitório em canais. Para solucionar por diferenças finitas as derivadas parciais de um sistema de equações deve ser introduzido o conceito do plano das variáveis independentes: espaço e o tempo (STEINSTRASSER, 2005). Pelo Esquema Difusivo de Lax representam-se as derivadas espaciais em tempos conhecidos, por esta razão é camado de esquema explícito (CASTANHARO, 20<strong>03</strong>). As funcões v=v(x,t) e h=h(x,t) são representadas por v v( i x, j t) e .A discretização das derivadas parciais são resolvidas pelas seguintes aproximacões por diferenças finitas centradas: i j � � � h h( i x, j t) i � � � j j � 1 * �v vi �v � �t �t j � 1 * �h hi �h � �t �t j j � �1 v vi�1 �vi � �x 2�x Sendo que v* e h* são as médias no instante j: j j * ( vi �1 vi�1) v 2 Substituindo nas equações (1) e (2) as equações (4) se obtém a equação da quantidade de movimento: � j j * ( hi�1 hi �1) � h 2 � � j�1 i v h j �1 i j j � j j j j j j � j j j j ( v �� i�1 � vi�1 ) ( hi�1 � hi�1 ) ( vi�1 � vi�1 ) ( vi �1 � vi �1) f ( v � � � � � � � � � i �1 vi�1 ) ( vi�1 vi� 1) t. g. . . . �� 2 � 2�x 2 2�x 2D � � � � 2 2 �� Da equação de conservação da massa: � As equações (7) e (8), solucionam os pontos internos do conduto i = 1,2,3,...m, onde m é o ponto ligeiramente antes da chaminé de equilíbrio. E também os pontos m+2 até n que correspondem ao trecho do conduto a jusante da chaminé até a válvula. Para os demais pontos são inseridas as condições de contorno para o problema. O ponto O corresponde ao reservatório que segue as seguintes relações de condição de contorno: j 1 j v0 v0 � j j f . v . v � j� 1 0 0 h0 � hr � 2. g Sendo, hr = elevação do nível do reservatório, m; O ponto m+1 corresponde à chaminé de equilíbrio que segue as seguintes relações de condição de contorno: Sendo, Qc = vazão da chaminé, m³/s. j j � �1 h hi�1 �hi � �x 2�x j 2 j j j j j j j j � hi �1 ) � a ( v i� 1 � v i�1 ) ( hi� 1 � hi �1 ) ( hi� 1 � hi �1 ) ( vi� 1 � v i� ) � � �t. � . � . � . sen� � 2 � g 2 �x 2 2�x 2 � j ( hi� 1 1 �Q�j. �t�. Q �j. �t�� j j hm �hm � kc c c � �1 1 . Q � 1 �� 1 j�1 j hm�1 �hm �1 j � j �1. �t � . A h c �1 �1 �t j j Qm� 1 �Qm �Qc c . ��j�1�. �t� m�1 ARTIGOS TÉCNICOS O ponto n+2 corresponde à válvula de fechamento rápido onde pode ser inserida nas rotinas de cálculos a lei de fechamento ou abertura conforme o tipo de válvula. Seguem as seguintes relações de condição de contorno: j�1 �Q . �j�1�. �t Sendo, Qr = vazão da válvula, m³/s. 2.3 Condições de Estabilidade e Convergência Para obter a estabilidade e a convergência dos resultados pelos métodos explícitos deve-se atender a condição CFL - Courant, Friedrichs e Lax definida por (STEINSTRASSER, 2005). Sendo, v = velocidade do escoamento; a = celeridade da onda. 3.RESULTADOS E DISCUÇÃO Qn� 2 T �t 1 � �x v � a � � 3.1 Ensaios Laboratorial e Modelo Hidrodinâmico WANDA Para se obter a base de comparação foi preparado um Experimento Laboratorial (a) com dimensões que estão apresentadas na Figura 1, e além do programa desenvolvido neste estudo outra simulação computacional foi gerada usando o modelo Wanda 3 (b): a)Experimento Laboratorial: Modelo físico instalado no Laboratório Didático de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica da Universidade Federal do Paraná, anexo às instalações do Laboratório de hidráulica do LACTEC. Este modelo foi projetado com base em um modelo genérico de chaminé de equilíbrio utilizado na Universidade de Toronto no Canadá. A tomada dos resultados das oscilações de níveis se deu através de sensor de pressão instalado na base da chaminé de equilíbrio. b)Wanda 3 – Water Analysis Data Advisor - WANDA Transient - Delft Hydraulics: A teoria que rege os cálculos do programa WANDA 3 trata das formulações para escoamentos nãopermanentes pelo método das características (DELFT HYDRAULICS, 2001). Os dados utilizados são os seguintes: vazão média 0,964 l/s, comprimento do conduto 12,21 m, perda de carga de 1,91 m, do reservatório até a seção da chaminé, diâmetro interno do tubo 0,0277 m, área da chaminé de equilíbrio 0,02 m² e tempo de fechamento da válvula de 0,2 segundos. 3.2 Análise dos Resultados A Figura 3 apresenta uma amostra típica dos resultados de fechamento rápido obtidos pelas simulações Modelo LAX, Modelo Wanda 3 e Modelo Físico. As curvas dos modelos computacionais LAX e Wanda apresentaram boa aderência aos dados observados no modelo físico e ficaram muito próximas entre si, às vezes sobrepondo-se. Assim, conclui-se pela viabilidade do uso do modelo Difusivo de Lax desenvolvido. Os modelos que se baseiam em métodos que fazem um tratamento específico para o fator de atrito transitório (com certa variação de coeficientes) apresentam um amortecimento maior nos casos estudados (AMARAL e PALMIER, 2006). Justificando-se que as taxas de dissipação para os métodos que envolvem coeficientes de perdas de carga de escoamentos permanentes, como são os casos 25
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