Modele si prognoze -MAN - an III sem 2

UNIVERSITATEA HYPERION
Facultatea Stiinte Economice –
Prof. univ. dr. Elena Pelinescu
Prof.univ.dr. Dorin Jula
Învăţământ la distanţă
Asist. univ. dr. Andrei Silviu Dospinescu
MODELE ŞI PROGNOZE ECONOMICE

CUPRINS
Modele și prognoze economice 6
Introducere ................................................................................................................. 11
Unitatea de învăţare 1: “Noţiuni fundamentale de modelare şi prognoză
economică“.................................................................................................................. 13
1. Modelul economic – noţiuni generale ................................................................... 13
1.1. Schema generală a procesului de modelare...................................................... 13
1.2. Modelul econometric........................................................................................ 23
1.3. Elementele unui model econometric ................................................................ 27
1.3.1. Variabilele modelului ............................................................................... 28
1.3.2. Parametrii modelului ................................................................................ 29
1.3.3. Ecuaţiile modelului ................................................................................... 29
1.3.4. Datele utilizate .......................................................................................... 31
2. Modelul linear de regresie unifactorial ................................................................ 32
2.1. Ecuaţia de regresie ........................................................................................... 33
2.2. Metoda celor mai mici pătrate .......................................................................... 36
2.3. Ipotezele modelului linear unifactorial ............................................................ 39
2.4. Proprietăţi ale estimatorilor .............................................................................. 40
3. Modelul linear de regresie multifactorial ............................................................ 42
3.1. Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial ................................ 43
3.2. Ipotezele modelului .......................................................................................... 47
3.3. Proprietăţi ale estimatorilor .............................................................................. 48
Rezumat ...................................................................................................................... 48
Termeni-cheie ............................................................................................................. 49
Tema de control a unității de învățare nr. 1 ............................................................ 50
Testul de autoevaluare nr. 1 ...................................................................................... 50
Bibliografia specifică unității de învățare nr. 1 ....................................................... 52

Modele și prognoze economice 7
Unitatea de învăţare 2: “Teste statistice“ ................................................................ 56
4. Teste de semnificaţie .............................................................................................. 57
4.1. Dispersia estimatorilor ..................................................................................... 57
4.1.1. Dispersia estimatorilor în modelul linear unifactorial .............................. 58
4.1.2. Dispersia estimatorilor în modelul linear multifactorial ........................... 59
4.2. Teste privind semnificaţia estimatorilor ........................................................... 63
4.2.1. Teste de semnificaţie în cazul modelului unifactorial .............................. 64
4.2.2. Teste de semnificaţie în cazul modelului multifactorial ........................... 66
4.3. Exemple de calcul ............................................................................................ 67
4.3.1. Modelul linear unifactorial ....................................................................... 67
4.3.2. Modelul linear multifactorial .................................................................... 74
5. Specificarea modelului şi acurateţea ajustării .................................................... 83
5.1. Acurateţea ajustării ........................................................................................... 83
5.1.1. Coeficientul de determinare ...................................................................... 84
5.1.2. Coeficientul de determinare corectat ........................................................ 87
5.2. Specificarea modelului multifactorial .............................................................. 88
5.2.1. Criterii pentru specificarea modelului multifactorial ............................... 88
5.2.2. Erori de specificare a modelului multifactorial de regresie lineară .......... 90
5.3. Exemple de calcul ............................................................................................ 93
5.3.1. Calculul coeficientului de determinare ..................................................... 93
5.3.2. Calculul coeficientului de determinare ajustat ......................................... 96
5.3.3. Analiza specificării modelului .................................................................. 97
6. Multicolinearitatea ............................................................................................... 100
6.1. Consecinţe ale multicolinearităţii ................................................................... 100
6.2. Identificarea multicolinearităţii ...................................................................... 103
6.3. Atenuarea multicolinearităţii .......................................................................... 105
7. Heteroscedasticitatea erorilor .................................................................. 108
7.1. Consecinţe ale heteroscedasticităţii ..................................................... 108

Modele și prognoze economice 8
7.2. Testarea heteroscedasticităţii............................................................... 110
7.2.1. Testul Goldfeld–Quandt .............................................................. 111
7.2.2. Testul Breusch-Pagan .................................................................. 112
7.2.3. Testul White ................................................................................ 114
7.3. Atenuarea heteroscedasticităţii – metoda EGLS White ...................... 115
7.4. Aplicaţii – testarea şi eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate
a erorilor ............................................................................................. 119
7.4.1. Testul White pentru modelul unifactorial .................................... 119
7.4.2. Testul White pentru modelul multifactorial ................................ 132
8. Autocorelarea erorilor ............................................................................... 137
8.1. Consecinţe ale autocorelării erorilor ................................................... 139
8.2. Testarea autocorelării erorilor ............................................................. 140
8.2.1. Testul Durbin – Watson ............................................................... 140
8.3. Metoda celor mai mici pătrate generalizată ........................................ 146
8.4. Aplicaţii – testarea fenomenului de autocorelare a erorilor ................ 147
8.4.1. Aplicarea testului Durbin – Watson ............................................ 147
9. Testarea normalităţii erorilor ................................................................... 152
9.1. Consecinţe ale nerespectării ipotezei de normalitate a erorilor.............. 152
9.2. Testul Jarque-Bera.................................................................................. 153
9.3. Atenuarea consecinţelor non-normalităţii distribuţiei erorilor ............... 155
9.4. Exemple de calcul .................................................................................. 156
9.4.1. Modelul linear unifactorial ............................................................. 156
9.4.2. Modelul linear multifactorial .......................................................... 157
Rezumat ........................................................................................................ 159
Termeni-cheie ............................................................................................... 160
Tema de control a unității de învățare nr. 2 .............................................. 160
Testul de autoevaluare nr. 2 .................................................................................... 161
Bibliografia specifică unității de învățare nr. 2 ..................................................... 163

Modele și prognoze economice 9
Unitatea de învăţare 3: “Elemente specifice de modelare a datelor în economie “
.................................................................................................................................... 167
10. Serii de timp........................................................................................................ 168
10.1. Introducere în prognoza seriilor de timp ...................................................... 168
10.2 Determinarea tendinţei generale (trendului) ................................................ 168
10.3. Determinarea componentei sezoniere .......................................................... 174
11. Staţionaritatea .................................................................................................... 180
12. Cointegrarea ....................................................................................................... 189
13. Utilizarea modelelor econometrice în prognoză (I) ........................................ 194
13.1. Prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie lineară ...................... 194
13.2. Prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie lineară ................... 196
14. Utilizarea modelelor econometrice în prognoză (II) ....................................... 199
14.1. Aplicaţii ........................................................................................................ 199
14.1.1. Modelul linear unifactorial ................................................................... 199
14.1.2. Modelul linear multifactorial ................................................................ 201
Rezumat .................................................................................................................... 203
Termeni-cheie ........................................................................................................... 204
Tema de control a unității de învățare nr. 3 .......................................................... 204
Testul de autoevaluare nr. 3 .................................................................................... 205
Bibliografia specifică unității de învățare nr. 3 ..................................................... 207
Răspunsurile testelor ......................................................................................211
Bibliografia întregului suport de curs................................................................212
Notițele cursantului .......................................................................................216
Anexe statistice ......................................................................................................... 219
A. Distribuţia normală ........................................................................................... 220
B. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul bilateral ................... 222

Modele și prognoze economice 10
C. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul unilateral ................. 223
D. Valorile critice ale distribuţiei χ 2 .......................................................... 224
E. Statistica Durbin – Watson (dw) : valorile dL şi dU pentru testul
unilateral, la un nivel de semnificaţie de 5% ...................................... 225
F. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.01 ............................ 227
G. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.05 ........................... 228
H. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.10 ............................ 229

INTRODUCERE
Modele și prognoze economice 11
Acest curs se adresează studenţilor economişti ai Universităţii Hyperion şi îşi
propune să trateze elementele fundamentale necesare modelării şi prognozei
economice.
Studentul va dobândi cunoştinţele şi competenţele necesare pentru a putea
construi, utiliza şi analiza rezultatele modelelor econometrice.
Cursul “Modele şi prognoze economice” este structurat pe unităţi de învăţare
(U.I) care grupează principalele cunoştinţe şi competenţe necesare studentului în
modelarea econometrică a datelor economice.
Unităţile de învăţământ cuprind conţinutul temei respective şi obiective
specifice, rezumat, termeni-cheie, verificarea cunostinţelor, teste de autoevaluare si
bibliografie.
Evaluarea cunoştinţelor se va realiza sub două forme:
• evaluare continuă, pe baza lucrarilor de verificare regasite la sfarsitul fiecarei unitati
de invatare;
• evaluare finală, realizata prin examenul susţinut în perioada
de sesiune.
Schema generală de parcurgere a unei teme este următoarea:
Citeşte obiectivele
Parcurge conţinutul lecţiei
Răspunde la întrebările de verificare
Completează şi rezolvă testul de autoevaluare de la finalul temei

Unitatea de învăţare 1: NOŢIUNI
Modele și prognoze economice 12
FUNDAMENTALE DE MODELARE ŞI
PROGNOZĂ ECONOMICĂ
Unitatea de învăţământ 1 grupează temele necesare asimilării cunoştinţelor şi
competenţelor fundamentale în construirea, utilizarea şi interpretarea modelelor
econometrice.
Timpul de studiu individual estimat: 9 h
Obiective specifice:
înţelegerea conceptelor de model econometric, regresie liniară unifactorială,
regresie multifactorială
înţelegerea conceptelor de modelare şi prognoză economică
cunoaşterea tipologiilor şi parametrii modelelor utilizate în prognoze economice
dezvoltarea capacităţilor de corelare a cunoştinţelor obţinute în cadrul altor
discipline cu cele din cadrul modelării şi prognozei
utilizarea conceptelor privind modelarea economică într-un studiu de caz
înţelegerea modului de construire a unui model de regresie unifactorial şi
multifactorial
utilizarea conceptelor învăţate pentru construirea unui model de regresie
unifactorial şi multifactorial
Cuprins:
A. Modelul economic – noţiuni generale
1.1. Schema generală a procesului de modelare
1.2. Modelul econometric

1.3. Elementele unui model econometric
1.3.1. Variabilele modelului
1.3.2. Parametrii modelului
1.3.3. Ecuaţiile modelului
1.3.4. Datele utilizate
B. Modelul linear de regresie unifactorial
2.1. Ecuaţia de regresie
2.2. Metoda celor mai mici pătrate
2.3. Ipotezele modelului linear unifactorial
2.4. Proprietăţi ale estimatorilor
C. Modelul linear de regresie multifactorial
3.1. Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial
3.2. Ipotezele modelului
3.3. Proprietăţi ale estimatorilor
Rezumat
Termeni-cheie
Tema de control a unității de învățare nr. 1
Testul de autoevaluare nr. 1
Bibliografia specifică unității de învățare nr. 1
1. MODELUL ECONOMIC – NOŢIUNI
GENERALE
1.1. Schema generală a procesului de modelare
În accepţiunea comună, modelul reprezintă o normă, un ideal spre care se
tinde datorită calităţilor, chiar perfecţiunii sale. Un model ştiinţific este o construcţie,
de obicei teoretică, în anumite privinţe simplificată, care îşi propune să faciliteze
înţelegerea unei realităţi complexe prin intermediul unei imagini apropiate, cât mai
fidele. Două idei sunt esenţiale în această abordare a conceptului de model: în primul
13

Modele și prognoze economice 14
rând, ideea de reprezentare simplificată a realităţii şi, în al doilea rând, cea de
asemănare structurală, funcţională, comportamentală între model şi realitate 1 .
În interpretarea lui Malinvaud "un model constă în reprezentarea formală a
ideilor şi cunoştinţelor relative la un anumit fenomen. Aceste idei, numite deseori
teoria fenomenului, se exprimă printr-un ansamblu de ipoteze asupra elementelor
esenţiale ale fenomenului şi a legilor care le guvernează. Acestea sunt în general
traduse sub forma unui sistem matematic numit model. Logica modelului ne permite
să explorăm consecinţele naturale ale ipotezelor reţinute, să le confruntăm cu
rezultatele experimentale şi să ajungem pe această cale la o cunoaştere mai bună a
realităţii şi să acţionăm mai eficace asupra sa." (Malinvaud E., 1964) 2 .
Există, în literatura de specialitate, mai multe tipologii ale modelelor
economice. Clasificarea unor elemente constă în plasarea acestora, în funcţie de
caracteristicile proprii, într-o anumită grupă (clasă). Aceste clase trebuie să respecte
cel puţin două condiţii esenţiale 3 :
a) să fie omogene, adică elementele care prezintă caracteristici similare trebuie să
aparţină aceleiaşi clase;
b) să fie relativ bine separate, adică elementele ne-similare trebuie să facă parte din
clase diferite.
Cu alte cuvinte, elementele dintr-o clasă trebuie să fie asemănătoare (similare)
între ele şi să distingă de elementele care aparţin altor clase.
În literatura de specialitate din România, una dintre cele mai interesante
clasificări este prezentată de Acad. Emilian Dobrescu 4 . În orice clasificare, esenţială
este noţiunea de criteriu. Aceasta deoarece un criteriu adecvat, aplicat asupra
elementelor unei mulţimi induce în mulţimea respectivă o relaţie de ordine. În
lucrarea menţionată, Acad. Emilian Dobrescu reţine următoarele criterii de clasificare
1 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag.7.
2 Citat în Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică,
Bucureşti, pag. 33.
3 Jula D., Jula N., 1999, Economie sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, pag. 18-21.
4 Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti,
pag. 24.

a modelelor economice: natura elementelor componente, caracterul
interdependenţelor dintre variabile, nivelul de agregare a entităţilor, scopul elaborării
modelelor economice, comportamentul temporal. Rezultă clasificarea prezentată în
tabelul 1-1.
Tabelul 1–1: Tipologia modelelor economice
Criteriul de clasificare Categoriile de modele
1. Natura elementelor componente
2. Caracterul interdependenţelor dintre
variabile
3. Nivelul de agregare a entităţilor
4. Scopul modelării
5. Comportamentul temporal
1.a) logice
1.b) calitativ-analitice (teoretice),
1.c) numerice
2.1.a) lineare
2.1.b) nelineare
2.2.a) deterministe
2.2.b) probabiliste
3.a) cu dezagregare maximă
3.b) cu agregare intermediară
3.c) cu agregare naţională maximă
3.d) cu agregare internaţională
4.a) descriptiv-explicative
4.b) explorative
4.c) normative
5.a) strict statice
5.b) cvasistaţionare
5.c) dinamice
Sursa: Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura
Economică, Bucureşti, Capitolul I: Repere metodologice, pag. 24, Schema 1.I.2:
Tipologia modelelor economice.
Definiţiile pentru conceptele propuse în tabelul 1-1 pornesc, în general de la
următoarele elemente.
1. Natura elementelor componente
15

Modele și prognoze economice 16
1.a – Modelele logice sunt secvenţe propoziţionale care descriu structura şi
funcţionarea unui obiect real, generând o reprezentare relativ
invariantă a acestuia 5 . Un exemplu de acest gen este reprezentat de
modelul concurenţei pure şi perfecte.
1.b – Modelele calitativ-analitice (teoretice) "operează tot cu noţiuni, dar
obligatoriu măsurabile, adică oferite de sistemul informaţional în
vigoare sau deductibile din acesta (…); în plus, dependenţele dintre
noţiunile implicate sunt definite ca relaţii funcţionale, inclusiv cu
explicitarea sensului influenţei" (Dobrescu E., 2002) 6 . Exemplu:
funcţia monetaristă a cererii de bani
M d = f(Y, P, rB, rE, rD)
în care M d este cererea monetară, Y – output-ul, P – nivelul preţurilor,
iar următoarele trei simboluri reprezintă randamentele altor forme de
active în care banii pot fi plasaţi (bonuri de tezaur), acţiuni, bunuri
durabile). În model variabilele implicate nu apar cu valori numerice,
dar pot fi calculate cu ajutorul statisticilor accesibile. În plus, sensul
dependenţei cererii monetare faţă de factorii de influenţă este clar
stabilit (pozitiv pentru primii doi, negativ pentru următorii trei).
1.c – Modelele numerice utilizează date concrete referitoare la serii de
distribuţie, serii care reflectă starea, structura şi relaţiile care există
între diferitele componente ale unui proces economic, la serii de timp
sau spaţiale, la combinaţii ale diferitelor forme de distribuţie (date de
tip panel) etc. Modele de acest tip sunt, de exemplu, cele care
estimează legătura dintre şomaj şi rata inflaţiei (curba Phillips) pe
baza datelor înregistrate într-un interval corespunzător de timp, sau
între venitul gospodăriilor şi consum etc.
5 Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti, pag. 366.
6 Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti,
pag. 18-193

2. Caracterul interdependenţelor dintre variabile
2.1.a – Modelele lineare: legătura dintre variabilele analizate este lineară.
Linearitatea se referă la forma legăturii dintre variabile, nu la modul
de exprimare a variabilelor respective. De exemplu, modelul
Y a a X e
t
0
1
poate fi considerat linear, deoarece prin transformarea
se scrie
X Z
t
2
t
2
t
Yt = a0 + a1Zt + et,
t
adică, modelul poate fi transformat într-o formă echivalentă celei
standard (vezi capitolul următor).
unde
De asemenea, fie modelul de tip Cobb-Douglas
Y AL K e
t
t
t
Yt – reprezintă producţia (output-ul) la momentul t,
Lt – forţa de muncă în aceeaşi perioadă,
Kt – capitalul utilizat în producţie la momentul t,
A – un coeficient de proporţionalitate, iar
t
α, β, γ – parametri ai modelului.
Relaţia poate fi transformată prin logaritmare astfel:
Dacă notăm
ln(Yt) = ln(A) + α∙ln(Lt) + β∙ln(Kt) + γt.
ln(Yt) ≡ yt,
ln(A) ≡ a0,
atunci modelul se scrie:
α ≡ a1, ln(Lt) ≡ x1t,
β ≡ a2, ln(K) ≡ x2t,
γ ≡ a3, t ≡ x3t,
yt = a0 + a1x1t + a2x2t + a3x3t,
adică, într-o formă similară celei lineare standard.
17

Modele și prognoze economice 18
2.1.b – Modelele nelineare în care legătura dintre variabilele analizate are
forme mai complicate, nelineare. Un exemplu de astfel de model este
dat de funcţia logistică de forma:
A
,
t 1
a e
Yt bX
unde A, a şi b sunt parametrii ecuaţiei, iar Yt şi Xt – valorile
înregistrate la momentul t, sau în structura t pentru două variabile
corelate.
2.2.a – Modelele deterministe fac abstracţie de caracterul aleator al unor
variabile, sau al abaterilor dintre valorile anticipate ale variabile şi
valorile înregistrate efectiv.
2.2.b – Modelele probabiliste ţin seama de caracterul aleator al variabilelor
implicate în analiză. Astfel de modele sunt utilizate, de exemplu,
pentru studiul pieţelor financiare.
3. Nivelul de agregare a entităţilor
3.a – Modelele cu dezagregare maximă corespund situaţiei în care
procesele analizate sunt structurate în detaliu, pe componente. De
exemplu, toţi agenţii economici sunt analizaţi, prin funcţii de
comportament, ecuaţii de echilibru, de stare şi/sau de dinamică
specifice.
3.b – Modelele cu agregare intermediară operează cu un număr mai redus
de componente, obţinute prin divese grupări ale agenţilor din spaţiul
economic naţional. Economia poate fi structurată, de exemplu,
instituţional (pornind de la sectoarele instituţionale din Sistemul
Contabilităţii Naţionale), pe ramuri (aşa ca în tabelele input-output),
sau regional.
3.c – Modelele cu agregare naţională maximă abordează economia în
ansambu, prin funcţii comportamentale şi de echilibru. Un exemplu
de astfel de model este reprezentat de funcţia de consum keynesiană:
unde:
Ct = C0 + cYd,t,
Ct – consumul agregat la momentul t;

Yd – venitul disponibil al gospodăriilor la momentul t;
C0 – partea stabilă a consumului, relativ autonomă în raport cu
venitul (ex. autoconsumul);
c – înclinaţia marginală spre consum, 0 < c < 1.
3.d – Modelele cu agregare internaţională analizează diferite zone
4. Scopul modelării
geografice (de exemplu, zona Mării Negre, zona Balcanilor), grupări
de ţări (ex. ţări dezvoltate, ţări în dezvoltare), uniuni interstatale (ex.
Uniunea Europeană), grupări sectoriale (ex. ţări exportatoare de petrol
– OPEC) sau abordează economia mondială în ansamblu.
4.a – Modele descriptiv-explicative se construiesc prin generalizarea unei
serii de situaţii empirice 7 . Un asemenea model "ne ajută să
identificăm mai precis dependenţele cantitative dintre indicatorii
implicaţi, dar – toţi aceştia fiind predeterminaţi – nu ne spune mai
nimic despre posibila evoluţie viitoare a economiei 8 . Modelul
explicativ ajută la înţelegerea legăturilor esenţiale dintre fenomenele
studiate 9 . Un exemplu în acest sens este modelul input-output.
4.b – Modelele explorative sau de simulare facilitează studierea reacţiilor
economiei faţă de modificarea unei variabile. O astfel de variabilă ar
putea fi rata dobânzii de referinţă, preţul petrolului etc. Modelul
input-output, de exemplu, poate fi folosit pentru simularea reacţiei
economiei la modifiacarea unei variabile exogene, de exemplu,
consumul final 10 .
4.c – Modelele normative "stabilesc praguri sau valori apriorice pentru
parametrii obiectivului şi sunt folosite apoi pentru măsurarea
7 Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti, pag. 366.
8 Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti,
pag.22-23.
9 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag.7.
10 Jula D., Jula N., 1999, Economie sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, pag. 47-59.
19

5. Comportamentul temporal:
Modele și prognoze economice 20
situaţiilor empirice" 11 . De exemplu, prin astfel de parametri pot fi
urmărite obiective de tipul: respectarea unor restricţii ecologice,
restricţii privind condiţiile de muncă, atingerea unor condiţii de
performanţă – calitate, fiabilitate etc. 12
5.a – Modelele strict statice sunt folosite pentru reprezentarea unor
fenomene sau procese economice la un moment dat şi nu stabilesc o
legătură între starea variabilelor economice la mai multe momente
succesive. Exemplu: modelul input-output.
5.b – Modelele cvasistaţionare stabilesc o astfel de legătură, dar ecuaţiile
sau valorile opţionale nu se modifică în cursul intervalelor succesive
considerate 13 .
5.c – Modelele dinamice ilustrează evoluţia în timp a diferitelor procese
economice. Aceste modele permit modificare în timp a ecuaţiilor (a
formei acestora, sau cel puţin a parametrilor), precum şi a variabilelor
opţionale. Modelele dinamice pot fi prospective, caz în care permit
proiectarea în viitor a anumitor elemente din trecutul recent, ţinând
seama de condiţiile actuale.
În esenţă, procesul de modelare constă în construirea unui sistem (abstract sau
material) asemănător cu o imagine simplificată a obiectului supus cercetării, imagine
obţinută prin selectarea proprietăţilor considerate esenţiale din punctul de vedere al
scopului urmărit 14 .
11 Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti, pag. 366.
12 Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică, Editura
Economică, Bucureşti, pag. 174-175.
13 Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura Economică, Bucureşti,
pag. 23.
14 Jula D., Jula N., 1999, Economie sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, pag. 200-
201.

Modelarea matematică reprezintă cea mai utilizată aplicaţie în domeniul
elaborării modelelor economice. Procesul de construcţie a unui model economico-
matematic presupune parcurgerea mai multor etape 15 (fig.1-1).
Realitatea
economică
analiza realităţii
economice
Teoria economică
P1(O/E), …, Pn(O/E)
(imagine simplificată a
realităţii)
Pn+1(O/EM), …, Pn+m(O/EM)
scrierea
modelului
interpretarea
rezultatelor
Figura 1–1: Schema generală a procesului de modelare 16
Teoria matematică
P1(O/M), …, Pn(O/M)
Rezolvare model
21
Pn+1(O/M), …, Pn+m(O/M)
Într-o primă etapă, prin analiza unui obiect din realitatea economică (un
proces, un fenomen etc.) se identifică o mulţime finită de proprietăţi ale acestuia.
Identificarea acestor proprietăţi (caracteristici, relaţii între componente, parametri
structurali şi funcţionali etc.) se face în funcţie de percepţia şi cunoştinţele economice
ale modelatorului, de teoria economică pe care modelatorul o consideră adecvată
realităţii observate şi de performanţele instrumentelor de observare. Deoarece din
mulţimea caracteristicilor proprii obiectului studiat sunt reţinute doar anumite
proprietăţi, imaginea realizată este o simplificare a realităţii, adică, în limbaj
matematic, este o imagine homomorfă a realităţii economice. Proprietăţile reţinute ca
fiind semnificative reprezintă teoria economică (modelul economic) elaborată pentru
15 Etapele modelării sunt prezentate în detaliu în lucrarea Jula D., 2003, Introducere în econometrie,
Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag.7-13.
16 Sursa: Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag. 9.

Modele și prognoze economice 22
obiectul respectiv din realitate. Alegerea unei imagini homomorfe care să fie utilizată
ca punct de pornire pentru procesul de modelare se face astfel încât gradul şi direcţia
simplificărilor să nu intre în contradicţie cu destinaţia finală a modelului (scopul
analizei).
În a doua etapă, se caută o teorie matematică în care poate fi descrisă o
structură izomorfă cu structura sistemului de propoziţii din teoria economică. În
limbajul şi logica specifice teoriei matematice se construieşte efectiv modelul, prin
scrierea (transferarea) proprietăţilor originalului, determinate în prima etapă, în
limbajul şi logica specifice teoriei matematice.
În etapa a treia, se realizează studiul propoziţiilor reţinute în teoria
matematică, prin folosirea instrumentelor specifice teoriei respective (cunoscute sau
special elaborate). Procedura – numită rezolvarea modelului – duce la determinarea
unor noi informaţii.
În a patra etapă, aceste noi proprietăţi (informaţii) sunt transferate asupra
obiectului original. Transferul proprietăţilor din teoria matematică în teoria economică
se realizează printr-o transformare izomorfă: fiecărei propoziţiei noi identificate în
teoria matematică îi corespunde în teoria economică o proprietate şi numai una.
Proprietăţile respective îmbogăţesc cunoaşterea obiectului din realitatea economică.
Propoziţii nou descoperite (prin intermediul modelării matematice) pot conţine
informaţii utile nu numai pentru validarea sau respingerea unei teorii ci şi pentru
explicarea stării şi evoluţiei istorice a obiectului modelat, sau pentru analiza
prospectivă.
Pornind de la elementele prezentate, etapele procesului de modelare sunt
prezentate în sinteză, în tabelul 1-2.

Tabelul 1–2: Etapele procesului de modelare
(1) analiza realităţii cu ajutorul instrumentelor oferite de teoria economică şi
identificarea unor caracteristici semnificative;
(2) construirea modelului matematic, prin interpretarea (traducerea) propoziţiilor din
teoria economică în limbajul specific teoriei matematice;
(3) rezolvarea modelului;
(4) traducerea concluziilor obţinute din limbajul specific teoriei matematice în
teoria economică (interpretarea economică a rezultatelor modelului).
1.2. Modelul econometric
Denumirea de econometrie provine din combinarea cuvintelor greceşti
oikonomia – economia (de la oicos – casă, gospodărie şi nomos – lege) şi metron –
măsură. Deci, etimologic, econometria presupune aplicarea unor tehnici de măsurare
în economie.
În sens restrâns, econometria este definită ca o aplicaţie a statisticii
matematice în economie, astfel încât prin analiza şi prelucrarea datelor economice să
se ofere un suport empiric modelelor construite de economia matematică 17 . Sau, într-o
altă formulare, mai succintă, sarcina de bază a econometriei este să umple empiric
structurile teoretice 18 .
În sens larg, econometria este înţeleasă ca o ştiinţă de graniţă între economie,
matematică şi statistică (Thomas R.L., 1997 19 şi Ramanathan R., 1992 20 ).
Pornind de la relaţiile definite de teoria economică, econometria clasică se
concentrează asupra următoarelor tipuri de analiză 21 :
17 Samuelson P.A., Koopmans T.C., Stone J.R.N., 1954, Report of the evaluative committee for
Econometrica, în Econometrica, 22, pag.141-146.
18 "The basic task of econometrics … is to put empirical flesh and blood on theoretical structures",
Johnston J., 1984, Econometric Methods, 3rd edition, McGraw-Hill pag. 5.
19 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1-
3.
20 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag. 3-11.
23

Modele și prognoze economice 24
(a) testarea şi validarea teoriei economice (în sensul confruntării teoriei cu realitatea
economică, inclusiv testarea ipotezelor privind comportamentul economic),
concret, testarea ideilor, noţiunilor, conceptelor teoretice reprezentate prin
asemenea relaţii;
(b) estimarea relaţiilor dintre variabilele economice, adică măsurarea fiecărei relaţii
şi estimarea parametrilor pe care relaţiile respective îi presupun;
(c) prognoza evoluţiilor şi a comportamentelor economice.
Pentru testarea corespondenţei dintre teoria economică şi realitate (fapte,
obiecte, procese), econometria realizează o combinare a tehnicilor de analiză specifice
economiei matematice cu cele din statistica economică şi inferenţa statistică.
Economia matematică exprimă teoriile şi ideile economice în formă matematică.
Aceste exprimări sunt de cele mai multe ori calitative, în sensul că nu presupun
întotdeauna utilizarea datelor numerice. Statistica economică se ocupă cu
identificarea, colectarea şi analiza datelor economice şi exprimarea lor într-o formă
inteligibilă pentru utilizatori. Ca o sinteză a acestor două abordări, econometria preia
ecuaţiile din economia matematică şi le confruntă cu datele economice. În acest
proces (econometric), prin utilizarea unor tehnici de inferenţă se testează adecvarea
teoriei la realitatea economică, prin validarea ecuaţiilor respective. De obicei,
tehnicile utilizate în scopul validării empirice a ecuaţiilor care modelează un anumit
aspect al realităţii economice sunt cele de inferenţă statistică.
Pornind de la schema generală privind procesul de modelare şi de la
elementele prezentate, poate fi construită o schiţă a procesului de modelare
econometrică.
Astfel 22 (Spanos A., 1986), de cele mai multe ori variabilele din modelul
teoretic nu corespund în mod direct cu seriile de date observate. În această situaţie, în
construirea modelului sunt generate date printr-un proces specific. Un astfel de proces
generator de date poate porni de la izolearea fenomenele care ne interesează de orice
alte influenţe. De exemplu, într-un model teoretic care analizează cererea de monedă
21 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag. 1.
22 Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge University Press, pag.
19-22.

sunt incluse ca variabile explicative venitul, nivelul preţurilor, rata dobânzii ş.a. În
statistica oficială 23 există mai multe serii de date care pot reprezenta candidaţi
verosimili pentru măsurarea variabilele respective. Este posibil însă ca nici una dintre
seriile statistice să nu corespundă exact descrierii teoretice. În aceste condiţii,
concluziile modelului pot fi false. De aceea, mecanismul prin care sunt identificate
datele utilizate în model, numit procesul de generare a datelor (PGD) 24 are un rol
important în modelarea econometrică. Se afirmă, de altfel, că modelul econometric
trebuie interpretat ca o aproximare a PGD 25 .
23 Anuarele Statistice şi Buletinele statistice lunare ale Institutului Naţional de Statistică, Buletinele
lunare şi Rapoartele anuale ale Băncii Naţionale a României, Buletinele de informare ale Ministerului
Finanţelor Publice ş.a
24 În engleză: Data Generating Process (DGP).
25 Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge University Press, pag.
20.
25

Teoria
economică
Modelul teoretic Datele observate
Modelul calculabil Modelul statistic
Modele și prognoze economice 26
Figura 1–2: Schema generală a procesului de modelare econometrică 26
Un studiu econometric presupune parcurgerea următoarelor etape (figura 1-3):
(1) formularea modelului pornind de la teoria considerată adecvată pentru explicarea
evoluţiei unui proces economic,
(2) realizarea unei cercetări selective pentru generarea unor serii de date referitoare
la procesul respectiv,
(3) estimarea modelului,
Estimarea modelului
Modelul econometric estimat
(calculat)
Testarea ipotezelor
Prognoză
Evaluarea politicilor economice
26 Sursa: adaptat după Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge
University Press, Cambridge, pag. 16 (fig.1.1: The textbook approach to econometric modeling) şi pag.
21 (fig.1.2: An approach to econometric modelling).
Procesul actual de
generare a datelor

(4) testarea ipotezelor teoretice folosite în construirea modelului
(5) interpretarea rezultatelor.
Reformularea
modelului
Decizii de politică
economică
Teoria economică,
experienţa
Formularea modelului
Figura 1–3: Etapele unui studiu econometric 27
1.3. Elementele unui model econometric
Într-o abordare generală, un model econometric reprezintă un ansamblu de
relaţii interdependente care descriu legăturile dintre valorile unui anumit număr de
variabile economice, într-un context dat. Elementele unui model economico-
matematic sunt variabilele, ecuaţiile şi parametrii modelului. De asemenea, rezolvarea
modelului presupune existenţa unor serii de date, care să prezinte starea şi/sau
evoluţia (distribuţia) variabilelor din model.
Selectarea datelor
Estimarea modelului
NU
Testarea ipotezelor:
Ipotezele se verifică? DA
Prognoze
Interpretarea
rezultatelor
27 Thomas R.L, 1997, Modern Econometrics: An introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag.4.
27

1.3.1. Variabilele modelului
Modele și prognoze economice 28
Într-un model econometric pot fi distinse trei tipuri de variabile: variabile
endogene, variabile exogene şi variabile de abatere (eroare).
Sunt endogene sau explicate acele variabile ale căror valori sunt obţinute prin
rezolvarea modelului. De obicei, numărul variabilelor endogene este egal cu numărul
ecuaţiilor din model.
Sunt exogene acele variabile pentru care starea şi evoluţia sunt determinate de
factori exteriori sistemului a cărui funcţionare este studiată cu ajutorul modelului. În
cadrul variabilelor exogene, o categorie specială este constituită din variabilele de
decizie. Variabilele de decizie sunt instrumente a căror evoluţie poate fi controlată sau
simulată de un agent economic. Sunt utilizate atunci când se urmăreşte măsurarea
impactului unei decizii sau a unei situaţii posibile asupra evoluţiei uneia sau mai
multor variabile endogene, sau asupra echilibrului economic descris de model.
Printr-o astfel de variabilă se poate simula răspunsul sistemului la un şoc extern (de
exemplu, creşterea preţului petrolului) sau la o măsură de politică economică (de
exemplu, modificarea taxei reescontului sau a ratei rezervelor obligatorii).
Exogenele sunt întotdeauna variabile explicative, însă nu orice variabilă
explicativă din model este şi exogenă. De aceea, sunt numite predeterminate sau
explicative acele variabile ale căror valori sunt cunoscute a priori şi sunt utilizate
pentru explicarea stării şi evoluţiei variabilelor endogene. Pe lângă exogene,
predeterminate pot fi şi variabilele retardate (variabilele cu efect întârziat). Adică,
este posibil ca printre factorii explicativi ai evoluţiei unei variabile endogene să se
găsească valoarea variabilei respective sau valorile altor endogene calculate pentru un
moment anterior. De exemplu, nivelul şomajului la momentul t depinde de şomajul la
momentul t-1, deoarece absorbţia excesului de ofertă de pe piaţa muncii nu se produce
instantaneu, ci este un proces care se realizează în timp. La fel, consumul curent
depinde de nivelul consumului înregistrat la momentul anterior, deoarece familiile au
tendinţa de a-şi conserva un anumit nivel de trai, eventual prin diminuarea
economisirii, sau chiar printr-un proces de dezeconomisire. De asemenea, în funcţia
ofertei, decizia de producţie la momentul t depinde de preţul pe piaţă la momentul t-1.

Variabilele de abatere (sau erorile) reprezintă discrepanţele între evoluţia
anticipată a unei variabile şi evoluţia reală a variabilei respective. Aceste discrepanţe
(erori) pot proveni din perturbaţii aleatoare cărora nu li se poare atribui o semnificaţie
economică, din neincluderea în model a unor variabile semnificative, sau includerea
unor variabile explicative mai puţin semnificative, din erori de măsurare sau din
imposibilitatea măsurării unor factori de influenţă (elemente psiho-sociale, variabile
care ţin de mediul cultural sau politic ş.a.).
1.3.2. Parametrii modelului
Parametrii modelului pot fi definiţi ca fiind caracteristicile cantitative ale
sistemului studiat. Dacă vectorul parametrilor este fixat, comportamentul sistemului
depinde numai de starea şi evoluţia variabilelor explicative şi de forma legăturilor
dintre variabile. În cazul general, fiecărei colecţii de valori ale parametrilor îi
corespunde o mulţime de traiectorii ale sistemului, mulţime numită câmp de
comportament 28 . La limită, fiecărei colecţii de valori ale parametrilor îi corespunde o
singură traiectorie a sistemului.
În modelele econometrice, se acceptă ipoteza că forma legăturii dintre
variabile este cunoscută, iar parametrii modelului nu sunt cunoscuţi. În rezolvarea
modelului se calculează estimatori ai parametrilor respectivi pornind de la o cercetare
selectivă privind starea şi evoluţia variabilelor din model.
1.3.3. Ecuaţiile modelului
Prin ecuaţiile unui model se încearcă surprinderea legăturilor dintre variabilele
endogene şi cele explicative. Într-un model econometric pot apărea ecuaţii de
comportament, ecuaţii de definiţie şi ecuaţii contabile (de echilibru).
Ecuaţiile de comportament sunt construite pe baza unei teorii economice şi
descriu, în formă funcţională, comportamentul unui agent economic.
Comportamentul, într-un anumit context, al agentului respectiv este apreciat prin
28 Fedorenko N.P., Kantorovici L.V., Danilov-Danilian V.I., Konüs A.A., Maiminas E.Z.,
Ceremnîh I.N., Cerneak I.I., 1979, Dicţionar de matematică şi cibernetică în economie, Editura
Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, pag. 439.
29

Modele și prognoze economice 30
starea şi evoluţia unei variabile economice. La fel, se ataşează o variabilă fiecărui
factor care explică un anumit comportament. Intensitatea influenţei unui factor
explicativ asupra comportamentului economic al agentului considerat este dată de
mărimea parametrului care stabileşte legătura dintre valorile celor două variabile.
Ecuaţiile sau relaţiile de definiţie sunt utilizate pentru precizarea unor noţiuni
sau determinarea unor variabile. În ecuaţiile de definiţie nu intervin parametri
necunoscuţi. De exemplu, într-un model în care sunt estimate nivelul ocupării (PO) şi
numărul de şomeri (S), populaţia activă (PA) se determină prin însumarea valorilor
celor două variabile, iar rata şomajului se defineşte prin raportul dintre numărul
şomerilor şi populaţia activă. Indicele de creştere al unei variabile se calculează ca
raport între starea variabilei respective la momentul t şi starea la momentul t-1. Ritmul
de creştere se defineşte scăzând valoarea 1 din indicele de creştere ş.a.m.d. De
asemenea, pot fi definite anumite variabile intermediare care să ajute la simplificarea
ecuaţiilor, sau care să asigure respectarea anumitor condiţii necesare pentru rezolvarea
modelului. De exemplu, pentru atenuarea corelaţiei dintre erorile din model se
procedează la diferenţierea seriilor de date (se calculează diferenţa dintre valoarea la
momentul t şi valoarea la momentul t-1), sau în anumite situaţii se operează în model
cu logaritmul valorilor înregistrate prin cercetarea selectivă.
Ecuaţiile de echilibru sunt utilizate pentru asigurarea coerenţei modelului. De
exemplu, într-un model macroeconomic suma dintre consumul şi economiile
familiilor trebuie să fie egal cu venitul minus impozitele plătite de familiile
respective. De asemenea, dacă în model se calculează atât populaţia ocupată (PO) şi
nivelul şomajului (S), cât şi populaţia activă (PA), atunci PA = PO + S este o relaţie
de echilibru prin care se poate testa corectitudinea estimării şi coerenţa modelului.
Ecuaţiile de echilibru nu exclud interpretările şi analizele teoretice. De exemplu, o
ecuaţie de echilibru poate fi scrisă în ipoteza adaptării perfecte şi instantanee a ofertei
la cererea pe piaţa unui produs. Or, un asemenea comportament chiar dacă poate fi
acceptat în anumite modele, nu are un caracter universal valabil.

1.3.4. Datele utilizate
Pentru estimarea parametrilor din ecuaţiile modelului sunt utilizate anumite
date economice referitoare la evoluţia fenomenelor analizate. Datele economice
reprezintă reflectări cantitative sau calitative ale dimensiunii, stării şi evoluţiei
proceselor şi fenomenelor economice. Aceste date pot fi descrise pornind de la mai
multe criterii. Astfel, ca prezentare, datele pot fi disponibile ca serii de timp
(cronologice), de distribuţie sau de tip panel.
Seriile de timp corespund unor observaţii efectuate asupra stării unui fenomen
economic la intervale regulate de timp (evoluţia cursului de schimb, dinamica
preţurilor, a consumului, a veniturilor etc.).
Seriile de distribuţie (repartiţie), numite şi serii în tăietură transversală sau
serii de date instantanee reflectă starea, structura şi relaţiile care există între diferitele
componente ale unui sistem economic, la un moment dat. De exemplu, aceste serii
reflectă distribuţia în spaţiu a diferitelor caracteristici ale unui fenomen – şomajul
regional, localizarea activităţilor etc., structura unor agregate (structura sectorială a
unei economii, structura ocupării, structura pe elemente a costului de producţie ş.a.),
sau starea unei variabile la un moment dat într-un anumit eşantion (de exemplu,
venitul şi consumul familiilor).
Datele de tip panel combină seriile de timp şi datele în structură transversală.
Principalul avantaj al analizei de tip panel constă în aceea că permite o mai mare
flexibilitate în modelarea diferenţelor înregistrate în comportamentele individuale.
31

2. MODELUL LINEAR DE REGRESIE
UNIFACTORIAL
Începem acest capitol prin analiza unui exemplu ipotetic privind dinamica
masei monetare şi a inflaţiei într-o perioadă dată de timp. Din teoria economică se
cunoaşte faptul că masa monetară şi rata inflaţiei sunt două variabile care nu
evoluează independent una de alta. Admitem faptul că masa monetară depinde – în
mare măsură – de nivelul preţurilor. Ecuaţia lui Fischer este:
MV = PT
unde M – masa monetară, V – viteza de rotaţie a banilor, P – nivelul general al
preţurilor şi T – volumul tranzacţiilor.
Rezultă:
T
M P ,
V
Notăm raportul k
M = k∙P
T
. Atunci
V
şi reţinem ideea că masa monetară depinde linear de nivelul preţurilor, adică
M = f(P, e),
unde prin e am simbolizat ceilalţi factori care contribuie la dinamica masei monetare.
În cazul general, se notează cu Y variabila explicată (în exemplul prezentat
M ≡ Y) şi X – variabila explicativă (în exemplul prezentat P ≡ X). Scriem atunci
relaţia precedentă astfel:
Y = f(X, e),
unde Y este variabila endogenă, X – variabila exogenă, iar e reprezintă un factor
perturbator, de natură aleatoare.
Să acceptăm, pentru început, ipoteza că masa monetară depinde linear de
nivelul preţurilor şi să notăm M(Y/X) valoarea anticipată a masei monetare atunci
când nivelul preţurilor atinge valoarea X. Adică, în ipoteza de linearitate menţionată,
acceptăm că
M(Y / X) = a0 + a1X 2- 1

unde a0 şi a1 sunt parametrii modelului.
2.1. Ecuaţia de regresie
Valorile înregistrate ale masei monetare (Y) nu sunt întotdeauna egale cu
valoarea anticipată [M(Y/X)] a masei monetare la un nivel dat al preţurilor X.
Valoarea reală (înregistrată) Y diferă de valoarea anticipată din cauza unor factori de
natură diversă. În aceste condiţii, pentru ca modelul care evaluează dinamica masei
monetare să se apropie cât mai mult de realitate, masa monetară ar trebui să fie scrisă:
Y = M(Y / X) + e 2- 2
Relaţia (2- 2) se numeşte ecuaţia de regresie a lui Y în funcţie de X. Dacă se
acceptă ipoteza descrisă prin (2- 1), atunci în (2- 2) se înlocuieşte M(Y/X) cu expresia
respectivă, astfel încât ecuaţia de regresie poate fi scrisă într-o formă echivalentă
astfel:
Y = a0 + a1X + e 2- 3
unde Y este variabila endogenă (variabila explicată prin model), X este variabila
exogenă (variabila explicativă), a0 şi a1 sunt parametrii modelului, iar e reprezintă
eroarea sau abaterea dintre valoarea anticipată a endogenei şi valoarea efectiv
înregistrată.
Există cel puţin trei argumente pentru includerea unei variabile de abatere
(numită şi eroare) în ecuaţia care modelează dependenţa dintre Y şi X:
1) Deoarece comportamentul economic este suficient de complex, evoluţia
variabilei Y este influenţată şi de alţi factori, diferiţi de X. Există situaţii în care
mulţi dintre factorii respectivi au un impact redus, astfel încât nu se justifică
includerea lor explicită în model. Totuşi, se poate considera efectul net (global)
al acestora ca fiind un factor e disturbator.
2) Existenţa unor elemente calitative, greu sau imposibil de cuantificat.
Considerăm, în această situaţie, componenta aleatoare e ca reprezentând
elementele necuantificabile din relaţia de determinare a variabilei Y.
33

3) Este posibil să existe erori în observarea (înregistrarea) valorilor variabilei Y. În
această situaţie, variabila e poate fi considerată drept o măsură a erorilor
respective 29 .
În relaţiile precedente simbolurile X şi Y sunt utilizate în sens generic: Y
reprezintă masa monetară, atunci când nivelul preţurilor este X. În continuare, pentru
a preciza mai bine notaţiile, scriem Yt pentru a reprezenta masa monetară la momentul
t şi Xt pentru nivelul preţurilor, la acelaşi moment t. În aceste condiţii, prin precizarea
t = 1,2, …, n. simbolizăm extragerea din populaţia considerată a unui eşantion de
dimensiune n (în cazul prezentat, înregistrarea datelor privind masa monetară şi
nivelul preţurilor la n momente diferite de timp).
analizat:
respectiv
Cu această notaţie extinsă, relaţiile (2- 1) şi (2- 3) se scriu pentru eşantionul
M(Y/X) = a0 + a1Xt, t = 1, 2, ..., n 2- 4
Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, ..., n 2- 5
unde et din relaţia (2- 5) simbolizează valoarea (neobservată) a abaterii dintre Yt –
consumul efectiv înregistrat pentru familia t şi M(Yt/Xt) – consumul anticipat al
familiei respective, anticipaţia formându-se pornind de la Xt – valoarea cunoscută a
venitului.
Revenind la (2- 4), menţionăm faptul că forma exactă a acestei relaţii nu este
cunoscută. Se admite, în acest punct, doar ipoteza că relaţia dintre Y şi X este lineară.
În aceste condiţii, problema modelării legăturii dintre masa monetară şi preţuri este
aceea de a determina, folosind datele disponibile, o formă cât mai adecvată a relaţiei
dintre cele două variabile.
Concret, o dreaptă este complet determinată dacă se stabilesc valorile a0 şi a1.
Atunci, modelarea masei monetare (Y) în funcţie de preţuri (X) înseamnă stabilirea
unor valori â0 şi â1 pentru parametrii a0 şi a1 astfel încât înlocuind aceste valori într-o
ecuaţie de forma Ŷ = â0 + â1X, cu Xt cunoscut, să se obţină valori Ŷt cât mai apropiate
de cele înregistrate în eşantionul selectat (Yt). Grafic, folosind o metodă adecvată, este
29 Erorile în înregistrarea variabilei X induc probleme mai complicate şi de aceea situaţia respectivă va
fi tratată în mod explicit în cadrul modelelor cu ecuaţii simultane.

necesar să se determine o dreaptă care să se apropie cât mai mult (eventual, cel mai
mult posibil) de punctele de coordonate (Xt, Yt). Această dreaptă
Ŷ = â0 + â1X 2- 6
este considerată o estimare a ecuaţiei (2- 4) calculată pornind de la eşantionul
disponibil.
În relaţia precedentă, Ŷ reprezintă estimarea pe baza eşantionului a valorii
anticipate pentru consumul întregii populaţii, atunci când venitul este X, iar â0 şi â1
sunt estimatorii calculaţi, la fel, pe baza eşantionului, pentru parametrii a0 şi a1 din
ecuaţiile de regresie.
Să presupunem că există cel puţin o metodă prin care pot fi calculate valorile
estimatorilor â0 şi â1. În aceste condiţii, pe baza modelului se poate estima fiecare
valoare Ŷt a masei monetare (t = 1, 2, 3, …, n), după relaţia:
Ŷ = â0 + â1X, t = 1, 2, ..., n 2- 7
În realitate, valorile masei monetare calculate pe baza relaţiei (2- 7) nu
coincid, în cele mai multe cazuri, cu valorile observate ale variabilei respective.
Diferenţa dintre masa monetară estimată Ŷt şi cea înregistrată efectiv Yt reprezintă o
estimare a variabilei de abatere et din modelul (2- 3). Mărimea respectivă, notată ut, se
numeşte variabila reziduală din ecuaţia de regresie. Cu această notaţie scriem
ut = Yt – Ŷt, t =1, 2, ..., n 2- 8
Precizăm în acest punct următoarele:
– abaterea e măsoară diferenţa dintre variabila Y şi M(Y/X) – anticipaţia privind
nivelul variabilei respective atunci când evaluarea priveşte întreaga populaţie, iar
această valoare (e) rămâne necunoscută;
– variabila reziduală u reprezintă abaterea dintre valorile Y din eşantionul studiat şi
estimările Ŷt privind valorile respective determinate pe baza datelor din eşantion.
Aceasta înseamnă că, în măsura în care Ŷ este o estimare bună a valorii
anticipate M(Y/X), variabila reziduală u este o estimare, la fel, bună pentru variabila
de abatere e.
35

2.2. Metoda celor mai mici pătrate
Prin reprezentarea într-un sistem de axe (XOY) a punctelor de coordonate
(Xt, Yt) se obţine un nor de puncte (aşa ca în figura 2-1). În acelaşi sistem de axe,
orice cuplu de parametri (a0, a1) determină o dreaptă de ecuaţie Y = a0 + a1X.
Construirea unui model bun care să ilustreze relaţia dintre toate valorile
(Xt, Yt) din eşantion înseamnă alegerea dintre toate dreptele de ecuaţie Y = a0 + a1X a
aceleia care se apropie cât mai mult de punctele determinate prin observaţii. O dreaptă
este complet identificată atunci când sunt fixaţi parametrii a0 şi a1. Notăm â0, respectiv
â1 acele valori ale parametrilor pentru care distanţa dintre valorile calculate în model
şi valorile înregistrate efectiv este minimă. Grafic, în figura 2-1, alegem acea dreaptă
Ŷ = â0 + â1X pentru care ansamblul abaterilor ut să fie cât mai mici.
Y
Yt
ut
Xt
Y â â X
ˆ
t
0
Y â ˆ
1
t
0
â X
Figura 2–1: Dreapta de regresie şi variabila reziduală
Deoarece unele dintre abateri sunt pozitive (sunt situate deasupra dreptei de
ecuaţie Ŷ = â0 + â1X), altele negative, simpla însumare a acestor abateri nu ar evita
fenomenul de compensare a erorilor. Soluţia adoptată, de obicei, constă în însumarea
pătratelor abaterilor şi determinarea acelor valori ale parametrilor care să ducă la
minimizarea sumei respective. De aceea, procedura este cunoscută sub denumirea de
metoda celor mai mici pătrate.
Grafic, criteriul aplicat în cazul metodei celor mai mici pătrate este următorul:
dreapta care asigură cea mai bună ajustare a punctelor empirice (dreapta de regresie)
este aceea pentru care se minimizează suma pătratelor abaterilor dintre punctele de pe
1
X

grafic şi punctele care au aceiaşi abscisă pe dreapta de regresie, abaterile fiind
măsurate vertical.
Analitic, notăm F(â0, â1) suma pătratelor abaterilor u dintre valorile
înregistrate ale variabilei Y şi valorile calculate Ŷ. Cu alte cuvinte, F(â0, â1) măsoară
suma pătratelor valorilor variabilei reziduale:
F
n n
2
Y ˆ
â , â u Y
0
1
t1
n
t1
t
t1
Y â â X
t
0
t
1
t
t
2
2
În funcţia F sunt necunoscuţi doar estimatorii â0 şi â1, deoarece valorile Xt şi
Yt reprezintă observaţiile din eşantionul selectat, deci sunt numere reale cunoscute.
Metoda celor mai mici pătrate constă în determinarea, pentru un set dat de
observaţii, a acelor valori â0 şi â1 care minimizează funcţia F(â0, â1).
Pentru a minimiza funcţia F în raport cu â0, respectiv â1 se calculează
derivatele parţiale de ordinul unu şi se egalează cu zero:
â
â
0
1
F
F
â , â 21
Y â â X
0
t1
n
0
â , â 2
X Y â â X
0
1
1
n
t1
t
t
t
0
0
1
1
t
t
0
2- 9
2- 10
Se poate demonstra 30 că punctul (â0, â1) obţinut prin rezolvarea sistemului (2-
10) este un punct de minim pentru funcţia F.
normale:
Prin rearanjarea ecuaţiilor (2- 10) se obţine aşa-numitul sistem de ecuaţii
n
n
Yt
nâ
0 â1
X t
t1
t1
n
n
n
X tYt
â 0
X t â1
X
t1
t1
t1
2
t
2- 11
30 Pentru demonstraţie vezi: Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional
Consulting, Bucureşti, 2003, capitolul II, anexa 2.A.1
37

Necunoscutele, în acest sistem, sunt â0 şi â1, deoarece n – dimensiunea
eşantionului este cunoscută, iar ∑Xt, ∑Yt, ∑XtYt, şi 2
datelor din eşantionul selectat.
X pot fi calculate pe baza
Revenind la sistemul (2- 10) se observă că în fiecare ecuaţie termenul din
paranteza dreaptă reprezintă, de fapt, variabila reziduală:
echivalent cu
ut = Yt – Ŷt = Yt – (â0 + â1Xt).
În aceste condiţii, sistemul (2- 10) poate fi scris:
2
2
n
t1
n
t1
n
t1
n
t1
u
t
t
u
X u
t
X u
t
0
t
0
t
0
0
t
2- 12
2- 13
Variabila reziduală u din regresia calculată pe baza metodei celor mai mici
pătrate respectă relaţiile (2- 13). Aceste relaţii vor fi folosite pentru demonstrarea unor
proprietăţi ale metodei respective.
Remarcăm faptul că, pornind de la sistemul de ecuaţii normale (2- 11), dacă în
prima relaţie se împarte fiecare termen cu n se obţine:
Y 0 1
0
1
â â X â Y â X
2- 14
unde, pentru simplificare, s-au notat cu X şi Ȳ mediile variabilelor respective,
calculate astfel
şi
X
Y
n
t1
n
t1
n
n
X
Y
t
t

Relaţia (2- 14) poate fi folosită pentru calculul estimatorilor. Astfel, se
demonstrează 31 că o relaţie echivalentă pentru calculul estimatorului â1 este:
n
X
t XY
t Y
â 2- 15
t1
1 n
X
t X
t1
2
Din (2- 14) şi (2- 15) se deduce o relaţie similară de calcul a estimatorului â0.
2.3. Ipotezele modelului linear unifactorial
Estimarea parametrilor din ecuaţia de regresie se bazează pe o serie de ipoteze
referitoare la forma dependenţei dintre variabile, la variabila explicativă şi la variabila
de abatere.
Ipoteza I-1: linearitatea modelului. Oricare ar fi cuplul (Xt, Yt), legătura dintre
cele două variabile este lineară.
Ipoteza I-2: variabila X are dispersia nenulă şi finită. Nu toate valorile variabilei
exogene sunt egale între ele. Cu alte cuvinte, dispersia de selecţie a
variabilei X nu este zero, dar este finită.
Ipoteza I-3: variabila X nu este aleatoare. Variabila X nu este aleatoare. O
variantă a acestei ipoteze admite ca X să fie variabilă aleatoare, dar se
impune condiţia ca X să nu fie corelată cu erorile e.
Ipoteza I-4: erorile sunt aleatorii, cu media zero. Erorile et din modelul linear
unifactorial sunt variabile aleatoare cu media zero: M(et) = 0
Ipoteza I-5: dispersia erorii este constantă. Erorile et sunt identic distribuite, cu o
dispersie constantă şi finită:
31 Pentru demonstraţie vezi: Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional
Consulting, Bucureşti, 2003, capitolul II, anexa 2.A.2
2
e
39

Ipoteza I-6: erorile nu sunt autocorelate. Covarianţa dintre oricare două valori ale
variabilei de abatere este zero: et şi ep sunt independente, oricare ar fi
t ≠ p
Ipoteza I-7: erorile sunt normal distribuite. Fiecare variabilă aleatoare et este
distribuită normal în jurul mediei sale egală cu zero. Se scrie: et este
2 0,
N .
e
2.4. Proprietăţi ale estimatorilor
Pornind de la ipotezele prezentate, pot fi demonstrate o serie de proprietăţi ale
estimatorilor calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate pentru parametrii modelului
linear unifactorial 32 .
Proprietatea P-1: estimatorii sunt lineari. Estimatorii â0 şi â1 din modelul linear
unifactorial, calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, sunt lineari.
Proprietatea P-2: estimatorii sunt nedeplasaţi. Dacă variabila exogenă X nu este
aleatoare, sau chiar dacă X este variabilă aleatoare, dar este independentă
de variabila de abatere e, estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici
pătrate sunt nedeplasaţi (nedistorsionaţi).
Proprietatea P-2': estimatorii sunt consistenţi. Estimatorii â0 şi â1 din modelul
linear unifactorial, calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, sunt
consistenţi.
Proprietatea P-3: estimatorii sunt eficienţi. Estimatorii nedeplasaţi â0 şi â1 din
modelul linear unifactorial, calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate,
sunt eficienţi.
Teorema Gauss -Markov: Dacă sunt verificate ipotezele de la I-1 la I-6, atunci
estimatorii â0 şi â1 ai parametrilor modelului linear unifactorial sunt cei
mai buni estimatori lineari nedeplasaţi, în sensul că, dintre toţi estimatorii
lineari nedeplasaţi, au cea mai mică dispersie.
32 Pentru demonstraţia proprietăţilor vezi Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura
Professional Consulting, Bucureşti, cap.2, anexele 2.A.6 – 2.A.10, pag.59-70.

Proprietatea P-4: estimatorii sunt normal distribuiţi. Estimatorii â0 şi â1 din
modelul linear unifactorial, calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate,
sunt variabile aleatoare cu o distribuţie normală.
Proprietatea P-5: estimatorii sunt de maximă verosimilitate. Dacă ipotezele I-1 –
I-7 ale modelului unifactorial de regresie lineară sunt respectate, atunci
estimatorii â0 şi â1 calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, sunt de
maximă verosimilitate.
Concluzia este următoarea:
Dacă în modelul de regresie lineară, variabila exogenă are dispersia
nenulă, dar finită şi este independentă faţă de erori, iar erorile sunt variabile
aleatoare independente între ele, normal distribuite, cu medie zero şi dispersia
constantă, atunci estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt
lineari, nedeplasaţi (consistenţi), eficienţi, normal distribuiţi şi de maximă
verosimilitate.
41

3. MODELUL LINEAR DE REGRESIE
MULTIFACTORIAL
În capitolul precedent a fost analizat un caz simplu, al dependenţei lineare
dintre două variabile X şi Y, sub forma Y = f(X, e). De cele mai multe ori însă,
intercondiţionările dintre procesele economice sunt mult mai complexe, astfel încât
evoluţia unei variabile Y nu depinde de un singur factor, ci de o serie de factori. De
exemplu, inflaţia este un proces economic deosebit de complex, care depinde de
evoluţia salariilor în economie, de dinamica productivităţii muncii, de cursul de
schimb al monedei naţionale, de ratele dobânzii, de preţurile la energie pe plan
internaţional etc.
De asemenea, o creştere a salariilor la momentul t, neînsoţită de creşterea
productivităţii muncii, poate duce la creşterea preţurilor în economie la momentul
t+1, deoarece costurile unitare de producţie sunt mai mari şi, totodată, cererea pe piaţă
este mai mare. Creşterea preţurilor în economie la momentul t+1 poate avea ca efect o
sporire a presiunilor sindicale pentru creşterea salariilor la momentul t+2 şi circuitul
inflaţionist se reia. Mai departe, creşterea inflaţiei duce la devalorizarea monedei
naţionale, ceea ce determină scumpirea importurilor, deci o creştere a costurilor de
producţie. Sporirea costurilor are ca efect creşterea preţurilor şi apare, astfel, un alt
circuit inflaţionist. Evident, corelaţiile prezentate nu acoperă întreg spectrul
intercondiţionărilor dintre variabilele economice analizate.
În aceste condiţii, o dezvoltare directă a modelelor prezentate în capitolele
anterioare constă în analiza interdependenţelor lineare multiple între variabilele
economice. Pentru acest scop, modelul descris prin relaţia 2- 3 este înlocuit tot cu un
model de regresie lineară, însă cu dependenţe multiple, de tipul:
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e 2- 16
unde Y este variabila endogenă, X1, X2, …, Xk sunt k variabile explicative,
a0, a1, a2, …, ak sunt k+1 parametri necunoscuţi, iar e este variabila de abatere
(eroarea) din ecuaţia de regresie.

Eroarea e reflectă, la fel ca în modelul linear unifactorial, influenţa
elementelor calitative necuantificabile, a celor care depind de comportamentul uman
nepredictibil, sau a altor factori cu influenţă minoră, alţii decât X1, X2, …, Xk.
Parametrul a0 modelează comportamentul autonom al variabilei endogene, iar
parametrii ai cuantifică intensitatea influenţei factorului Xi asupra variabilei Y.
3.1. Estimarea parametrilor din modelul linear
multifactorial
Presupunem că printr-o cercetare selectivă sunt obţinute n înregistrări. Fiecare
înregistrare conţine o singură valoare pentru variabila Y şi câte o valoare pentru
fiecare dintre variabilele explicative.
Scriem Xit valoarea variabilei i, în înregistrarea t, unde k
i 1,
, iar n
t 1,
.
Dacă se acceptă ipoteza că relaţia dintre Yt şi variabilele explicative este
lineară, atunci, pentru înregistrările din eşantionul generat prin cercetarea selectivă, se
poate scrie:
Y1
a
Y2
a
Y3
a
Yt
a
Yn
a
0
0
0
0
0
a X
1
a X
1
a X
1
a X
1
a X
1
11
12
13
1t
1n
a X
2
a X
2
2
2
a X
a X
2
21
22
23
2t
a X
2n
a X
k
a X
k
k
a X
k
a X
k
k1
k2
k3
kt
a X
e
e
e
e
Sistemul (2- 17) poate fi scris, concentrat, astfel:
kn
1
t
2
3
e
n
2- 17
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et 2- 18
Introducem următoarele notaţii:
43

unde:
Y
Y
Y Y
Y
1
2
3
n
,
1
1
X 1
1
a
a
A a
a
0
1
2
k
X
X
X
X
,
– Y este un vector coloană, de dimensiuni n 1, care are drept componente cele n
11
12
13
1n
e
X
X
X
X
21
22
23
2n
e
e
e
e
înregistrări ale variabilei explicate (endogene),
– X este o matrice de dimensiuni n (k+1), care conţine în prima coloană (ataşată
termenului liber) constanta 1, iar în celelalte k coloane înregistrările pentru
fiecare dintre cele k variabile explicative;
– A este un vector coloană, de dimensiuni (k+1) 1, care include cei k+1
parametri ai modelului;
– e este un vector coloană, de dimensiuni n 1, care include cele n valori ale
1
2
3
n
variabilei de abatere (erorile din ecuaţie de regresie)
Cu aceste notaţii, sistemul (2- 17) poate fi scris matriceal astfel:
Y = XA + e 2- 19
Să presupunem că eşantionul disponibil este utilizat pentru calculul unor
estimatori ai parametrilor modelului (calculul componentelor vectorului A). Adică,
printr-o metodă adecvată sunt determinaţi estimatorii â0, â1, …, âk, unde âi este
estimatorul parametrului ai. Atunci, Ŷ – valorile calculate, pe baza modelului, pentru
variabila endogenă se deduc din ecuaţia de regresie lineară multiplă:
Ŷ = â0 + â1X1 + â2X2 + ... + âkXk 2- 20
Dacă se selectează valorile obţinute în înregistrarea t pentru variabilele din
ecuaţia precedentă, atunci:
Ŷt = â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt 2- 21
X
X
X
X
k1
k2
k3
kn

Valoarea înregistrată Yt nu coincide cu valoarea calculată Ŷt pe baza
modelului (2- 21), diferenţa dintre cele două mărimi fiind un estimator al erorilor din
ecuaţia de regresie. Notăm estimatorul respectiv cu ut şi îl denumim variabila
reziduală. Atunci:
Yt = Ŷ + ut, oricare ar fi t = 1, 2, ..., n 2- 22
sau Yt = â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt + ut, n
Ecuaţiile (2- 23) pot fi scrise sub formă matriceală astfel:
t 1,
2- 23
Y = XÂ + u 2- 24
unde X şi Y sunt definite la fel ca în ecuaţia (2- 19), Ŷ = XÂ, iar  şi u sunt vectorii
ataşaţi estimatorilor, respectiv variabilei reziduale.
â
â
 â
â
0
1
2
k
,
u
u
u
u
u
1
2
3
n
Valorile  şi u depind de eşantionul selectat şi de metoda de estimare aleasă.
Cea mai cunoscută procedură de calcul a estimatorilor pentru parametrii
modelului linear multifactorial este metoda celor mai mici pătrate. La fel ca în cazul
modelului linear unifactorial, se caută acele valori ale estimatorilor care minimizează
suma pătratelor reziduurilor (diferenţelor dintre valorile înregistrate statistic pentru Y
şi valorile estimate pe baza ecuaţiei de regresie). Adică, sunt alese acele valori
â0, â1, …, âk, pentru care valoarea funcţiei F este minimă, unde F se calculează astfel:
F
n
t1
n
t1
u
2
t
t1
Y ˆ Y
t
n
0
t
Y â â X â X
1
t
1t
2
2
2t
â X
k
kt
2
2- 25
Notăm A' transpusa matricei A. În relaţiile următoare vom folosi următoarele
proprietăţi ale transpunerii matricelor (A')' = A, (A+B)' = A' + B', (AB)' = B'A'.
45

Cu aceste notaţii, expresia (2- 25) se scrie matriceal F = u'u, unde prin u' am
notat transpusul vectorului u. Din (2- 24) rezultă u = Y – XÂ, deci:
F = u'u = (Y – XÂ)'(Y – XÂ) =
= Y'Y – Y'XÂ –Â'X'Y + Â'X'XÂ
Deoarece Â'1,k+1∙X'k+1,n∙Yn,1 = Y'1,n∙Xn,k+1∙Âk+1,1 = g1,1, unde g este un scalar,
expresia F se scrie:
F = Y'Y – 2Â'X'Y + Â'X'XÂ 2- 26
Pentru determinarea punctului de minim al expresiei date de (2- 26) se
egalează cu zero derivata lui F în raport cu vectorul estimatorilor Â:
F
Â
2X'
Y
2X'
XÂ
0
2- 27
Expresia matriceală precedentă este scrierea concentrată a k+1 ecuaţii în care
elementele necunoscute sunt componentele vectorului Â:
X'XÂ = X'Y 2- 28
Relaţia de mai sus reprezintă sistemul de ecuaţii normale din modelul linear
multifactorial şi este echivalent cu sistemul (2- 11) din modelul unifactorial.
de unde
Dacă în (2- 28) se înlocuieşte Y cu valoarea dată de (2- 24) se obţine:
X'XÂ = X'(XÂ + u) = X'XÂ + X'u
X'u = 0 2- 29
Relaţia 2- 29 este echivalentă cu (2- 13) din modelul linear unifactorial şi, la
fel ca expresiile (2- 13), va fi folosită în demonstrarea unor proprietăţi ale
estimatorilor obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate.
Dacă vectorii ataşaţi fiecărei variabile explicative Xi sunt linear independenţi,
atunci matricea X'X nu este singulară şi sistemul (2- 28) poate fi rezolvat în raport cu
vectorul estimatorilor Â:
 = (X'X) -1 X'Y 2- 30

Din condiţiile de ordinul II rezultă 33 că vectorul  minimizează valoarea
funcţiei F(Â) = u'u. Expresia (2- 30) reprezintă formula de calcul a estimatorilor
pentru parametrii din modelul linear multifactorial.
3.2. Ipotezele modelului
Estimarea parametrilor din ecuaţia de regresie multifactorială se bazează, la fel
ca în cazul unifactorial, pe o serie de ipoteze referitoare la forma dependenţei dintre
variabile, la variabila explicativă şi la variabila de abatere.
I–1M: Linearitatea modelului. Modelul este linear în sensul că oricare ar fi
înregistrarea (Yt, X1t, X2t, …, Xkt) selectată, forma legăturii dintre Yt
variabilele explicative Xkt şi variabila de abatere este lineară.
I–2M: Ipotezele referitoare la variabilele explicative
a. Variabilele explicative nu sunt aleatoare, au valorile fixate atunci când
se repetă selecţia
b. Fiecare variabilă exogenă are dispersia nenulă, dar finită
c. Numărul de observaţii este superior numărului de parametri
d. Nu există nici o relaţie lineară între două sau mai multe variabile
explicative (absenţa colinearităţii)
I–3M: Ipotezele referitoare la erori
a. Erorile et au media nulă
b. Erorile et au dispersia constantă oricare ar fi t (erorile nu sunt
heteroscedastice)
c. Erorile et sunt independente (nu sunt autocorelate)
d. Erorile et sunt normal distribuite
33 vezi Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, cap.2,
anexa 3.A.2, pag. 123.
47

3.3. Proprietăţi ale estimatorilor
Dacă ipotezele modelului sunt respectate, atunci estimatorii calculaţi prin
metoda celor mai mici pătrate pentru modelul multifactorial de regresie lineară au
anumite proprietăţi.
Proprietatea P-1M: estimatorii sunt lineari. Dacă variabilele explicative X nu sunt
aleatoare şi au valorile fixate (atunci când se repetă selecţia), estimatorii
parametrilor din modelul multifactorial de regresie lineară sunt funcţii
lineare de observaţiile din eşantionul selectat.
Proprietatea P-2M: estimatorii sunt nedeplasaţi. Dacă erorile sunt variabile aleatoare
cu media zero, estimatorii lineari ai parametrilor din modelul
multifactorial de regresie lineară sunt nedeplasaţi.
Proprietatea P-2'M: estimatorii sunt consistenţi. Dacă variabilele explicative au
dispersia finită, estimatorii lineari şi nedeplasaţi ai parametrilor din
modelul multifactorial de regresie lineară sunt consistenţi.
Proprietatea P-3M: estimatorii sunt eficienţi. Dacă variabilele explicative au
dispersia finită, estimatorii lineari şi nedeplasaţi ai parametrilor din
modelul multifactorial de regresie lineară sunt eficienţi.
Proprietatea P-4M: estimatorii sunt normal distribuiţi. Estimatorii parametrilor din
modelul multifactorial de regresie lineară (Â), calculaţi prin metoda celor
mai mici pătrate, sunt variabile aleatoare cu distribuţie normală.
Proprietatea P-5M: estimatorii sunt de maximă verosimilitate. Estimatorii
parametrilor din modelul multifactorial de regresie lineară (Â), calculaţi
prin metoda celor mai mici pătrate, sunt estimatori de maximă
verosimilitate.
REZUMAT
Modelul reprezintă o construcţie, de obicei simplificată, prin care se caută înţelegerea
unei realităţi complexe într-o abordare apropiată de realitate.
Un model econometric reprezintă un ansamblu de relaţii interdependente care

descriu legăturile dintre valorile unui anumit număr de variabile economice, într-un
context dat. Elementele unui model economico-matematic sunt: variabilele, ecuaţiile,
parametrii modelului. Rezolvarea modelului presupune existenţa unor serii de date,
care să prezinte starea şi/sau evoluţia (distribuţia) variabilelor din model.
Prognoza este înţeleasă ca un studiu asupra viitorului, pe baza analizării şi
interpretării unor factori ştiinţifici, tehnici, economici, sociali şi naturali, în vederea
stabilirii influenţei acestor factori asupra dezvoltării unui fenomen sau grup de
fenomene.
Modelul de regresie unifactorial este o reprezentare matematică în care o variabilă
endogenă este exprimată în raport de o singură variabilă endogenă prin intermediul
unei funcţii specifice, sub forma Y = f(X, e).
Modelul de regresie multifactorial este o reprezentare matematică în care o variabilă
endogenă este exprimată în raport de mai multe variabile endogene prin intermediul
unei funcţii specifice, sub forma Y = f(Xi, e).
TERMENI-CHEIE
model econometric
prognoză economică
model de regresie unifactorială
model de regresie multifactorială
variabilele şi parametrii modelului
ecuaţii specifice
metoda celor mai mici pătrate
ipotezele modelului liniar
proprietăţile estimatorilor
estimarea parametrilor
49

ÎNVĂȚARE NR. 1
TEMA DE CONTROL A UNITĂȚII DE
1. Definiţi un model econometric şi explicaţi caracteristicile fundamentale ale
acestuia
2. Când o prognoză economică este eficientă? Explicaţi alegerea criteriilor.
3. Prin ce se deosebeşte un model de regresie unifactorial de unul
multifactorial?
4. În ce constă metoda celor mai mici pătrate?
5. Care sunt ipotezele modelului liniar unifactorial?
6. Care sunt ipotezele modelului liniar multifactorial?
7. Care sunt proprietăţile estimatorilor modelelor de regresie
Testul de autoevaluare nr. 1
1. Descrieţi schema generală a procesului de modelare:
Barem
Acordat/Realizat
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
2. Descrieţi schema generală a modelelor econometrice:
1pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

2 pct/........
3. Ce se inţelege prin ecuaţii de comportament?
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
4. Ce se inţelege prin ecuaţii de echilibru?
1pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
5. Datele de tip panel:
1pct/........
a) corespund unor observaţii efectuate asupra stării unui fenomen economic la
intervale regulate de timp
b) reflectă starea, structura şi relaţiile care există între diferitele componente ale
unui sistem economic, la un moment dat
c) combină seriile de timp şi datele în structură transversală.
Argumentati raspunsul.
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
51

..........................................................................................................................................
.....................
2 pct/........
6. Intr-un model de regresie de tip liniar ipoteza cu privire la variabila exogenă este:
a) variabilă exogenă are dispersia nenulă, dar finită
b) variabilă exogenă are dispersia nulă, dar finită
c) variabilă exogenă are dispersia nenulă, dar ne-finită
Argumentati raspunsul
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
2 pct/........
Se acorda 1 pct. din oficiu. Total.....
BIBLIOGRAFIA SPECIFICĂ UNITĂȚII
DE ÎNVĂȚARE NR. 1
Ailenei D., 1999, Piaţa ca spaţiu economic, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Ailenei D., 2002, Economia sectorului public, Editura Brent, Bucureşti
Bera A., Jarque C., 1981, Efficient Tests for Normality, Heteroscedasticity, and Serial
Independence of Regression Residuals: Monte Carlo Evidence, în Economics
Letters, 7, pp. 313-318.
Bera A., Jarque C., 1982, Model Specification Tests: A Simultaneous Approach, în
Journal of Econometrics, 20, pp. 59-82.

Bollerslev T., Engle R.F., Nelson D.B., 1994, ARCH Models, Capitolul 49 din
Handbook of Econometrics, Volume 4, North-Holland.
Bourbonnais R., 1997, Econométrie. Cours et exercises corrigés, Edition Dunod,
Paris
Box G.E.P., Jenkins G.M., 1976, Time Series Analysis: Forecasting and Control,
Revised Edition, Holden-Day.
Breusch T., 1978, Testing foe autocorelation in dinamic linear models, în Australian
Economic Papers, 17, pag. 334-355
Brillet J.-L, 1989, Techiques de modelisation, Collection ENSAE (École Nationale de
la Statistique et de l'Administration Économique), Paris
Cochrane D., Orcutt G.H., 1949, Application of Least Squares Regressions to
Relantionships Containing Autocorrelated Error Terms, în Journal of
American Statistic Association, vol. 44, pag. 32-61
Constantin D.-L., 1998, Economie regională, Editura Oscar Print, Bucureşti
Dickey D.A., Fuller W.A., 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive
Time Series with a Unit Root, în Journal of the American Statistical
Association, 74, 427–431.
Dobrescu E., 1999, Macromodels of the Romanian Transition Economy (fourth
version), în AMFET - Modeling Economies in Transition, vol.I, University of
Lodz (edited by W.Welfe), Lodz, Poland
Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura
Economică, Bucureşti
Engle R.F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of
Variance of United Kingdom Inflation, în Econometrica, Vol. 50 (July), pag.
987-1007
Engle R.F., Granger C.W.J., 1987, Co-integration and Error Correction:
Representation, Estimation, and Testing, în Econometrica, 55, pag. 251-276.
Fedorenko N.P., Kantorovici L.V. (ş.a.), 1979, Dicţionar de matematică şi cibernetică
în economie, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti
Godfrey L.G., 1988, Specification Tests in Econometrics, Cambridge University
Press.
53

Granger C.W.J., 1969, Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods, în Econometrica, 37, pag. 424-438.
Greene W.H., 2000, Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.
Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~
bhansen
Harvey A.C., 1993, Time Series Models, 2nd edition, MIT Press.
Hausman J.A., 1978, Specification Tests in Econometrics, în Econometrica, 46, 1251–
1272.
Hildreth G., Lu J.Y, 1960, Demand Relations with Autocorrelated Disturbances, în
Michigan State University Agricultural Experiment Station, Tehnical Bulletin
276, November
Iancu A., 1998, Bazele teoriei politicii economice, Editura All & Beck şi IRLI,
Bucureşti
Johnston J., DiNardo J.E., 1997, Econometric Methods, 4th edition, McGraw-Hill.
Jula D., 2002, Modelare şi prognoză macroeconomică, Editura Estfalia Bucureşti
Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti
Jula D., Ailenei D., Jula N., Gârbovean A., Economia dezvoltării, Editura Viitorul
Românesc, Bucureşti
Jula D., Jula N., 1999, Economia sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Jula N., 1999, Teorii şi modele privind piaţa muncii. Piaţa muncii în România,
Editura Brent¸ Bucureşti
Jula N., 2003, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar – monetare. Elemente de econometrie
aplicată, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2006, Modelare economică. Econometrie aplicată, Editura Mustang,
Bucureşti
Kane E.J., 1971, Statistique économique et économetrie, Armand Colin, Paris
Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan
Maddala G.S, 2001, Econometrics, New York: McGraw-Hill
Malinvaud E., 1981, Méthodes statistiques de l'économetrie, Edition Dunod, Paris
Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică,
Editura Economică, Bucureşti

Pârţachi I., Brăilă A., Şişcanu N., 1999, Econometrie aplicată, A.S.E.M., Chişinău
Pecican E.-S., 1994, Econometrie, Editura All, Bucureşti
Pecican E.-S., 1996, Macroeconometrie - Politici economice guvernamentale şi
econometrie, Editura Economică, Bucureşti
Phillips P.C.B., Perron P., 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, în
Biometrika, 75, pag. 335-346.
Pindyck R.S., Rubinfeld D.L, 1991, Econometric Models and Economic Forecasts,
McGraw-Hill, Inc.
Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press,
Harcourt Brace College Publishers, Orlando, USA
Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge
University Press
Tănăsoiu O., Iacob A.-I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti
Taşnadi Al., 2001, Econometrie aplicată, Editura ASE, Bucureşti
Theil H., 1971, Principles of Econometrics, John Wiley and Sons, New York
Thomas R.-L, 1993, Introductory Econometrics: Theory and Applications, 2nd
edition, Harlow, Longman
Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow,
Longman
Vangrevelinghe G., 1973, Econométrie, Hermann, Paris
White H., 1980, A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct
Test for Heteroskedasticity, în Econometrica, 48, pag. 817-838.
Zaman C., 1998, Econometrie, Pro Democraţia, Bucureşti
Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti
Răspunsurile la Testul de autoevaluare: 1, 2, 3, 4 – vezi definiţiile din cadrul acestei
unităţi, precum şi figurile 1.1., 1.2., 1.3.; 5 c; 6 a.
55

Unitatea de învăţare 2: TESTE STATISTICE
Unitatea de învăţământ 2 grupează temele necesare testării şi analizei caracteristicilor
variabilelor din model şi a erorilor precum şi elemente care permit specificarea
corectă a modelului.
Timpul de studiu individual estimat: 12 h
Obiective specifice:
înţelegerea conceptelor de dispersie a estimatorilor, teste de semnificaţie,
acurateţea ajustării, ipoteze cu privire la erori
utilizarea conceptelor mai sus amintite în evaluarea modelelor de regresie
unifactoriale şi multifactoriale
asimilarea şi utilizarea testelor de semnificaţie a estimatorilor
utilizarea criteriilor de specificare a modelelor multifactoriale
asimilarea şi utilizarea testelor de heteroscedasticitate a erorilor
asimilarea şi utilizarea testelor de autocorelare a erorilor
asimilarea şi utilizarea testelor de normalitate a erorilor
Cuprins:
Teste de semnificaţie
Specificarea modelului şi acurateţea ajustării
Multicoliniaritatea
Heteroscedasticitatea erorilor
Autocorelarea erorilor
Testarea normalităţii erorilor
Serii de timp
Staţionaritatea
Cointegrarea
Utilizarea modelelor econometrice în prognoză
Rezumat; Termeni–cheie; Verificarea cunoştintelor; Teste de autoevaluare;
Bibliografie

4. TESTE DE SEMNIFICAŢIE
Estimatorii parametrilor din ecuaţia de regresie sunt determinaţi pe baza unei
selecţii şi, în consecinţă, sunt variabile aleatoare. Ca urmare, pot lua, cu probabilităţi
diferite, orice valoare într-un anumit interval. Dacă în acel interval se găseşte şi
valoarea zero, înseamnă că există riscul ca un anumit parametru să fie nul. Însă, cu
excepţia lui a0, orice alt parametru măsoară intensitatea legăturii între variabila
explicată (endogenă) şi o variabilă explicativă. Dacă parametrul poate lua valoarea
zero, înseamnă că este posibil să nu existe o legătură între cele două variabile.
Testarea semnificaţiei estimatorilor înseamnă evaluarea riscului ca parametrii să fie
zero (ipoteza nulă, notată H0) şi, alternativ, a gradului de încredere în valorile
estimate, grad determinat ca fiind complementar riscului evaluat prin ipoteza nulă.
De asemenea, având în vedere variabilitatea estimatorilor în funcţie de
eşantionul folosit, apare problema distribuţiei acestora în jurul unei valori medii, adică
problema dispersiei estimatorilor. În aceste condiţii, chiar dacă estimatorii sunt
nedeplasaţi, este necesar ca pe măsură ce dimensiunea eşantionului creşte valoarea
estimatorilor să se apropie asimptotic de parametrul pe care îl estimează (consistenţa
estimatorilor). În analiză şi în prognoză sunt preferaţi acei estimatori care sunt
nedeplasaţi, sunt consistenţi şi prezintă o dispersie cât mai mică.
Evident, pentru ca un model econometric să poată fi considerat bun este
necesar să prezinte şi alte proprietăţi. Aceste proprietăţi, depind, la fel, de variaţia
(dispersia) parametrilor, respectiv a estimatorilor.
4.1. Dispersia estimatorilor
Dispersia este o măsură a variaţiei 34 . Dacă Xi, i = 1, 2, …, n sunt realizările
unei variabile aleatoare atunci dispersia, notată
2
X , sau Var(X) se calculează:
34 Pentru detalii vezi Jula N., 2004, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti, pag.93-104..
57

n
2 X X
t
2 t 1 X
, unde
n
n
X t
t 1 X .
n
Dacă valorile Xi sunt obţinute printr-o selecţie, atunci dispersia de selecţie se
calculează astfel:
s
2
X
n
X X
2
t
t
1
.
n 1
4.1.1. Dispersia estimatorilor în modelul linear unifactorial
erorilor
Pentru o selecţie de volum redus, un estimator nedeplasat pentru dispersia
2
e
este dispersia de selecţie a variabilei e, notată 2
s
2
e
n
t
1
e e
t
n 1
2
s e şi calculată astfel 35 :
Se poate demonstra că o estimare nedeplasată a dispersiei erorilor, calculată
pornind de la dispersia de selecţie a variabilei reziduale, este dată de expresia 36 :
s
2
u
n
2
u t
t
1
3- 1
n 2
Prin calcul direct se pot deduce dispersiile estimatorilor â0 şi â1 obţinuţi prin
metoda celor mai mici pătrate. Se demonstrează că dacă se respectă ipotezele I-5
(erorile nu sunt heteroscedastice) şi I-6 (erorile nu sunt autocorelate), atunci se pot
calcula estimările nedeplasate pentru dispersiile estimatorilor din modelul unifactorial
de regresie lineară 37 :
35 Pentru demonstraţie vezi Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting,
Bucureşti, cap.II, Anexa 2.A.13, pag.72-74.
36 Idem, Anexa 2.A.13, pag.74-75.
37 Relaţiile de calcul pentru dispersiile estimatorilor din modelul unifactorial de regresie lineară se
deduc simplu, prin precizarea k = 1 în relaţiile de calcul a dispersiilor din modelul multifactorială de
regresie lineară, relaţii demonstrate în paragraful următor.

Valorile
2
2 2 1 X
sâ su
3- 2
0 2
n
X t X
1
t
2 2
sâ s 1 u
2
2
s â şi
0
var(a1), în măsura în care
erorilor
2
e .
X X
3- 3
59
2
s â sunt estimatori nedeplasaţi ai mărimilor var(a0), respectiv
1
2
s u este un estimator nedeplasat al dispersiei de selecţie a
Din relaţiile precedente rezultă că dispersiile estimatorilor sunt cu atât mai
mari cu cât dispersia reziduurilor este mai mare. De asemenea, dacă dimensiunea
eşantionului observat (n – numărul înregistrărilor) creşte, numărul termenilor pozitivi
de la numitorul relaţiilor respective creşte şi, în consecinţă, dispersiile estimatorilor â0
şi â1 scad.
Abaterile standard ale variabilelor aleatoare u, â0 şi â1, adică su, 0
s şi
â
s â se
1
calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din valorile corespunzătoare ale
dispersiilor:
s
u
n
2
u t
t
1
3- 4
n 2
2
1 X
n t
sâ s 0 u
2
X X
3- 5
su
sâ
3- 6
1 2
X t X
4.1.2. Dispersia estimatorilor în modelul linear multifactorial
relaţia:
Prin definiţie, matricea de varianţă – covarianţă a estimatorilor este dată de
V(Â) = M[(Â – A)(Â – A)'] 3- 7

În formula de calcul a estimatorilor
 = (X'X) -1 X'Y
se înlocuieşte Y cu expresia sa:
Rezultă
de unde
Y = XA + e.
 = (X'X) -1 X'(XA + e) = A + (X'X) -1 X'e
 – A = (X'X) -1 X'e 3- 8
Pornind de la relaţiile (3- 7) şi (3- 8) şi de la faptul că matricea (X'X) -1 este
simetrică, matricea V(Â) poate fi calculată astfel:
ecuaţia
V
 M  AÂ
A
M
1
X'X X'ee'XX'
X
1
3- 9
Deoarece X poate fi considerată constantă, rezultă că matricea C definită prin
C = (X'X) -1 X'
are elementele constante, deci
M(C) = C.
În plus, C este simetrică, deci
M(C') = C'.
Atunci relaţia ( 3- 9) poate fi scrisă astfel:
V(Â) = (X'X) -1 X'M(ee')X(X'X) -1 3- 10
unde M(ee') este matricea varianţă – covarianţă a erorilor.
şi
Dacă notăm
Var
2 2
e Me
, t 1,
n
t
Cov(ei, ej) = σij,
t
atunci matricea de varianţă-covarianţă a erorilor se scrie astfel:
t

2 1
21
V M ee'
31
n1
Dacă erorile sunt independente (ipoteza I-3Mc), atunci
12
2
2
32
n2
13
23
2
3
n3
1n
2n
3n
2
n
σij = Cov(ei, ej) = M(ei, ej) = 0, oricare ar fi i ≠ j.
În aceste condiţii, matricea V devine
V M
ee' 2 1
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
2
n
3- 11
Dacă, în plus, erorile nu sunt heteroscedastice, deci au dispersia constantă
(ipoteza I-3Mb), atunci notăm
Rezultă,
2 2 2
2 2
1 2
3
... n
e
2
e valoarea constantă a dispersiilor:
2
σ
e 0 0 0 1
0 0 0
2
0 σ
0 1 0 0
e 0 0
V M
e
2
0 0 0 σ
0 0 0 1
e
2
2
2
ee'
0 0 σ 0
σ
e 0 0 1 0
σe
In
unde In este matricea unitate de ordinul n. Cu alte cuvinte, dacă erorile nu sunt
autocorelate şi nu sunt heteroscedastice, atunci:
2 e n I ' ee
M V
3- 12
unde In reprezintă matricea unitate de ordinul n. Cu aceste precizări, ecuaţia (
Var
3- 10) se scrie
1
2
 X' X
X'
I XX' X
2
e
2
e
1
1
X'
X X'
X X'
X
X'
X
e
n
1
1
3- 13
61

Dacă în matricea simetrică (X'X) -1 notăm dij elementul situat la intersecţia
dintre linia i şi coloana j, atunci dij = dji. Prin compararea relaţiilor (3- 7) şi (3- 13)
rezultă că dispersia estimatorului âi, notată
unde k
i 0,
.
2
â
2
e
ii
2
â , este dată de expresia:
i
d 3- 14
i
Dar, în relaţiile de calcul (3- 14) dispersia erorilor
2
e nu este cunoscută. De
aceea, este necesar ca, pornind de la eşantionul selectat pentru analiză, să determinăm
o estimare nedeplasată a dispersiei respective. Se demonstrează că:
s 2
u
1
u'
u
3- 15
n k 1
este un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor 2
M s .
Relaţia (3- 15) poate fi scrisă într-o formă echivalentă astfel:
s
2
u
n
2
u t
t
1
3- 16
n k 1
În aceste condiţii, un estimator nedeplasat al matricei V(Â), matricea de
varianţă – covarianţă a vectorului estimatorilor Â, se calculează astfel:
S
2
Â
2
u
1
X'X
s
3- 17
Pornind de la relaţia (3- 17) se calculează dispersia de selecţie pentru
estimatorii parametrilor din ecuaţia de regresie, notată
unde k
i 0,
.
2
â
2
u
ii
2
u
e
2
s â , astfel:
i
s s d
3- 18
i
Astfel, se deduce următoarea regulă:
Pentru a calcula dispersia estimatorului âi se înmulţeşte dii – elementul
aflat pe poziţia i (i = 0, 1, 2, …, k) în diagonala matricei (X'X) -1 cu dispersia
constantă a valorilor variabilei reziduale
2
s u .

Abaterea standard de selecţie a estimatorului âi se calculează prin
extragerea rădăcinii pătrate din dispersia estimatorului respectiv:
s s d
3- 19
i
â
u
ii
Tot din compararea relaţiilor (3- 7) şi (3- 13) rezultă:
2 â , â d , i j
Cov i j e ij
Dacă se ţine seama de precizarea (3- 15), atunci estimarea covarianţei dintre
valorile âi şi âj se realizează prin relaţiile:
2 â , â s d , i j
ĉov i j u ij
3- 20
şi se deduce următoarea regulă:
Pentru a calcula un estimator nedeplasat al covarianţei dintre estimatorii âi şi
âj se înmulţeşte dij – elementul aflat la intersecţia dintre linia i
(i = 0, 1, 2, …, k) şi coloana j (j = 0, 1, 2, …, k) în matricea (X'X) -1 cu
dispersia constantă a valorilor variabilei reziduale
2
s u .
4.2. Teste privind semnificaţia estimatorilor
Estimatorii â0 şi â1 din modelul linear unifactorial, calculaţi prin metoda celor
mai mici pătrate, sunt variabile aleatoare repartizate normal, cu media egală cu
valoarea parametrului pe care îl estimează (sunt nedeplasaţi) şi cu dispersia dată de
relaţiile prezentate mai sus. Fiind variabile aleatoare, estimatorii pot avea – evident,
cu probabilităţi diferite – orice valoare situată într-un anumit interval. Dacă acest
interval conţine şi valoarea zero, atunci, cu o probabilitate care poate fi calculată,
estimatorii pot lua valoarea zero. De exemplu, în modelul Ŷ = â0 + â1X, intensitatea
legăturii dintre X şi Y este dată de valoarea parametrului a1, estimat prin â1. Dacă
estimatorul â1 poate fi zero cu o probabilitate P(â1 = 0) suficient de mare, înseamnă că
există riscul ca între variabilele X şi Y să nu fie nici o legătură, sau cel puţin se poate
afirma că eşantionul selectat nu oferă argumente statistice suficient de puternice care
să justifice ipoteza unei legături între X şi Y de tipul celei admise prin modelul de
regresie lineară prezentat. Pentru anumite tipuri de probleme este important şi testul
63

privind semnificaţia estimatorului â0, deoarece admiterea ipotezei â0 = 0 ar putea avea
implicaţii teoretice deosebite.
Pentru prezentarea metodologiei de testare a semnificaţiei estimatorilor
calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, în cazul unui model linear unifactorial
care respectă ipotezele de la I-1 la I-7 sunt necesare câteva noţiuni elementare privind
intervalele de încredere şi testarea ipotezelor statistice. Aceste noţiuni sunt prezentate,
sintetic, în paragrafele următoare.
4.2.1. Teste de semnificaţie în cazul modelului unifactorial
Procedura uzuală aplicată pentru testarea semnificaţiei parametrilor din
modelul unifactorial de regresie lineară urmăreşte testarea ipotezei nule H0: parametrii
nu diferă semnificativ de zero, contra ipotezei alternative H1: parametrii din ecuaţia de
regresie sunt, în valoare absolută, strict pozitivi. Atunci, sub ipoteza H0, statistica
â
t â i s
i
âi
urmează o distribuţie Student cu n – 2 grade de libertate (i = 0 sau 1). Se respinge
ipoteza nulă H0: âi = 0 (X nu influenţează Y) dacă valoarea absolută a acestui test este
mai mare decât o valoare critică obţinută din tabelele distribuţiei t (Student).
Grafic, justificarea acestei reguli de decizie este următoarea: distanţa de la âi la
zero este de i
â1 i
t abateri standard, deoarece din relaţia de calcul a statisticii t rezultă
sâ
t 0
1 â . Dacă i
â
t â este mai mare decât valoarea critică t * înseamnă că, în
figura 3-1, valoarea zero este situată în stânga punctului
α = 0.05 şi n > 25 în dreapta punctului
â t n2;
0.
05
s i
â t n2;
0.
05
. Or, pentru
s i se găsesc 95% din valorile
variabilei aleatoare â1. Adică 95% dintre valorile variabilei aleatoare â1 nu se găsesc
în zona în care se află zero.
Dacă estimatorul âi este suficient de depărtat de zero, acceptăm ipoteza că nici
parametrul real ai nu este zero.

0
5%
â t n2;
0.
05
s i
Se acceptă H0
45%
âi
50%
Se respinge
Figura 3-1: Testul t – unilateral pentru H0: ai = 0, contra H1: ai > 0
Algoritmul de testare a semnificaţiei estimatorilor este următorul:
Pasul 1: Se formulează nulă H0: âi = 0 şi ipoteza alternativă H1: âi > 0, pentru
i = 0 sau 1.
Pasul 2: Pornind de la datele de selecţie se calculează statistica
H0
â
65
i t â . Sub
i sâ1
ipoteza nulă, statistica respectivă urmează o distribuţie Student cu n – 2
grade de libertate. Dacă valoarea calculată t este mare admitem că,
probabil, parametrul ai este mai mare decât zero.
Pasul 3: Din tabelul statisticii t–Student, pornind de la numărul gradelor de libertate
Pasul 4: Dacă
(n – 2) şi de la nivelul de semnificaţie ales (α), se selectează o valoare
t n
2,
astfel încât P(t > t * ) = α (testul unilateral)
t i atunci se respinge H0 şi admitem că parametrul ai este
â
t n2,
semnificativ mai mare decât zero, cu un grad de încredere mai mare decât
1 - α. Dacă estimatorul âi este negativ, atunci ipoteza alternativă este
H1: ai < 0 şi se respinge H0 dacă
t âi
t
n2,
.

Observaţie:
Dacă valoarea unui estimator este negativă, fie se testează
t âi
t
n2,
statisticile t se calculează în modul (în valoare absolută) şi se urmează procedura
prezentată.
, fie
De obicei, rezultatele estimării parametrilor din modelul de regresie se
prezintă împreună cu valorile calculate ale abaterii medii standard pentru estimatorii
respectivi şi împreună cu R 2 (coeficientul de determinare). Valorile sa se scriu sub
estimatorii â0 şi â1, iar coeficientul de determinare se scrie după ecuaţie:
2
s
1 Y â 0 â X,
R
s
ˆ
3- 21
â0
â1
4.2.2. Teste de semnificaţie în cazul modelului multifactorial
Se poate demonstra că statistica:
â
t
s
i
âi
adică, distanţa dintre estimatorul âi şi zero, distanţă măsurată în abateri standard,
urmează o distribuţie Student cu n–k–1 grade de libertate.
Pornind de la aceste elemente, testele privind semnificaţia parametrilor din
modelul linear de regresie multifactorială urmează proceduri similare cazului
unifactorial. Pentru fiecare parametru ai se utilizează testul t – Student unilateral.
Se respinge ipoteza nulă H0: ai = 0 (Xi nu influenţează Y) dacă valoarea
absolută a acestui test este mai mare decât o valoare critică obţinută din tabelele
distribuţiei t–Student pentru n - k - 1 grade de libertate şi un prag de semnificaţie (α)
ales.
Algoritmul urmat în testarea semnificaţiei estimatorilor pentru modelul
multifactorial de regresie lineară este următorul:
Pasul 1: Se formulează ipoteza nulă H0: âi = 0 şi ipoteza alternativă H1: âi > 0,
pentru i = 0, 1, …, k.
Pasul 2: Se calculează statistica

â
i t â ,
i sâ
i
unde âi este estimatorul obţinut prin aplicarea metodei celor mai mici
pătrate pentru parametrul ai din modelul linear de regresie multifactorială,
iar
s â este un estimator nedeplasat al abaterii standard a lui âi, estimator
i
calculat pornind de la datele de selecţie. Sub ipoteza nulă, statistica
respectivă urmează o distribuţie Student cu n - k - 1 grade de libertate,
unde n este volumul eşantionului şi k reprezintă numărul variabilelor
exogene din model. Dacă valoarea calculată
probabil, parametrul ai este mai mare decât zero.
67
t â este mare admitem că,
i
Pasul 3: Din tabelul statisticii Student, pornind de la numărul gradelor de libertate
Pasul 4: Dacă
(n - k - 1) şi de la nivelul de semnificaţie ales (α), se selectează o valoare
t n
k1,
astfel încât P(t > t * ) = α (testul unilateral).
*
t â t i nk1;
atunci se respinge H0 şi admitem că parametrul ai este
semnificativ mai mare decât zero, cu un grad de încredere mai mare decât
1 – α. Dacă âi este negativ, atunci ipoteza alternativă este H1: âi < 0 şi se
respinge H0 dacă
t âi
t
*
nk1;
t a i
t
. O altă soluţie constă în calcularea
statisticilor t în modul (în valoare absolută) şi se urmează procedura
prezentată.
Respingerea acestei ipotezei nule H0: ai = 0 înseamnă acceptarea faptului că,
statistic, există o legătură între variabila endogenă Y şi variabila explicativă Xi.
4.3. Exemple de calcul
4.3.1. Modelul linear unifactorial
Pentru testarea semnificaţiei estimatorilor reluăm exemplul analizat în
capitolul II, tabelul 2-1, referitor la legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul
economiilor.

Aplicarea relaţiilor de calcul (3- 1), (3- 2) şi (3- 3), pentru calculul dispersiilor,
respectiv (3- 4), (3- 5) şi (3- 6) pentru calculul abaterilor standard, presupune în plus
faţă de elementele prezentate în tabelul respectiv, calculul blocurilor ∑ut 2 şi
X
2
X t . De aceea, reluăm tabelul 2-1, completat cu două coloane, în tabelul 3-1:
Tabelul 3-1: Teste de semnificaţie – modelul linear unifactorial
t Xt Yt Ŷt ut=Yt–Ŷt u 2 ∑( Xt X ) 2
1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 5041
2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 3721
3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 2601
4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 2116
5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 1681
6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 961
7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 441
8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 256
9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 1
10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 1
11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 81
12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 196
13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 361
14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 841
15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 1156
16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 1521
17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 1936
18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 2401
19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 2401
20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 2916
∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 30630
Relaţiile de calcul (3- 1), (3- 2) şi (3- 3) pentru calculul dispersiilor
reziduurilor, respectiv estimatorilor â0 şi â1 duc la următoarele rezultate:

s
s
2
u
2
â0 â 1
n
2
ut
t 1 74.
3369
4.
1298
n 2 20 2
2 1
s
u
n
4.
1298
X t X
1
20
X
2 2 1
s su
2
X t X
4.
1298
1
30630
2
2
2
171
30630
0.
000135
4.
148988
Prin extragerea radicalului se calculează valorile abaterilor standard ale
estimatorilor, conform relaţiilor (3- 4), (3- 5) şi (3- 6):
s
a = 2.0369
0
s
a = 0.0116
1
Pentru calculul statisticii testului de semnificaţie se aplică relaţiile
t
t
â0
â1
â
s
0
â0
â
s
1
â0
6.
4079
2.
0369
0.
28952
0.
0116
3.
146
24.
958
Din tabelele distribuţiei t-Student, pentru numărul gradelor de libertate df = n
– 2 = 18, în cazul testului unilateral se identifică următoarele valori 38 :
Numărul gradelor de
libertate
Rezultă:
α - testul unilateral
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005
18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922
t
*
; 0.
005
2.
878
t
â
3.
146 t
*
18;
0.
0005
18 0
3.
922
deci estimatorul â0 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere mai mare decât
99.5%, dar nu poate fi garantat 99.95%. Gradul de încredere exprimă şansele de
38 Vezi tabelul distribuţiei t-Student din anexele prezentate la sfârşitul manualului.
69

espingere a ipotezei nule (potrivit căreia estimatorul â0 nu diferă semnificativ de
zero) şi este calculat după relaţia
De asemenea,
(1 – α)∙100%.
t
â 1
24.
958
t
*
18;
0.
0005
3.
922
Aceasta înseamnă că ipoteza potrivit căreia estimatorul â1 este semnificativ diferit de
zero este acceptată cu un grad de încredere mai mare de 99.95%.
Rezultatele permit o primă evaluare a modelului unifactorial de regresie
lineară: sub rezerva verificării şi a celorlalte ipoteze (discutate în capitolul II), analiza
semnificaţiei estimatorilor sugerează existenţa unei legături semnificative între
veniturile populaţiei şi volumul economiilor.
Calculele precedente pot fi realizate prin utilizarea unor programe specializate.
Un astfel de program este Econometric Views. Rezolvarea problemei cu ajutorul
acestui program duce la obţinerea următoarelor rezultate 39 :
Variabila dependentă: Y
Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul: 1 20
Observaţii incluse: 20
R 2
Parametrii Estimatorii Ab.std. t-statistic alfa
a0 -6.407933 2.036906 -3.145915 0.0056
a1 0.289520 0.011612 24.93383 0.0000
0.971862 Media var.endog. 43.10000
R 2 – ajustat 0.970298 Ab.std. var.endog. 11.79161
Ab.std.a regresiei 2.032185 Akaike info criterion 4.350739
Suma pătrate rezid. 74.33595 Schwarz criterion 4.450313
Log likelihood -41.50739 F-statistic 621.6959
Durbin-Watson stat 1.939666 Prob(F-statistic) 0.000000
39 Semnificaţia informaţiilor cuprinse în partea a II-a a tabelului va fi explicată în capitolele următoare.

De asemenea, programul Excel din pachetul Microsoft Office are facilităţi
de rezolvare a problemelor de regresie lineară.
Pentru rezolvarea unei probleme de regresie lineară în Excel se scriu valorile
variabilelor X şi Y în coloanele tabelului deschis într-un registru de lucru. Se
selectează din meniul prezentat în bara superioară Excel, opţiunea Instrumente (Tools,
pentru versiunea în limba engleză). Din fereastra opţiunii respective se alege Data
Analysis. În fereastra Data Analysis se selectează Regression (figura 3-2a).
Prin alegerea opţiunii Regression se deschide o fereastră de tipul celei
prezentate în figura 3-2b. Se selectează celulele care conţin valorile variabilei
endogene (Input Y Range), valorile variabilei exogene (Input X Range) şi poziţia în
care să înceapă prezentarea rezultatelor (Output Range). Rezultatele sunt redate în
figura 3-2c.
La fel ca şi în programul Econometric Views, programul Excel oferă
informaţii privind probabilitatea de acceptare a ipotezei nule (H0). Astfel, riscul ca
parametrul a0 să fie în zona care conţine valoarea zero este de 0.56%, care înseamnă
un grad de încredere în parametrul respectiv de 99.44%. Pentru parametrul a1,
probabilitatea ca ipoteza H0 să fie adevărată nu are primele 4 cifre diferite de zero
(admitem H1 cu o probabilitate mai mare de 99.99%.
În Excel pot fi selectate şi alte opţiuni care să ofere informaţii suplimentare
privind modelul. De exemplu, dacă în fereastra Regression (figura 3-2b) se selectează
opţiunea Residuals, programul tipăreşte valorile estimate ale variabilei endogene (Ŷt)
sub denumirea Predicted Y şi valorile variabilei reziduale (ut), în coloana Residuals.
71

Figura 3-2a: Rezolvarea problemelor de regresie lineară unifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: utilizarea opţiunii Regression

Figura 3-2b: Rezolvarea problemelor de regresie lineară unifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: selectarea datelor de intrare
73

â0
Figura 3-2c: Rezolvarea problemelor de regresie lineară unifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: prezentarea rezultatelor
4.3.2. Modelul linear multifactorial
â1
Coeficientul de
determinare (R 2 )
Pentru prezentarea modului de testare a semnificaţiei estimatorilor în cazul
modelului linear multifactorial reluăm exemplul analizat în capitolul II, tabelul 2-2,
referitor la legătura dintre dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a
dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt). Tabelul 2-2 este completat
cu o coloană în care se calculează ∑ut 2 . Calculele sunt prezentate în tabelul 3-2.

Tabelul 3-2: Teste de semnificaţie – modelul linear multifactorial
t X1t X2t Yt Ŷt ut = Yt – Ŷt ut 2
1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318
2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456
3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706
4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003
5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756
6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292
7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375
8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382
9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312
10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342
11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009
12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223
13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122
14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131
15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167
16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068
17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791
18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700
19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079
20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090
21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947
22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629
23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111
24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703
25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240
∑ 26.7 99.6 11.3 11.3 0.0000 1.2952
Dispersia estimatorilor se calculează pe baza relaţiei (3- 18):
75

unde:
dii
2
â
s s
i
2
u
d
ii
este elementul aflat pe poziţia i (i = 0, 1, 2, …, k) în diagonala matricei (X'X) -
1 , iar
2
s u este dispersia constantă 40 a valorilor variabilei reziduale (calculată după relaţia
determină
3- 16):
s
2
u
n
2
ut
t 1 1.
2952
n k 1
25 2 1
0.
0589
Matricea (X'X) -1 este calculată în subcapitolul 2.3.2:
( X'
X)
1
24.
378
0.
046
6.
121
0.
046
0.
039
0.
022
6.
121
0.
022
1.
542
Pornind de la diagonala principală a acestei matrice şi de la valoarea
s
s
s
2
â 0
2
â 1
2
â 2
2
s 24.
378 1.
4359 198
u
sâ0
1.
2
s 0.
039 0.
0023 048
u
sâ1
0.
2
s 1.
542 0.
091 301
u
sâ2
Pentru calculul statisticii testului de semnificaţie se aplică relaţiile:
t
t
t
â0
â1
â1
â
s
0
â0
â
s
1
â0
â
s
1
â0
3.
7869
1.
198
3.
16
0.
7572
15.
72
0.
048
0.
861
0.
301
2.
86
Din tabelele distribuţiei t-Student, pentru numărul gradelor de libertate
df = n – 2 – 1 = 22,
în cazul testului unilateral se identifică următoarele valori 41 :
0.
2
s u se
40 Situaţia în care dispersia erorilor nu este constantă este analizată în capitolul VI –
Heteroscedasticitatea erorilor.

Numărul gradelor de
Rezultă:
libertate
t
α – testul unilateral
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005
22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792
*
; 0.
005
2.
819 t
â
t
*
22;
0.
0005
22 0
3.
792
deci estimatorul â0 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere mai mare decât
99.5%, dar nu poate fi garantat 99.95%.
La fel ca în cazul modelului unifactorial, gradul de încredere exprimă şansele
de respingere a ipotezei nule (potrivit căreia estimatorul â0 nu diferă semnificativ de
zero) şi este calculat după relaţia
(1 – α)∙100%.
Estimatorul â1 este semnificativ diferit de zero cu un grad de încredere mai
mare de 99.95%, deoarece
t
â 1
De asemenea,
t
*
15.
72 t 3.
792.
22;
0.
0005
2.
819 t
t
*
*
22; 0.
005
â 2 22;
0.
0005
3.
792
ceea ce înseamnă că estimatorul â2 poate fi garantat statistic cu un grad de încredere
mai mare de 99.5%, dar mai mic de 99.95%.
La fel ca în cazul modelului unifactorial, prezentăm, pentru comparaţie,
rezultatele obţinute 42 cu ajutorul programului EViews:
Variabila dependentă: Y
Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul: 1 25
Observaţii incluse: 25
41 Vezi tabelul distribuţiei t-Student din anexele prezentate la sfârşitul manualului.
42 Semnificaţia informaţiilor cuprinse în partea a II-a a tabelului va fi explicată în capitolele următoare.
77

R 2
Parametrii Estimatorii Ab.std. t-Statistic alfa
C -3.786930 1.197995 -3.161057 0.0045
X1 0.757220 0.048174 15.71857 0.0000
X2 0.860999 0.301339 2.857241 0.0092
0.923464 Media var.endog. 0.452000
R 2 – ajustat 0.916506 Ab.std. var.endog. 0.839702
Ab.std.a regresiei 0.242635 Akaike info criterion 0.117647
Suma pătrate rezid. 1.295176 Schwarz criterion 0.263913
Log likelihood 1.529406 F-statistic 132.7229
Durbin-Watson stat 2.059123 Prob(F-statistic) 0.000000
Rezultatele permit o primă evaluare a modelului: sub rezerva verificării şi a
celorlalte ipoteze discutate în capitolul II, analiza semnificaţiei estimatorilor
sugerează existenţa unei relaţii semnificative între dinamica depozitelor bancare (Yt)
şi dinamica veniturilor populaţiei (X1t), respectiv evoluţia ratei reale a dobânzii
pasive (X2t).
De asemenea, programul Excel din pachetul Microsoft Office are facilităţi de
rezolvare a problemelor de regresie lineară multifactorială: se scriu valorile
variabilelor X1t, X2t şi Yt în coloanele tabelului deschis într-un registru de lucru. La fel
ca în cazul modelului unifactorial, se selectează din meniul prezentat în bara
superioară Excel, opţiunea Instrumente (Tools, pentru versiunea în limba engleză), iar
din fereastra opţiunii respective se alege Data Analysis. În fereastra Data Analysis se
selectează Regression (figura 3-3a). Prin alegerea opţiunii Regression se deschide o
fereastră de tipul celei prezentate în figura 3-3b. Se selectează celulele care conţin
valorile variabilei endogene (Input Y Range) şi celulele care conţin valorile
variabilelor exogene (Input X Range). Valorile variabilelor exogene trebuie să fie în
coloane succesive (de exemplu, celulele B3:B27 pentru valorile X1t şi C3:C27 pentru
X2t). Se stabileşte apoi poziţia în care să înceapă prezentarea rezultatelor (Output
Range). Rezultatele sunt redate în figura 3-3c.
La fel ca şi în programul Econometric Views, programul Excel oferă
informaţii privind probabilitatea de acceptare a ipotezei nule (H0), pentru toţi
parametrii. Astfel, riscul ca parametrul a0 să fie în zona care conţine valoarea zero este

de 0.45%, care înseamnă un grad de încredere în parametrul respectiv de 99.55%.
Pentru parametrul a1, probabilitatea ca ipoteza H0 să fie adevărată nu are primele 4
cifre diferite de zero (admitem H1 cu o probabilitate mai mare de 99.99%. Riscul ca
parametrul a2 să fie în zona care conţine valoarea zero este 0.92%, ceea ce înseamnă
un grad de semnificaţie a parametrului respectiv de 99.08%.
79

Figura 3-3a: Rezolvarea problemelor de regresie lineară multifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: utilizarea opţiunii Regression

Figura 3-3b: Rezolvarea problemelor de regresie lineară multifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: selectarea datelor de intrare
81

â0
â1
â2
Coeficientul de
determinare (R 2 )
Figura 3-3c: Rezolvarea problemelor de regresie lineară multifactorială cu ajutorul
programului Excel din pachetul Microsoft Office: prezentarea rezultatelor

5. SPECIFICAREA MODELULUI ŞI
ACURATEŢEA AJUSTĂRII
Prin metoda celor mai mici pătrate se determină acea ecuaţie de regresie
pentru care suma pătratelor abaterilor dintre datele înregistrate şi cele calculate este
cea mai mică posibilă, pentru clasa de modele respective.
Problema care se ridică, în continuare, este aceea a măsurii în care variaţia
exogenei poate explica evoluţia variabilei endogene. În exemplul prezentat, ne
propunem să analizăm măsura în care variaţiile înregistrate ale masei monetare ar
putea fi atribuite variaţiilor înregistrate în nivelul preţurilor. Abaterea masei monetare
la momentul t faţă de medie este Y
Y t .
Abaterea care poate fi atribuită influenţei exogenei este Y
Yˆ t , deoarece Ŷt
este nivelul masei monetare explicat de model. Partea din variaţia endogenei care nu
poate fi atribuită variaţiei exogenei egală cu ut. Pentru cazul general, pornind de la
ecuaţia de regresie, se deduce
Yt = Ŷt + ut,
de unde deviaţia faţă de medie se poate scrie:
Yˆ Y
u , t 1,
2,
3,
,
n
Yt Y t
t
adică pentru fiecare înregistrare din eşantion, deviaţia endogenei poate fi descompusă
în abaterea explicată de model şi abaterea reziduală.
5.1. Acurateţea ajustării
În mod evident, un model este cu atât mai bun cu cât explică mai mult din
variaţia lui Y, pentru întreg eşantionul analizat. Pentru a se evita compensarea
abaterilor faţă de medie, de obicei se calculează variaţia totală a lui Y (VT) prin
însumarea pătratelor abaterilor individuale, adică prin expresia:
VT
n
t1
Y Y
t
2

(VTM):
O măsură similară poate fi calculată pentru variaţia totală explicată de model
VTM
n
t1
Y Y
ˆ
t
2
În sfârşit, prin analogie, se defineşte variaţia reziduală (VTR) prin expresia:
n
t1
2
VTR u .
t
Se demonstrează 43 că, dacă estimatorii sunt determinaţi pe baza metodei celor
mai mici pătrate, iar ecuaţia de regresie conţine şi termenul liber, atunci variaţia totală
se descompune în variaţia explicată de model şi variaţia reziduală VT = VTM + VTR:
n
t1
n
2
2
2
Y Y u
ˆ
Y Y
4- 1
t
t1
5.1.1. Coeficientul de determinare
t
n
t1
Pornind de la relaţia (4- 1), se defineşte coeficientul de determinare R 2 ca fiind
partea din variaţia lui Y care poate fi atribuită variaţiei lui X, pentru eşantionul
analizat:
R
2
VTM
VT
1
n
t1
VT VTR VTR
1
VT VT
n
t1
t
u
2
t
Y Y
2
Prin modul de definire, coeficientul de determinare este o mărime pozitivă şi
subunitară. Cu cât R 2 este mai aproape de unu, cu atât modelul se apropie mai mult de
procesul economic modelat.
Interpretarea obişnuită a coeficientului de determinare este următoarea: din
variaţia totală a masei monetare (R 2 )∙100% ar putea fi atribuită variaţiei preţurilor. În
43 Pentru demonstraţie vezi: Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional
Consulting, Bucureşti, 2003, capitolul II, anexa 2.A.3
t
4- 2

afirmaţia precedentă înlocuirea formulării ar putea fi atribuită cu formularea este
cauzată de poate duce la concluzii eronate, în special atunci când analiza
econometrică se referă la serii de timp.
Pentru modelul multifactorial de regresie lineară, la fel ca în cazul modelului
unifactorial de regresie lineară, variaţia totală a lui Y (VT) se calculează prin
însumarea pătratelor variaţiilor individuale, adică prin expresia:
VT
Y Y Y Y
n
t1
Y Y
t
De asemenea, variaţia totală explicată de model (VTM) se calculează astfel:
Y Y ˆ Y Y ˆ VTM
n
t1
Y ˆ
t
2
Y
În sfârşit, prin analogie, se defineşte variaţia reziduală (VTR) prin expresia:
n
t1
2
VTR u'u
u .
t
Calitatea ajustării este măsurată, la fel ca în cazul modelului unifactorial, prin
coeficientul de determinare R 2 , coeficient calculat potrivit formulei 4- 2 şi definit ca
fiind partea din variaţia lui Y care poate fi atribuită variaţiei lui X, pentru eşantionul
analizat:
R
2
VTM VTR
1
1
n
VT VT
t1
n
t1
2
t
u
2
t
Y Y
Evident, coeficientul de determinare este doar o măsură a acurateţei ajustării,
care, ca orice măsură are anumite limite.
În primul rând, coeficientul de determinare nu poate fi interpretat atunci când
ecuaţia de regresie nu conţine termen liber, deoarece, în această situaţie relaţia (4- 1)
nu se respectă.
Prin construcţie, R 2 măsoară partea din variaţia lui Yt care este explicată sau
care poate fi pusă pe seama variaţiei valorilor calculate Ŷt. În consecinţă, R 2 este
prezentat, de obicei, în studiile econometrice ca fiind singura măsură a acurateţei
2
85

ajustării. Din păcate, caracterizarea este exagerată. De asemenea, nu este clar dacă R 2
are o interpretare neambiguă în termeni de performanţă predictivă 44 .
Pentru a justifica această afirmaţie, să notăm faptul că puterea
explicativă a modelelor Yt = βXt + et şi Yt – Xt = (β-1)Xt + et este aceeaşi.
Modelele sunt identice din punct de vedere matematic şi produc aceleaşi
efecte şi aceleaşi valori estimate. Cu toate acestea, coeficienţii R 2 calculaţi
sunt diferiţi. Pentru ilustrare să presupunem că β ≈ 1. Atunci R 2 pentru cel
de-al doilea model va fi (aproape) egal cu zero, în timp ce R 2 pentru primul
model ar putea fi apropiat de unu. Un model econometric pentru care R 2 este
aproape de unu poate fi apreciat ca fiind bun, în timp ce un model econometric
pentru care R 2 ≈ 0 poate fi considerat necorespunzător. Asemenea diferenţe de
apreciere sunt în mod evident neacceptabile, din moment ce modelele sunt
identice din punct de vedere matematic.
Un alt aspect interesant al coeficientului de determinare este acela că R 2 creşte
atunci când în ecuaţia de regresie sunt adăugate variabile explicative suplimentare
(chiar dacă aceste variabile au mică relevanţă teoretică în explicarea variaţiei lui Y).
Intuitiv, acest lucru se întâmplă deoarece dacă adăugăm un termen suplimentar
ak+1Xk+1,t în ecuaţia de regresie iar noua valoare VTR = u'u este mai mare decât cea
din modelul iniţial, atunci modelul în care ak+1 = 0 este mai bun decât modelul în care
ak+1 ≠ 0. Adică, în cel mai nefavorabil caz, algoritmul de calcul a estimatorilor va
alege ak+1 = 0. Aceasta înseamnă că VTR în noul model va fi mai mică şi în cel mai
nefavorabil caz, valoarea respectivă nu va creşte prin adăugarea unei variabile
suplimentare. Adică, prin adăugarea de variabile explicative suplimentare, VTR nu
poate creşte: poate descreşte sau poate să rămână nemodificată. Variaţia exogenei
(VT) nu este afectată de numărul variabilelor explicative din ecuaţia de regresie, astfel
încât raportul VT
VTR poate doar să descrească. În consecinţă, R 2 sau creşte, sau nu se
modifică. Pentru a contracara acest efect, Theil a propus un coeficient modificat, notat
44 Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~ bhansen, pag. 30-
31.

2
R şi denumit în mod uzual R 2 – ajustat, coeficient care penalizează adăugarea de
variabile explicative suplimentare, nerelevante. De asemenea, au fost construite şi alte
criterii performante de evaluare a modelelor econometrice, aşa cum sunt AIC (Akaike
Information Criterion) şi BIC (Schwartz Information Criterion).
5.1.2. Coeficientul de determinare corectat
Pentru a se evita tentaţia de construire a unor modele explicative de
dimensiuni mari, irelevante din punct de vedere al teoriei economice (şi care din punct
de vedere al coeficientului de determinare sunt "mai bune") s-a propus construirea
altor măsuri ale calităţii ajustării. Cea mai utilizată corecţie este cea introdusă de Theil
prin coeficientul de determinare ajustat. Ideea de la care se porneşte în construirea
acestei măsuri a calităţii ajustării este simplă. Într-o formulă similară cu (4- 2) se
foloseşte dispersia în locul variaţiei.
unde
σ
1
σ
Coeficientul de determinare ajustat = 2
2
σ e este dispersia erorilor în modelul de regresie, iar
necunoscută a variabilei endogene (dispersia populaţiei).
2
e
Y
87
2
σ Y este dispersia
Se demonstrează că un estimator nedeplasat pentru coeficientul de determinare
ajustat cu numărul gradelor de libertate, notat cu
2 1 R
2
R 1
2
R se calculează astfel:
n 1
4- 3
n k 1
unde k este numărul variabilelor exogene din model.
Formula (4- 3) se justifică deoarece în estimarea dispersiei se ţine seama de
numărul gradelor de libertate, în sensul că orice parametru suplimentar care trebuie
estimat introduce o restricţie suplimentară în rezolvarea modelului.
Interpretarea coeficientului de determinare corectat este similară interpretării
descrise pentru coeficientul de determinare: cu cât
atât modelul se apropie mai mult de procesul economic modelat.
2
R este mai aproape de unu, cu
Cu excepţia situaţiei în care R 2 = 1, coeficientul de determinare ajustat
este întotdeauna mai mic decât coeficientul de determinare R 2 . Mai mult, deşi R 2 este
o mărime pozitivă subunitară,
2
R
2
R poate lua valori negative. De exemplu, dacă

volumul selecţiei este n = 25, numărul variabilelor explicative k = 3, iar coeficientul
de determinare este R 2 = 0.1, atunci, prin aplicarea formulei (4- 3) se deduce
2
R = -0.0286. O valoare negativă a coeficientului de determinare ajustat semnifică
faptul că modelul nu descrie într-un mod satisfăcător evoluţia variabilei endogene.
5.2. Specificarea modelului multifactorial
5.2.1. Criterii pentru specificarea modelului multifactorial
Mărirea numărului de variabile explicative duce la scăderea sumei pătratelor
abaterilor dintre valorile înregistrate statistic şi valorile calculate prin model (VTR).
În consecinţă, coeficientul de determinare R 2 creşte, dar cu pierderea corespunzătoare
a unor grade de libertate ale modelului. Însă, dispersia reziduurilor ţine seama atât de
variaţia totală a reziduurilor (VTR) cât şi de numărul gradelor de libertate
s
2
u
2
u
VTR t
t
1
.
n k 1
n k 1
n
Adică, prin adăugarea unei variabile explicative suplimentare scade atât
numărătorul, cât şi numitorul fracţiei precedente. În aceste condiţii, un criteriu imediat
pentru a decide dacă admitem sau nu în model o variabilă suplimentară este
următorul: dacă prin includerea unei (unor) variabile suplimentare suma pătratelor
reziduurilor scade mai repede decât numărul gradelor de libertate, din punct de
vedere econometric se justifică reţinerea în model a variabilei (variabilelor)
respective.
De asemenea, se poate demonstra următoarea proprietate: dacă valoarea
absolută a testului t pentru un parametru din ecuaţia de regresie lineară multiplă este
mai mică decât 1, atunci, eliminând din model variabila explicativă asociată,
valoarea coeficientului de determinare corectat
2
R va creşte; dacă se elimină o

variabilă pentru care t statistic este mai mare decât 1, valoarea coeficientului de
determinare corectat
2
R se va reduce 45 .
De obicei, un model mai simplu, cu cât mai puţine variabile explicative, este
preferat unui model mai complicat. În primul rând, creşterea numărului de variabile
explicative duce la scăderea preciziei estimatorilor. În al doilea rând, scăderea
numărului gradelor de libertate are ca efect reducerea puterii testelor aplicate asupra
coeficienţilor. Creşte astfel riscul de acceptare a unor ipoteze false (riscul erorii de tip
II). De aceea, au fost construite teste care să penalizeze construirea unor modele prea
complicate, fără a cădea însă în extrema cealaltă: simplificarea excesivă a modelelor.
Criteriul informaţional Akaike (AIC)
Unul dintre cele mai cunoscute teste de specificare a modelelor econometrice
este criteriul informaţional Akaike (Akaike information criterion – AIC). Acest
criteriu este definit astfel:
AIC
sau, în expresie logaritmică
ln
k 1
2k
1
2
n
VTR 1
n
2 n
e ut
e
4- 4
n
n t1
AIC
k 1
2
ut
2
ln
n
n
4- 5
O condiţie pentru includerea unei noi variabile explicative este ca prin această
re-specificare a modelului să se obţină o valoare mai mică pentru AIC sau,
echivalent, pentru ln(AIC). La fel ca în cazul coeficientului de determinare corectat,
prin includerea unei variabile explicative suplimentare, variaţia reziduurilor VTR
scade, însă, prin majorarea lui k, creşte termenul
e
2 k1
n
89
. Adică, nu întotdeauna
sporirea numărului de variabile explicative duce la scăderea coeficientului AIC.
45 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag. 170.

Criteriul informaţional Schwartz (BIC)
expresiei:
Un alt test cunoscut este criteriul Schwartz. Acest test presupune calculul
k1
n
k1
n
n
VTR 1 2
SCHWARTZ n ut
n
4- 6
n n t1
La fel ca în cazul testului AIC, o variabilă suplimentară este admisă dacă noua
valoare obţinută pentru criteriul SCHWARTZ este inferioară celei calculate pentru
modelul iniţial. Se demonstrează că dacă volumul eşantionului este mai mare decât 8
şi prin eliminarea unei variabile explicative valoarea AIC descreşte, atunci şi valoarea
SCHWARTZ descreşte 46 .
5.2.2. Erori de specificare a modelului multifactorial de regresie
lineară
Relaţia adevărată dintre variabila endogenă şi variabilele explicative nu este
cunoscută şi, în consecinţă, este posibil să apară erori în specificarea modelului.
Aceste erori pot să provină din necunoaşterea tipului de relaţie care există între
variabilele respective. De asemenea, este posibil ca în construcţia modelului să fie
omise variabile explicative importante, sau, din contră, să fie incluse variabile
irelevante.
Pentru analiza impactului erorilor de specificare asupra calităţii estimării, să
presupunem că este adevărată ipoteza potrivit căreia relaţia dintre variabila endogenă
Yt şi variabilele explicative Xt este lineară.
Omiterea unor variabile explicative importante
Să presupunem că relaţia adevărată prin care poate fi explicată evoluţia
variabilei Y este
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et 4- 7
însă, din diferite motive, modelul construit este
46 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag. 168, 227-229.

Yt = a0 + a1X1t + εt 4- 8
Cu alte cuvinte, s-a admis ipoteza că valoarea parametrului a2 este zero, deşi în
realitate a2 este diferit de zero. Acceptăm, de asemenea, faptul că eroarea e respectă
ipotezele obişnuite ale modelului multifactorial de regresie lineară.
Prin compararea celor două modele rezultă că eroarea din cel de-al doilea
model poate fi scrisă astfel:
εt = a2X2t + et 4- 9
Deoarece a2 ≠ 0, rezultă
M(εt) = a2X2t + M(et) = a2X2t ≠ 0 4- 10
adică ipoteza potrivit căreia eroarea din ecuaţia de regresie are media zero nu este
respectată. Mai mult,
Cov
X1t, εt
CovX1t
, a2X
2t
et
a2CovX1
t,
X2
t CovX1t
, et
a CovX
, X
2
1t
2t
4- 11
deoarece admitem ipoteza că variabila X1 nu este corelată cu eroarea e. Dacă
variabilele X1 şi X2 nu sunt independente, atunci covarianţa dintre X1 şi eroarea ε nu
este zero. Însă, în demonstrarea proprietăţilor de nedeplasare (nedistorsionare) şi de
consistenţă a estimatorilor au fost folosite ipotezele privind absenţa legăturii dintre
eroare şi variabila explicativă, precum şi ipoteza M(ε) = 0. Aceasta înseamnă că prin
omiterea unor variabile explicative importante, estimatorii obţinuţi sunt deplasaţi şi
nu sunt consistenţi.
Consecinţele omiterii unor variabile importante în specificarea modelului pot
fi sintetizate astfel 47 :
Consecinţe ale omiterii unor variabile importante
a. Dacă o variabilă importantă omisă este corelată cel puţin cu o variabilă inclusă în
model, atunci estimatorii parametrilor reţinuţi în model sunt deplasaţi şi nu sunt
consistenţi;
47 Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan, pag. 394
91

. Chiar dacă variabilele omise nu sunt corelate cu variabilele reţinute în model,
estimatorul termenului liber (â0) este, în general, deplasat;
c. Dispersiile estimate pentru parametrii variabilelor reţinute în model sunt
estimatori deplasaţi ai dispersiilor reale şi, în consecinţă, testul t privind
semnificaţia estimatorilor nu este valid.
Includerea unor variabile nerelevante
Să presupunem că relaţia adevărată prin care poate fi explicată evoluţia
variabilei Y este
Yt = a0 + a1X1t + et
însă, din diferite motive, modelul construit este
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + εt
Adică, s-a admis ipoteza că valoarea parametrului a2 este diferită de zero, deşi
în realitate a2 este zero. Acceptăm, faptul că eroarea e respectă ipotezele obişnuite ale
modelului de regresie lineară. Atunci, se poate demonstra că estimatorul â1 este
nedeplasat M(â1) = a1 şi M(â2) = 0. De asemenea, estimatorii sunt consistenţi.
Rezultatele pot fi generalizate pentru cazul unui model de regresie lineară cu mai
multe variabile explicative.
Consecinţele includerii unor variabile nerelevante în specificarea modelului
pot fi sintetizate astfel 48 :
Consecinţe ale includerii unor variabile nerelevante
a. Dacă o variabilă explicativă nerelevantă este inclusă în model, atunci estimatorii
parametrilor pentru toate celelalte variabile din model sunt nedeplasaţi şi
consistenţi;
b. Dispersiile estimate pentru parametrii variabilelor din model sunt mai mari decât
în cazul neincluderii variabilelor nerelevante şi deci estimatori nu sunt eficienţi;
c. Deoarece dispersiile estimate pentru parametrii modelului sunt nedeplasate, testul
t privind semnificaţia estimatorilor este valid.
48 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag. 188.

5.3. Exemple de calcul
5.3.1. Calculul coeficientului de determinare
Pentru calculul coeficientului de determinare (R 2 ) utilizăm relaţia:
R
2
1 n
t1
n
t1
t
u
2
t
Y Y
2
Pentru modelul unifactorial de regresie lineară, blocul
(vezi tabelul 3-1):
n
t 1
2
u t = 74.3359.
n
t1
Calculul variaţiei totale a variabilei endogene,
n
t 1
93
2
u t este deja calculat
2
Y Y , este realizată în
tabelul 4-1. Pentru o mai uşoară urmărire a calculelor în tabelul 4-1 sunt preluate din
tabelul 3-1 şi coloanele referitoare la variabilele modelului, valoarea estimată a
endogenei şi reziduurile din ecuaţia de regresie. Valoarea medie a variabilei endogene
este:
Y
n
t
1
n
Y
t
862
25
43.
10
Tabelul 4-1: Calculul coeficientului de determinare – modelul unifactorial
t Xt Yt Ŷt ut=Yt–Ŷt u 2
t
t Y Y
1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 533.61
2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 327.61
3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 228.01
4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 171.61
5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 102.01
6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 65.61
7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 50.41
8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 1.21
9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 0.81
2

t Y Y
t Xt Yt Ŷt ut=Yt–Ŷt u 2
10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 1.21
11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 3.61
12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 47.61
13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 15.21
14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 24.01
15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 79.21
16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 222.01
17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 118.81
18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 141.61
19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 222.01
20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 285.61
∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 2641.8
Pornind de la datele din tabelul precedent se calculează:
2
R 1 n
u
Y
t Y
t1
1 0.
0281
n
t1
2
t
2
0.
9719
74.
3359
1
2641.
8
Acest rezultat poate fi obţinut automat, prin utilizarea programului specializat
Econometric Views, sau a opţiunii Regression din fereastra Instrumente (Tools) a foii
de calcul Excel, aşa cum s-a arătat în fig. 3-2c.
Interpretarea rezultatului obţinut este următoarea: din variaţia totală a
volumului economiilor, 97.19% ar putea fi atribuită modului de distribuţie în eşantion
a veniturilor populaţiei. În afirmaţia precedentă înlocuirea formulării ar putea fi
atribuită cu formularea este cauzată de poate duce la concluzii eronate, în special
atunci când analiza econometrică se referă la serii de timp.
Pentru modelul multifactorial, calculul coeficientului de determinare se
realizează pornind de la aceeaşi formulă. Reluăm exemplul analizat în capitolul III,
tabelul 3-2, referitor la legătura dintre dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia
2

atei reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt). Calculele
sunt prezentate în tabelul 4-2.
Tabelul 4-2: Calculul coeficientului de determinare – modelul multifactorial
t Y Y
t X1t X2t Yt Ŷt ut ut 2
1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318 0.0231
2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456 0.1211
3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706 0.0231
4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003 0.9063
5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756 0.1211
6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292 0.8987
7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375 0.0635
8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382 0.0615
9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312 0.2043
10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342 1.3271
11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009 2.1083
12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223 0.7191
13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122 0.3003
14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131 0.5595
15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167 1.5575
16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068 0.0027
17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791 0.0219
18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700 1.8279
19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079 3.4299
20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090 0.4251
21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947 1.0983
22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629 0.2007
23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111 0.3003
24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703 0.0615
25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240 0.5595
∑ 26.7 99.6 11.3 11.3 0.0000 1.2952 16.9224
2
95

Pornind de la datele din tabelul precedent se calculează:
(vezi figura 3-3c).
2
R 1 n
u
Y
t Y
t1
1 0.
0765
n
t1
2
t
2
1
0.
9235
1.
2952
16.
9224
Interpretarea rezultatului obţinut este următoarea: din variaţia totală a
dinamicii depozitelor bancare, 92.35% ar putea fi atribuită evoluţiei veniturilor
populaţiei şi ratei reale a dobânzii pasive.
5.3.2. Calculul coeficientului de determinare ajustat
Atunci:
Pentru calculul coeficientului de ajustare corectat utilizăm relaţia (4- 3):
n 1
n k 1
2
R 1
1
În cazul modelului unifactorial de regresie lineară,
n = 20,
k = 1 şi
R 2 = 0.9719.
R 2
(vezi figura 3-2c).
Atunci:
20 1
1
20 1
1
R
2
1 0.
9719
0.
9703
În cazul modelului multifactorial de regresie lineară,
n = 25,
k = 2 şi
R 2 = 0.9235.
R 2
(vezi figura 3-3c).
25 1
1
25 2 1
1 0.
9235
0.
9165

5.3.3. Analiza specificării modelului
Pentru exemplificarea modului de analiză a specificării modelului de regresie
lineară, pe baza criteriilor menţionate, să presupunem că într-o cercetare selectivă s-au
înregistrat următoarele date privind cererea pentru un anumit produs, dinamica
veniturilor şi nivelul general al preţurilor din economie. Notăm cu Yt – datele
referitoare la evoluţia cererii pentru un anumit produs, X1t – dinamica veniturilor
salariale, X2t – evoluţia preţurilor pentru produsul respectiv şi X3t – rata inflaţiei
(evoluţia nivelului general al preţurilor din economie). Datele sunt prezentate în
tabelul 4-3.
Legendă:
Tabelul 4-3: Specificarea modelului linear
Y – ritmul de modificare a cererii pentru un produs
X1 – dinamica salariilor,
X2 – evoluţia preţurilor produsului respectiv,
X3 – dinamica inflaţiei
Calculăm modelele M-1 şi M-2 specificate astfel:
M–1: Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et
M–2: Yt = b0 + b1X1t + b2X2t + b3X3t + ε t
Rezolvarea modelului M–1 este prezentată în paragrafele precedente:
Y ˆ
s
t
u
1.
984
0.
441X
0.
5379
0.
4301,
0.
1634
R
2
1t
0.
639X
0.
8647,
0.
1150
R
2
2t
,
0.
8524
unde sub estimatorii parametrilor din model, în paranteză, sunt scrise abaterile
standard. Valorile calculate pornind de la modelul M–1 şi reziduurile (Yt – Ŷt) sunt
prezentate în coloanele Ŷ-1, respectiv u-1 din tabel.
Având în vedere faptul că volumul eşantionului este n = 25, iar numărul
variabilelor explicative k = 2, valorile testelor AIC şi SCHWARZ pentru modelul M–
1 se calculează astfel:
1
AIC
n
n
t1
u
2
t
e
1
SCHWARTZ
n
k1 2
n
n
t1
u
2
t
4.
0689
e
25
n
k1
n
,
23
25
0.
2069
4.
0689
25
25
3
25
0.
2395
97

următoarele:
Modelul M–2 se rezolvă în mod similar. Rezultatele obţinute sunt
Y ˆ
s
u
t
2.
058
0.
442 X
0.
576
0.
4383,
0.
167
R
2
1t
0.
631X
0.
8659,
0.
119
R
2
2t
0.
049 X
0.
117
0.
8467
Valorile calculate pornind de la modelul M–2 şi reziduurile (Yt – Ŷt) sunt
prezentate în coloanele Ŷ-2, respectiv u-2 din tabel. Pe baza reziduurilor ut se
calculează
25
t1
u
2
t
4.
0349
.
Având în vedere faptul că volumul eşantionului este n = 25, iar numărul
variabilelor explicative k = 3, valorile testelor AIC şi SCHWARZ pentru modelul M–
2 se calculează astfel:
1
AIC
n
n
t1
u
2
t
e
1
SCHWARTZ
n
k1 2
n
n
t1
u
2
t
4.
0349
e
25
n
k1
n
24
25
3t
,
0.
2223
4.
0349
25
25
Sintetic, rezultatele obţinute sunt prezentate în tabelul următor:
Modelul R 2 2
4
25
R AIC SCHWARTZ
M–1 0.8647 0.8524 0.2069 0.2395
M–2 0.8659 0.8467 0.2223 0.2701
0.
2701
Adăugarea unei variabile explicative în model are ca efect o creştere a
coeficientului de determinare (R 2 ), deoarece variaţia endogenei rămâne nemodificată,
iar variaţia totală a reziduurilor (VTR) scade. Însă, numărul gradelor de libertate se
reduce (de la 22 la 21). Efectul combinat al scăderii variaţiei reziduurilor şi al
reducerii gradelor de libertate este negativ: coeficientul de determinare corectat scade
atunci când se adaugă în model ca variabilă explicativă suplimentară rata inflaţiei.
Acest rezultat sugerează faptul că nu este necesară completarea modelului în acest
mod.

Rezultate similare se deduc prin analiza testelor AIC şi SCHWARTZ:
deoarece valorile acestor criterii nu scad prin adăugarea unei variabile explicative
suplimentare rezultă că, în comparaţie cu M–2, modelul M–1 este superior din punct
de vedere econometric.
Dacă se calculează testul de semnificaţie pentru parametrul b3 rezultă
t b3
0.
049
0.
117
0.
42
Pentru 25 – 3 – 1 = 21 grade de libertate, ipoteza că b3 este zero poate fi
respinsă doar cu o probabilitate puţin peste 30%. Adică, econometric parametrul
respectiv nu este semnificativ, deci legătura dintre Y şi X3 nu poate fi demonstrată
pornind de la un model de tipul celui analizat.
99

6. MULTICOLINEARITATEA
Ipoteza I–2Mc de fundamentare a modelului de regresie lineară multifactorială
afirmă faptul că nu există nici o relaţie lineară între două sau mai multe variabile
explicative (absenţa colinearităţii). În practica modelării însă, o asemenea ipoteză este
extrem de greu de îndeplinit, deoarece între variabilele economice există multiple
legături de intercondiţionare.
Dacă, de exemplu, se construieşte un model de regresie care să explice
evoluţia cursului de schimb al monedei naţionale ar putea fi avute în vedere ca
variabile explicative: inflaţia, masa monetară, exportul, importul, rezerva valutară,
datoria externă, investiţiile de capital străin ş.a. Însă, masa monetară şi inflaţia nu pot
fi considerate variabile independente; la fel exportul, importul (eventual exportul net)
şi datoria externă, sau rezerva valutară ş.a.m.d.
De asemenea, în modelarea consumului se porneşte, de obicei, de la dinamica
veniturilor, a salariilor, dinamica preţurilor (rata inflaţiei), rata dobânzii şi, în general,
atractivitatea pieţei de capital, oferta agregată ş.a. Evident, variabilele explicative
menţionate nu pot fi considerate independente: preţurile şi salariile sunt corelate; la fel
rata inflaţiei şi rata dobânzii; în structura ofertei, producţia internă are o pondere
însemnată, iar veniturile totale (sau cel puţin, salariile) sunt corelate cu nivelul
producţiei ş.a.m.d.
Cu toate aceste multiple legături de intercondiţionare, o renunţare la ipoteza de
independenţă a variabilelor explicative din modelele de regresie creează probleme în
ceea ce priveşte estimarea parametrilor şi calitatea estimatorilor.
6.1. Consecinţe ale multicolinearităţii
Determinarea estimatorilor prin metoda celor mai mici pătrate implică
aplicarea formulei de calcul:
 = (X'X) -1 X'Y
adică, presupune utilizarea matricei inverse (X'X) -1 . Dar, dacă între doi vectori ai
matricei X există o relaţie de dependenţă lineară, atunci (X'X) este nesingulară

(determinantul matricei este zero) şi, în consecinţă, matricea (X'X) -1 nu există. Cu
alte cuvinte, în cazul dependenţei lineare (a colinearităţii perfecte) între valorile
variabilelor explicative, vectorul estimatorilor  este imposibil de calculat prin
metoda celor mai mici pătrate.
101
Aceasta nu presupune imposibilitatea calculării unor estimatori prin alte
metode. Însă, nici în această situaţie nu pot fi eliminate în totalitate problemele de
estimare a parametrilor şi de asigurare a anumitor proprietăţi ale acestora (asigurarea
calităţii estimatorilor).
Situaţia în care există o relaţie lineară exactă între două sau mai multe
variabile explicative se numeşte multicolinearitate perfectă. În practică însă, o
asemenea situaţie este dificil de identificat. Cel mai adesea, se înregistrează o legătură
puternică, dar nu perfectă între valorile de selecţie ale variabilelor explicative. Adică,
un vector coloană al matricei X nu este perfect corelat, ci este doar aproximativ o
combinaţie lineară a altor vectori coloană ai matricei X. În această situaţie, cu cât
intensitatea legăturii dintre vectorii respectivi este mai ridicată, cu atât gradul de
colinearitate (ale valorilor înregistrate pentru variabilele explicative) este mai mare.
Pentru cazul general, dacă una dintre coloanele matricei X'X este aproape o
funcţie lineară în raport cu una sau mai multe alte coloane ale matricei respective,
atunci valoarea determinantului det(X'X) este aproape zero (matricea X'X este
aproape singulară). Însă, în calculul inversei (X'X) -1 , matricea adjunctă (X'X) * se
împarte la det(X'X), ceea ce înseamnă că elementele inversei (X'X) -1 (şi, în particular,
elementele de pe diagonala principală) vor fi foarte mari. Aceasta înseamnă că
dispersiile şi abaterile standard ale estimatorilor tind să fie cu atât mai mari cu cât
gradul de multicolinearitate este mai mare.
În aceste condiţii, fiind selectat un anumit prag de semnificaţie, intervalele de
încredere în care sunt încadraţi parametrii modelului sunt foarte mari, ceea ce duce la
scăderea preciziei estimatorilor.
O altă consecinţă a obţinerii unor valori mari pentru abaterile standard ale
estimatorilor constă în faptul că statistica t (Student) tinde să înregistreze valori
reduse. Aceasta deoarece pentru testarea semnificaţiei unui parametru oarecare ai (H0:
ai = 0), coeficientul t este calculat ca raport între estimatorul parametrului respectiv şi
abaterea standard estimată pe baza eşantionului selectat. Dacă abaterea standard a
parametrului ai este mare (ca urmare a prezenţei fenomenului de multicolinearitate)

atunci valoarea testului t este redusă şi este posibil ca ipoteza ai = 0 să fie acceptată.
Aceasta înseamnă că, în prezenţa multicolinearităţii, este riscantă folosirea testului t
(Student) pentru a decide dacă o variabilă Xi influenţează sau nu evoluţia variabilei
endogene Y.
Afirmaţia precedentă nu trebuie absolutizată. Adică, înregistrarea unor valori
mici pentru dispersia estimatorilor nu înseamnă automat lipsa multicolinearităţii, aşa
cum prezenţa fenomenului de multicolinearitate nu presupune în mod absolut
înregistrarea unor valori mari pentru dispersiile estimatorilor. Aceasta deoarece
dispersiile depind nu numai de valorile dii aflate pe diagonala principală a matricei
(X'X) -1 ci şi de dimensiunea dispersiei estimate a erorilor
2
u
2
a
s s
i
2
u
d
s , adică ii
(unde dii este elementul aflat pe poziţia i în diagonala matricei (X'X) -1 ). Dacă dispersia
estimată a erorilor este mică, factorul respectiv
2
u
s poate contrabalansa valoarea
mare a elementului dii, valoare mare generată de prezenţa multicolinearităţii. Invers, o
dispersie mare a estimatorilor calculaţi pentru parametrii modelului poate fi generată
de o dispersie mare a erorilor, chiar în absenţa multicolinearităţii.
O altă problemă care apare în legătură cu prezenţa multicolinearităţii este
aceea că nu poate fi identificată influenţa separată a fiecărui factor explicativ. Să
presupunem, de exemplu, că în modelul
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + e 5- 1
există o legătură între variabilele X1 şi X2, aşa ca în relaţia
X2t = a + bX1t, ()t 5- 2
Potrivit modelului (5- 1), o parte din variaţia endogenei Y este explicată de
variaţia lui X1 şi o altă parte de variaţia lui X2. Însă, variaţia exogenei X2 depinde de
evoluţia variabilei X1. Aceasta înseamnă că X1 influenţează dinamica variabilei
endogene Y atât direct, cât şi indirect, prin intermediul exogenei X2. În consecinţă,
influenţa separată a variabilelor este imposibil de determinat.
Pe de altă parte, având în vedere faptul că în demonstrarea proprietăţilor P-1M
(estimatorii sunt lineari), P-2M (estimatorii sunt nedeplasaţi), P-2'M (estimatorii sunt
consistenţi), P-3M (estimatorii sunt eficienţi), P-4M (estimatorii sunt normal
distribuiţi) şi P-5M (estimatorii sunt de maximă verosimilitate) nu se apelează la

ipoteza potrivit căreia nu există nici o relaţie lineară între două sau mai multe
variabile explicative, rezultă că estimatorii rămân lineari, normal distribuiţi,
nedeplasaţi, consistenţi, eficienţi şi de maximă verosimilitate chiar în prezenţa
multicolinearităţii. Mai mult, chiar dacă valoarea testului t (Student) este afectată,
testul în sine rămâne valid (deoarece estimatorii rămân lineari şi normal distribuiţi).
următoarele 49 :
103
Sintetic, consecinţele prezenţei fenomenului de multicolinearitate sunt
Consecinţe ale multicolinearităţii
a. Dacă două sau mai multe variabile explicative din modelul de regresie multiplă
sunt perfect corelate, estimatorii parametrilor nu pot fi calculaţi prin metoda celor
mai mici pătrate.
b. Dacă anumite variabile explicative sunt relativ puternic corelate, estimatorii
obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt lineari, normal distribuiţi,
nedeplasaţi, consistenţi şi de maximă verosimilitate.
c. Efectul multicolinearităţii se manifestă în creşterea abaterii standard a
estimatorilor calculaţi pentru parametrii modelului, ceea ce reduce valoarea
testului t statistic (Student). Aceasta face estimatorii mai puţin semnificativi
(posibil chiar nesemnificativi). Totuşi, testul t rămâne valid.
d. Se reduce precizia estimatorilor calculaţi pentru parametrii modelului, în sensul că
abaterea standard mare duce la creşterea intervalului de încredere în care sunt
garantaţi parametrii.
e. Deoarece covarianţa între variabilele explicative corelate relativ puternic poate fi
mare (în valoare absolută), interpretarea parametrilor individuali este dificilă.
6.2. Identificarea multicolinearităţii
Multicolinearitatea este o problemă a seriilor de date utilizate în modelare şi
nu a modelului în sine, sau a populaţiei din care se extrag selecţiile utilizate în
49 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag.233-245, pentru consecinţele a, b, c şi e; Thomas R.-L,
1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag.237-244, pentru
consecinţa d.

estimarea parametrilor. Este posibil ca extrăgând din populaţia statistică un alt
eşantion, gradul de multicolinearitate a variabilelor explicative să fie altul. În această
situaţie, este impropriu să se discute despre testarea statistică a proprietăţii respective.
Testarea statistică se aplică, în mod normal, doar ipotezelor referitoare la parametrii
populaţiei.
atunci când:
În practică, este posibil ca fenomenul de multicolinearitate să fie prezent
a. Coeficienţii de corelaţie lineară, calculaţi pentru perechile de variabile
explicative din model, sunt mari în valoare absolută (sunt, în modul, apropiaţi
de +1). Deoarece efectele multicolinearităţii depind şi de alţi factori (de
exemplu, dispersia erorilor şi dispersia variabilelor explicative), nu există valori
prag ale coeficienţilor de corelaţie, praguri a căror depăşire să semnifice
prezenţa multicolinearităţii. Existenţa unor coeficienţi de corelaţie mari (în
valoare absolută) între variabila endogenă Y şi variabilele explicative Xi nu
indică neapărat prezenţa fenomenului de multicolinearitate, ci, din contră, pot
semnala faptul că sunt şanse mari ca modelul să fie bine specificat (factorii
reţinuţi ca variabile explicative să fie semnificativi, în sensul definit prin testele
statistice de semnificaţie).
b. Determinantul matricei (X'X) are valori în apropierea lui zero. La fel, nu există
un prag fundamentat statistic astfel încât situarea valorii det(X'X) sub acest prag
să semnifice prezenţa multicolinearităţii.
c. Coeficientul de determinare R 2 este mare, iar valorile testelor t (Student),
calculate pentru parametrii modelului sunt mici. Nici acest criteriu nu are o
valoare absolută, deoarece valorile mici ale testelor de semnificaţie ar putea
proveni de la dispersiile mari ale estimatorilor, generate de prezenţa
fenomenului de multicolinearitate.
d. Estimatorii parametrilor sunt sensibili la specificarea modelului. Dacă existenţa
unor valori mari ale coeficienţilor de corelaţie lineară poate indica prezenţa
multicolinearităţii, reciproca acestei afirmaţii nu este întotdeauna adevărată:
fenomenul de multicolinearitate poate fi prezent chiar dacă valorile
coeficienţilor de corelaţie lineară între variabilele explicative nu sunt mari.
Aceasta deoarece este posibil ca o variabilă exogenă să fie corelată cu două sau
mai multe alte variabile. În asemenea situaţii, valorile estimatorilor pot să se

modifice semnificativ (chiar cu schimbare de semn) atunci când în
105
respecificarea modelului sunt eliminate anumite variabile explicative, sau sunt
introduse variabile suplimentare.
e. Identificarea multicolinearităţii prin proceduri formale. Au fost propuse diferite
proceduri formale de identificare a multicolinearităţii. Încă din 1967, Farrar şi
Glaubert au construit un sistem de teste bazate pe distribuţiile χ 2 , F şi t (Student)
pentru a identifica prezenţa multicolinearităţii şi depistarea variabilelor care au
generat acest fenomen.
De asemenea, în literatura de specialitate este citată şi opinia potrivit căreia
multicolinearitatea fiind o problemă a datelor selectate şi nu a modelului, construirea
unor proceduri formale este o întreprindere inutilă 50 .
Sintetic, semnale privind prezenţa multicolinearităţii sunt oferite de
următoarele elemente:
Identificarea multicolinearităţii
a. Coeficienţii de corelaţie lineară, calculaţi pentru perechile de variabile explicative
din model, sunt mari în valoare absolută (sunt, în modul, apropiaţi de 1).
b. Determinantul matricei (X'X) are valori în apropierea lui zero.
c. Coeficientul de determinare R 2 este mare, iar valorile testelor t (Student),
calculate pentru parametrii modelului sunt mici.
d. Estimatorii parametrilor sunt sensibili la specificarea modelului.
e. Multicolinearitatea este identificată prin aplicarea unor proceduri formale.
6.3. Atenuarea multicolinearităţii
Dacă estimatorii calculaţi pentru parametrii modelului sunt semnificativi din
punct de vedere statistic, sensul şi intensitatea influenţei sunt în concordanţă cu teoria
economică, atunci eventuala prezenţă a fenomenului de multicolinearitate poate fi
neglijată. Dacă însă, influenţele supra calităţii estimatorilor sunt negative, atunci
există mai multe soluţii pentru eliminarea multicolinearităţii.
50 Maddala G.S, 1977, Introduction to Econometrics, third edition, Wiley, pag. 186.

a. Eliminarea unor variabile explicative. Deoarece multicolinearitatea este
generată de legătura puternică existentă între două sau mai multe variabile
explicative, o măsură imediată de atenuare a fenomenului respectiv este
eliminarea uneia dintre variabilele implicate. Selectarea variabilei care va fi
eliminată se face fie prin analiză teoretică (economică), fie pornind de la testele
statistice de semnificaţie. În ultima situaţie, se elimină variabila pentru care
valoarea testului t este mică, sau variabila pentru care corelaţia cu Y este mai
slabă.
b. Realizarea unor observaţii suplimentare asupra variabilelor din model (se
măreşte volumul eşantionului). Dacă este posibilă mărirea eşantionului, atunci
creşte precizia estimatorilor şi se reduce efectul negativ al multicolinearităţii. De
asemenea, prin adăugarea unor valori suplimentare, cresc variaţiile înregistrate
de exogenele Xi (cu excepţia situaţiei în care valorile adăugate suplimentar sunt
egale cu media de selecţie a variabilelor respective). Adică, numitorul din
relaţiile (4-7) şi (4-8) creşte prin mărirea eşantionului. Dacă, prin aplicarea
acestei proceduri, valoarea r 2 nu se modifică, sau scade, atunci dispersia
estimatorilor se reduce. În acest mod, efectele negative ale fenomenului de
multicolinearitate sunt atenuate.
c. Prelucrarea primară a datelor (calculul ritmurilor de modificare, a sporurilor,
indicilor, logaritmarea valorilor observate). Este posibil, de exemplu în cazul
seriilor de timp, ca anumite variabile economice să evolueze pe traiectorii
asemănătoare, fără ca între acestea să existe o legătură directă. Astfel, în medii
economice puternic inflaţioniste, variabilele au în timp valori crescătoare dacă
sunt exprimate nominal, chiar dacă, în preţuri constante, tendinţa reală este de
scădere. În aceste condiţii, evitarea multicolinearităţii indusă artificial se poate
realiza prin includerea în model a ritmurilor (sau a indicilor) de modificare a
variabilelor respective.
d. Regresia ridge. Este o tehnică mecanică, arbitrară, care constă în transformarea
matricei (X'X) astfel încât determinantul matricei obţinute să fie diferit de zero.
De exemplu, se adaugă un număr fiecărui element de pe diagonala principală a
matricei (X'X), astfel încât în aplicarea procedurii de estimare a parametrilor
modelului se foloseşte matricea (X'X+cIk+1,k+1), unde c este o constantă, iar I
este matricea unitate. Chiar dacă în acest mod calitatea statistică a estimării

poate fi îmbunătăţită, principalul inconvenient constă în dificultatea
interpretării economice a rezultatelor obţinute.
107
Sintetic, cele mai utilizate proceduri folosite pentru atenuarea fenomenului de
multicolinearitate sunt următoarele:
Atenuarea multicolinearităţii
a. Eliminarea unor variabile explicative
b. Realizarea unor observaţii suplimentare asupra variabilelor din model (se măreşte
volumul eşantionului)
c. Prelucrarea primară a datelor (calculul ritmurilor de modificare, a sporurilor,
indicilor, logaritmarea valorilor observate etc.)
d. Regresia ridge

7. HETEROSCEDASTICITATEA ERORILOR
Estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate aplicată în cazul
modelului linear unifactorial sunt nedeplasaţi, consistenţi, eficienţi, normal distribuiţi
şi de maximă verosimilitate doar dacă ipotezele de fundamentare a modelului sunt
respectate. În aceste condiţii, aprecierea calităţii demersului econometric trebuie să
pornească de la testarea modului în care ipotezele respective sunt îndeplinite 51 .
În prezentul capitol sunt analizate problemele legate de testarea modului în
care se respectă ipoteza privind distribuţia erorilor cu o dispersie constantă,
consecinţele nerespectării acestei ipoteze şi procedurile de atenuare a fenomenului
respectiv.
Proprietatea erorile de a nu avea o dispersie constantă se numeşte
heteroscedasticitate.
Pentru un model în care erorile sunt heteroscedastice, se acceptă faptul că
erorile nu sunt autocorelate, sunt normal distribuite, cu media zero şi dispersia
2 2
e Me
Var , unde
t
t
t
2
t nu este constantă în raport cu t.
7.1. Consecinţe ale heteroscedasticităţii
În prezenţa heteroscedasticităţii procedura de estimare a parametrilor din
modelul de regresie lineară acordă o importanţă mai mare observaţiilor care
înregistrează dispersii ridicate. Aceasta deoarece suma pătratelor abaterilor asociate
cu termenii care au o dispersie mai mare este, în mod firesc, superioară sumei
calculate pentru observaţiile care au dispersia mai mică. Prin metoda celor mai mici
pătrate se realizează minimizarea sumei pătratelor abaterilor pentru întreaga serie şi
aceasta se obţine prin selectarea acelor valori ale estimatorilor care asigură o mai bună
adecvare a modelului la porţiunea din seria observaţiilor care prezintă o dispersie
superioară.
51 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag. 143-169.

Dispersia estimatorilor în prezenţa heteroscedasticităţii diferă de dispersia
dată prin relaţia Var(Â) =
2
e (X'X) -1 , deoarece V ≠
folosind pentru estimarea dispersiei relaţia Var(Â) =
109
2
e In. Aceasta înseamnă că
2
e (X'X) -1 estimatorii obţinuţi
vor fi deplasaţi faţă de dispersia reală a parametrilor estimaţi şi nu vor fi eficienţi.
Dacă în calcule sunt folosiţi estimatorii deplasaţi ai dispersiilor, atunci testele
statistice nu sunt valide, iar intervalele de încredere pentru parametrii modelului vor
fi determinate într-un mod incorect.
În prezenţa heteroscedasticităţii erorilor, calculele sugerează o precizie a
estimării mai bună decât este în realitate. Abaterea standard a estimatorului este
folosită pentru testarea semnificaţiei parametrului estimat. Deoarece valoarea t –
Student, calculată pentru testarea semnificaţiei estimatorilor va fi artificial mai mare,
există riscul unei erori de gradul I: se respinge ipoteza H0 (potrivit căreia parametrul
nu diferă semnificativ de zero), când în realitate H0 ar putea fi adevărată. O altă
consecinţă a prezenţei fenomenului de heteroscedasticitate constă în faptul că
estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate nu sunt estimatori de maximă
verosimilitate.
Dacă fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor din modelul de regresie
lineară este ignorat, iar pentru estimarea parametrilor se foloseşte metoda celor mai
mici pătrate, atunci, sintetic, cele mai importante consecinţe ale ignorării fenomenului
de heteroscedasticitate a erorilor sunt următoarele:
Consecinţe ale ignorării fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor
a. Estimatorii parametrilor din model sunt nedeplasaţi şi consistenţi.
b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi (există estimatori care au o
dispersie mai mică).
c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu
sunt consistenţi şi nu sunt eficienţi.
d. Testul t Student aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este valid.
Dacă dispersia erorilor şi variaţia factorului explicativ sunt pozitiv corelate, atunci
dispersia corectă a parametrului a1 este subestimată, astfel încât calculele
sugerează o precizie a estimării mai bună decât este în realitate.
e. Estimatorii parametrilor nu au proprietatea de maximă verosimilitate.

110
7.2. Testarea heteroscedasticităţii
Deoarece fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor invalidează testele
statistice aplicate asupra semnificaţiei parametrilor, este necesar ca prezenţa
fenomenului respectiv să fie testată şi atunci când este semnalat, să fie aplicate
proceduri de eliminare.
Pentru modelul unifactorial de regresie, cea mai simplă metodă de detectare a
fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor constă în reprezentarea grafică într-un
sistem de coordonate XOY a cuplurilor de puncte (Xt,Yt).
Dacă graficul sugerează o creştere a gradului de împrăştiere a valorilor Yt pe
măsură ce valorile variabilei explicative Xt cresc (sau invers, împrăştierea valorilor Yt
scade atunci când Xt creşte) suntem în prezenţa fenomenului de heteroscedasticitate
(figura 6-1).
Evident, procedura grafică este imprecisă, este într-o anumită măsură
subiectivă şi, ca atare, are aplicabilitate limitată. De aceea, au fost construite teste
statistice care să identifice heteroscedasticitatea erorilor. Cele mai cunoscute sunt:
testul Goldfeld–Quandt, testul Breusch–Pagan şi testul White.
Y
Y ˆ a ˆ a ˆ
0
Figura 6-1: Heteroscedasticitatea erorilor
X
1
X
t

7.2.1. Testul Goldfeld–Quandt
111
Procedura Goldfeld–Quandt este folosită pentru testarea ipotezei nule H0, care
presupune lipsa heteroscedasticităţii erorilor, contra ipotezei alternative H1, care
admite faptul că dispersia erorilor este corelată cu valorile uneia dintre variabilele
explicative (de exemplu, dispersia erorilor creşte pe măsură ce cresc valorile acelei
variabile explicative care este considerată ca fiind relevantă). Pentru aplicarea testului
se admite faptul că o astfel de variabilă explicativă relevantă poate fi identificată.
Procedura este următoarea:
1. Se identifică, dintre variabile explicative prezente în model, o variabilă notată Z,
de care este legată dispersia erorilor. Să presupunem că
2
t este corelată pozitiv
cu Zt. Se aranjează toate observaţiile din eşantionul reţinut pentru analiză în
ordinea crescătoare a valorilor Zt.
2. Eşantionul de dimensiune n se divide în două părţi de dimensiuni n1 şi n2, după
eliminarea a m observaţii situate la mijlocul eşantionului. Numărul observaţiilor
eliminate este arbitrar dar, în mod obişnuit, se elimină între 1/6 şi 1/5 dintre
observaţii. Valorile n1 şi n2 trebuie să fie mai mari decât numărul parametrilor
din model.
3. Se calculează estimatorii pentru parametrii modelului separat pentru primele n1
observaţii şi pentru ultimele n2 observaţii (se aplică metoda celor mai mici
pătrate separat pentru primele n1 observaţii şi pentru ultimele n2 observaţii).
4. Se calculează VTR1 – suma totală a reziduurilor din modelul estimat pentru
primele n1 observaţii şi VTR2 – suma totală a reziduurilor din modelul estimat
pentru ultimele n2 observaţii:
respectiv
1 n
1
t 1
VTR u
6- 1
2
t
n
2
u t
t
n
n 2 1
VTR
6- 2
2
5. Dacă numărul variabilelor explicative din model este k, iar modelul conţine şi
termen liber (a0) atunci

112
F
VTR 2
n2
k 1
VTR 1
n k 1
n
2
c n1
1
n
n
2
u
t
tnn
1
1
t1
2
k 1
u
2
t
k 1
urmează o distribuţie F cu n1 – (k + 1) şi n2 – (k + 1) grade de libertate. Ipoteza
nulă (lipsa heteroscedasticităţii) este respinsă dacă Fc calculat prin relaţia 6- 3
este mai mare decât F identificat în tabelele distribuţiei teoretice. Dacă Fc este
subunitar, atunci se calculează 1/Fc şi se compară cu valorile din tabelele
distribuţiei teoretice, deoarece ipoteza alternativă H1 este, de obicei,
unde
2
2
6- 3
σ σ ,
este dispersia erorilor pentru ultima parte a seriei, iar este dispersia
erorilor pentru prima parte a seriei.
În practică, valorile n1 şi n2 se iau egale, după eliminarea a m înregistrări
situate la mijlocul seriei. În aceste condiţii, Fc se calculează astfel:
n
2
u
t
n
m
t 1
2
n
m
2
2
u
t
t1
VTR 2 F c
6- 4
VTR
unde m este ales astfel încât numărul
1
n
m
2
n m
2
n m
2
distribuţie Fisher cu k 1;
k 1
7.2.2. Testul Breusch-Pagan
să fie întreg. Atunci, Fc urmează o
2
1
grade de libertate.
Testul Breusch-Pagan se bazează pe multiplicatorii Lagrange. Să presupunem
că dispersia erorilor
2
t nu este constantă ci este asociată cu un număr p de variabile
Z1, Z2, …, Zp (câteva, sau toate dintre aceste variabile pot fi selectate dintre
variabilele explicative X ale modelului de regresie). Mai exact, considerăm modelul,
în forma generală
2
2
2
1

şi
unde
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et, t = 1, 2, ..., n 6- 5
Dacă
2
t = α0 + α1Z1t + α2Z2t + … + αpZpt
2
t = Var(et).
α1 = α2 = ... = αp = 0,
6- 6
113
2
atunci dispersia estimatorilor este constantă σt α0
şi erorile nu sunt
heteroscedastice. De aceea, prin procedura propusă de Breusch şi Pagan se testează
ipoteza nulă
contra ipotezei alternative
Procedura este următoarea:
H0: α1 = α2 = ... = αp = 0,
H1: există cel puţin o valoare αi nenulă (i ≠ 0).
1. Se estimează ecuaţia (6- 5) prin metoda celor mai mici pătrate şi se calculează
şi
ut = Yt –(â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt), t = 1, 2, ..., n
σ
2
u
2. Se consideră
n
u
2
t
2
u t un estimator al dispersiei erorilor
adevărată, atunci anticipăm că
aceste condiţii, se estimează ecuaţia de regresie:
2
u t
2
u
= α0 + α1Z1t + α2Z2t + … + αpZpt + εt
2
t . Dacă relaţia (6- 6) este
2
u t este legată de variabilele Z1, Z2, …, Zp. În
3. Breusch şi Pagan demonstrează că, dacă volumul eşantionului este suficient de
6- 7
mare şi et din ecuaţia iniţială (6- 7) este distribuită normal, sub ipoteza nulă
H0: α1 = α2 = ... = αp = 0

114
(lipsa heteroscedasticităţii), jumătate din VTM – variaţia totală explicată
de modelul (6- 7) are o distribuţie χ 2 cu p grade de libertate. Criteriul este
următorul:
7.2.3. Testul White
VTM 2
p
se respinge H0 dacă
2
χ 0.
05 .
White a propus un test direct pentru heteroscedasticitate, apropiat de
procedura aplicată în testul Breusch–Pagan. Testul White presupune, la fel, o
dimensiune corespunzătoare a eşantionului selectat şi are avantajul că nu este foarte
sensibil la ipotezele de normalitate. Procedura White este următoarea:
1. Se estimează ecuaţia (6- 5) prin metoda celor mai mici pătrate şi se calculează
ut = Yt –(â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt), t = 1, 2, ..., n
2. White sugerează folosirea, în locul relaţiei (6- 7) de la testul Breusch–Pagan a
unei relaţii de forma:
2
u t = α0 + α1Z1t + α2Z2t + … + αpZpt + εt
pentru care se calculează coeficientul de determinare multiplă R 2 . Dacă oricare
dintre parametrii din ecuaţia (6- 8) sunt semnificativi, valoarea coeficientului de
determinare R 2 va fi semnificativă.
3. Prin procedura dezvoltată de White se testează semnificaţia coeficientului R 2
calculat pentru ecuaţia de regresie (6- 8). White demonstrează că, sub ipoteza
nulă H0: α1 = α2 = ... = αp = 0 (lipsa heteroscedasticităţii), testul statistic nR 2
urmează o distribuţie χ 2 cu p grade de libertate (numărul gradelor de este egal cu
numărul regresorilor din ecuaţia 6- 8, mai puţin termenul liber). În expresia nR 2 ,
n reprezintă volumul eşantionului.
4. Dacă
nR
2
χ
2
p
0. 05
atunci, fenomenul de heteroscedasticitate a erorilor este prezent, cu o
probabilitate de 95%.
6- 8

White sugerează şi modul de selectare a variabilelor relevante Z. Astfel,
dacă heteroscedasticitatea este determinată de o variabilă explicativă X, atunci în
ecuaţia (6- 8) sunt incluse variabilele X şi X 2 :
u α α X α X ε
2
t
0
pentru a testa şi existenţa unei legături nelineare.
1
1t
Dacă modelul de regresie este
atunci ecuaţia (6- 8) se scrie:
unde
2
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et, t = 1, 2, ..., n
2
t
0
1
1t
2
2
1t
2t
t
u α α X α X α X α X α X X ε
ut = Yt –(â0 + â1X1t + â2X2t), t = 1, 2, ..., n
Ipoteza nulă H0: α1 = α2 = ... = α5 = 0 este respinsă dacă
0. 05
2 2
nR χ .
5
3
Având în vedere faptul că, din tabelul distribuţiei χ 2 pentru pragul α = 0.05 şi 5 grade
de libertate se identifică 0705
χ 2
2
1t
4
2
2t
5
1t
2t
t
115
5 0.
05 11.
, relaţia precedentă este echivalentă cu:
nR 2 > 11.0705. Adică, dacă nR 2 este mai mare decât pragul de 11.0705, atunci erorile
et din ecuaţia iniţială sunt heteroscedastice.
7.3. Atenuarea heteroscedasticităţii – metoda EGLS White
Atenuarea fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor presupune
construirea unor proceduri prin care să fie calculaţi estimatori nedeplasaţi, consistenţi
şi eficienţi ai parametrilor modelului.
În primul rând, dacă modelul nu este bine specificat, în sensul că în
specificarea modelului a fost exclusă o variabilă explicativă semnificativă, atunci este
posibil ca erorile să fie heteroscedastice. Aceasta deoarece eroarea din modelul redus
substituie variabila omisă din model, astfel încât dispersia erorilor depinde de valorile
variabilei neincluse în specificarea modelului. Atenuarea heteroscedasticităţii se poate
realiza, în această situaţie, printr-o specificare corectă a modelului.
Să considerăm, pentru început, situaţia în care abaterile standard ale erorilor
sunt proporţionale cu valorile Zt ale unei variabile cunoscute:

116
2 2 2
σt = kZt, echivalent cu σ k Z
6- 9
t
unde k este o constantă necunoscută, iar Zt este o variabilă precizată. Zt poate fi una
dintre variabilele explicative ale modelului, sau poate fi o altă variabilă ale cărei
valori pot fi înregistrate în eşantionul selectat, la fel ca variabilele modelului.
Să presupunem că modelul descris prin ecuaţia (6- 5) respectă toate ipotezele
de aplicare a metodei celor mai mici pătrate, cu excepţia ipotezei de lipsă a
heteroscedasticităţii (dispersia erorilor nu este constantă). Procedura de estimare a
parametrilor modelului de regresie lineară în prezenţa heteroscedasticităţii structurată
multiplicativ, aşa ca în relaţia (6- 9), presupune împărţirea fiecărui termen al ecuaţiei
(6- 5) la Zt. Se obţine ecuaţia
sau
Yt
a
Z
t
0
1
Z
t
t
a
1
X
Z
1t
t
a
2
X
Z
2t
t
t
... a
k
X
Z
kt
t
et
Z
* 1 * *
* *
Yt a0
a1X1t
a2X
2t
... akX
kt et
6- 10
Z
unde simbolul * semnifică împărţirea variabilei corespunzătoare prin Zt. Cu această
transformare, se poate calcula:
2
* e t Var
et σt
2
e Var k
Var t
2 2
Z
t Zt
Zt
Deoarece k este constantă, rezultă că e * nu este heteroscedastică, deci ecuaţia
(6- 10) respectă toate ipotezele de aplicare a metodei celor mai mici pătrate, astfel
încât estimatorii sunt nedeplasaţi, consistenţi, eficienţi şi de maximă verosimilitate.
Procedura este similară celei cunoscute sub denumirea de metoda celor mai mici
pătrate ponderate, cu ponderile calculate astfel
1
wt .
Z
Pentru prezentarea metodei EGLS White (Estimated Generalized Least
Squares), să presupunem, la fel ca în cazul testelor Breusch–Pagan sau White, că
dispersia erorilor este o funcţie lineară de un număr cunoscut de variabile
independente, în particular este o funcţie de variabilele explicative din model, de
pătratul, sau de alte combinaţii ale variabilelor respective (de exemplu, produsul de
tipul XiXj).
t
t

Procedura următoarea este generalizarea realizată în Jula D. (2003) 52 a
unei metode prezentate de Ramanathan R. (1992) 53 :
1. Se determină prin metoda celor mai mici pătrate estimatorii âi ai ecuaţiei (6- 5):
2. Se calculează
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + ... + akXkt + et, t = 1, 2, ..., n
ut = Yt – (â0 + â1X1t + â2X2t + ... + âkXkt) şi
3. Se calculează estimatorii i
4. Utilizând estimatorii i
astfel:
ˆ dintr-o regresie auxiliară
2
u t = α0 + α1Z1t + α2Z2t + ... + αpZpt + εt
2
t
0
1
2
u t .
6- 11
ˆ se determină prima estimare a dispersiilor erorilor
σˆ αˆ αˆ Z αˆ Z ... αˆ
1t
2
2t
5. Ecuaţia (Error! Reference source not found.) de la pasul 3 se transformă în
modul următor:
u
σˆ
2
t
2
t
α
0
1 Z Z
α1
α2
σˆ σˆ σˆ
2
t
1t
2
t
2t
2
t
p
Z
pt
... α
p
Z
σˆ
pt
2
t
ε
σˆ
t
2
t
117
Folosind estimatorii ˆ i din ecuaţia precedentă se determină a doua aproximare a
dispersiilor
6. Se stabilesc ponderile
ponderate.
2
σ t
~ , la fel ca în pasul 4.
t
σ ~
1
w şi se aplică metoda celor mai mici pătrate
t
Estimatorii obţinuţi prin această metodă sunt nedeplasaţi şi consistenţi, la fel
ca şi dispersiile şi covarianţele estimate. De asemenea, estimatorii sunt asimptotic
eficienţi.
52 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti
53 Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press, Harcourt
Brace College Publishers, Orlando, USA, pag. 348-349.
σˆ
2
t

118
Principala problemă a acestei metode constă în faptul că procedura poate
să se oprească din mai multe cauze. În primul rând, este posibil să existe o relaţie de
multicolinearitate între variabilele incluse în ecuaţia (Error! Reference source not
found.), mai ales atunci când în ecuaţie sunt incluse atât variabilele explicative, cât şi
combinaţii ale acestora de tipul
2
X i , XiXj ş.a. Riscul colinearităţii perfecte este şi mai
mare atunci când în model sunt incluse variabile de tip dummy. Acest inconvenient
poate fi depăşit prin renunţarea la variabilele care induc fenomenul de
multicolinearitate.
O altă problemă, mult mai dificilă, care poate să apară este aceea că procedura
descrisă nu garantează obţinerea, prin ecuaţiile descrise în paşii 4 şi 5, a unor valori
strict pozitive pentru toate dispersiile estimate ale erorilor din model. Dacă, de
exemplu, o astfel de estimare este zero, atunci ponderea corespunzătoare, calculată ca
inversa abaterii standard, nu este definită. Dacă, în schimb, estimarea obţinută pentru
dispersia unei erori este negativă, nu poate fi definită abaterea standard a erorii
respective (ca radical din dispersia corespunzătoare).
O procedură alternativă care evită riscul ca estimările calculate pentru
dispersia erorilor să fie negative propune folosirea logaritmului calculat din pătratul
reziduurilor în ecuaţia auxiliară (Error! Reference source not found.). În aceste
condiţii, după pasul 2, algoritmul precedent continuă astfel:
3'. Se calculează estimatorii i
αˆ dintr-o regresie auxiliară
t
ln u α α Z α Z ... α Z ε
2
t
0
1
1t
2
2t
4'. Utilizând estimatorii αˆ i se determină prima estimare a dispersiilor erorilor
astfel:
2 σˆ t αˆ 0 αˆ 1Z1t
αˆ 2Z2t
... αˆ pZpt
ln
5' Prin antilogaritmare, se determină
2
t
unde
σˆ exp ln σˆ ,
2
t
2
t
2
σˆ t :
ln σˆ este valoarea estimată la pasul 4'. Ecuaţia de la pasul 3' se
transformă astfel:
2
u t 1 Z1t
Z Z
2t
pt ε
ln
α 2 0 α 2 1 α 2 2 ... α
2
p 2
σˆ
t σˆ t σˆ t σˆ t σˆ t σˆ
p
pt
t
2
t
σˆ
2
t

Folosind estimatorii i
aproximare a dispersiilor
αˆ din ecuaţia precedentă se determină a doua
2
σ t
~ la fel ca în pasul 4'. Valorile
deoarece transformarea prin funcţia e x duce la valori pozitive.
6'. Se stabilesc ponderile
ponderate.
t
119
2
σ t
~ sunt pozitive,
t
σ ~
1
w şi se aplică metoda celor mai mici pătrate
Metoda transformată în acest mod evită doar unele dintre riscurile prezentate.
Astfel, dacă unele dintre valorile reziduale ut sunt exact zero, atunci
2 u t ln
nu este
2
σˆ t
definit. În practică, acest lucru este mai rar întâlnit, deoarece, dacă ut este aproape de
zero, atunci wt sunt foarte mari şi valorile respective vor fi evitate de algoritmul
dezvoltat pe baza metodei celor mai mici pătrate.
7.4. Aplicaţii – testarea şi eliminarea fenomenului de
heteroscedasticitate a erorilor
7.4.1. Testul White pentru modelul unifactorial
Pentru exemplificarea modului de testare a heteroscedasticităţii erorilor
analizăm legătura dintre economiile populaţiei 54 (simbolizate EP) şi câştigul salarial
mediu nominal net lunar (ROL/persoană) – simbolul utilizat SNN, în perioada ian.
1997 – august 2003 (tab. 6-9).
Tabelul 6-9: Evoluţia economiilor populaţiei şi a câştigului salarial în perioada 1997-
2003
54 Datele sunt extrase din Bilanţul monetar agregat al băncilor – pasive interne – depozite ale clienţilor
nebancari – Economii ale populaţiei (milioane lei, la sfârşitul perioadei) – Banca Naţională a
României, Buletin lunar, 1/1997-9/2003.

120
Luna
Economiile populaţiei –
mil.lei (EP)
Câştigul salarial (mediu
nominal net) –
mil.lei/pers (SNN)
EPt D(EPt) SNNt D(SNNt)
Ianuarie - 97 9.368 – 0.397 –
Februarie - 97 10.017 0.649 0.456 0.059
Martie - 97 10.981 0.965 0.507 0.051
Aprilie - 97 12.052 1.071 0.592 0.085
Mai - 97 13.491 1.439 0.568 -0.024
Iunie - 97 14.566 1.075 0.581 0.013
Iulie - 97 15.405 0.839 0.622 0.041
August - 97 15.766 0.361 0.651 0.029
Septembrie - 97 16.287 0.521 0.710 0.060
Octombrie - 97 16.934 0.647 0.797 0.087
Noiembrie - 97 17.701 0.767 0.821 0.024
Decembrie - 97 20.166 2.464 0.940 0.120
Ianuarie - 98 20.793 0.628 0.884 -0.056
Februarie - 98 21.891 1.098 0.879 -0.006
Martie - 98 22.426 0.536 0.954 0.076
Aprilie - 98 23.380 0.954 1.045 0.091
Mai - 98 24.429 1.049 0.999 -0.046
Iunie - 98 25.153 0.724 1.041 0.041
Iulie - 98 25.797 0.644 1.099 0.058
August - 98 26.368 0.570 1.123 0.024
Septembrie - 98 26.627 0.259 1.140 0.017

Luna
Economiile populaţiei –
mil.lei (EP)
Câştigul salarial (mediu
nominal net) –
mil.lei/pers (SNN)
EPt D(EPt) SNNt D(SNNt)
Octombrie - 98 27.306 0.679 1.171 0.031
Noiembrie - 98 28.227 0.921 1.192 0.021
Decembrie - 98 30.967 2.739 1.360 0.169
Ianuarie - 99 32.484 1.517 1.241 -0.119
Februarie - 99 32.959 0.475 1.294 0.053
Martie - 99 32.110 -0.849 1.411 0.117
Aprilie - 99 30.943 -1.167 1.480 0.068
Mai - 99 29.674 -1.269 1.460 -0.019
Iunie - 99 30.215 0.541 1.514 0.053
Iulie - 99 32.209 1.994 1.604 0.090
August - 99 33.221 1.012 1.624 0.020
Septembrie - 99 34.178 0.957 1.630 0.006
Octombrie - 99 34.710 0.532 1.657 0.027
Noiembrie - 99 35.086 0.376 1.752 0.095
Decembrie - 99 39.238 4.152 1.990 0.238
Ianuarie - 00 40.735 1.497 1.726 -0.264
Februarie - 00 41.922 1.187 1.748 0.022
Martie - 00 42.988 1.066 1.907 0.159
Aprilie - 00 43.039 0.051 2.136 0.229
Mai - 00 42.599 -0.440 2.030 -0.106
Iunie - 00 43.253 0.654 2.104 0.074
121

122
Luna
Economiile populaţiei –
mil.lei (EP)
Câştigul salarial (mediu
nominal net) –
mil.lei/pers (SNN)
EPt D(EPt) SNNt D(SNNt)
Iulie - 00 43.624 0.371 2.172 0.068
August - 00 43.090 -0.534 2.220 0.048
Septembrie - 00 42.328 -0.762 2.273 0.053
Octombrie - 00 41.095 -1.233 2.357 0.084
Noiembrie - 00 40.827 -0.268 2.497 0.140
Decembrie - 00 44.549 3.722 2.912 0.414
Ianuarie - 01 45.829 1.280 2.738 -0.174
Februarie - 01 46.923 1.094 2.596 -0.142
Martie - 01 48.382 1.459 2.819 0.223
Aprilie - 01 49.755 1.374 3.025 0.206
Mai - 01 50.697 0.942 2.915 -0.110
Iunie - 01 52.348 1.651 2.981 0.066
Iulie - 01 53.138 0.790 3.124 0.142
August - 01 54.030 0.892 3.135 0.011
Septembrie - 01 55.327 1.297 3.125 -0.010
Octombrie - 01 56.761 1.434 3.210 0.086
Noiembrie - 01 58.670 1.909 3.314 0.104
Decembrie - 01 63.706 5.037 3.660 0.345
Ianuarie - 02 65.542 1.836 3.672 0.012
Februarie - 02 67.766 2.224 3.464 -0.207
Martie - 02 70.378 2.612 3.666 0.202

Luna
Economiile populaţiei –
mil.lei (EP)
Câştigul salarial (mediu
nominal net) –
mil.lei/pers (SNN)
EPt D(EPt) SNNt D(SNNt)
Aprilie - 02 72.443 2.065 3.966 0.299
Mai - 02 73.852 1.409 3.795 -0.170
Iunie - 02 75.447 1.594 3.806 0.011
Iulie - 02 77.508 2.061 3.919 0.113
August - 02 79.337 1.829 3.898 -0.021
Septembrie - 02 79.946 0.609 3.855 -0.043
Octombrie - 02 82.290 2.344 3.967 0.112
Noiembrie - 02 83.837 1.547 4.038 0.071
Decembrie - 02 88.894 5.057 4.526 0.488
Ianuarie - 03 90.509 1.615 4.731 0.205
Februarie - 03 92.753 2.244 4.452 -0.279
Martie - 03 93.098 0.345 4.638 0.186
Aprilie - 03 94.126 1.029 4.955 0.318
Mai - 03 93.633 -0.494 4.729 -0.226
Iunie - 03 93.926 0.293 4.706 -0.023
Iulie - 03 93.961 0.035 4.864 0.158
August - 03 94.990 1.029 4.808 -0.056
Sursa datelor: Banca Naţională a României, Buletin lunar, 1/1997-9/2003,
Bucureşti
123

124
6
5
4
3
2
1
0
ianuarie-97
Figura 6-2: Evoluţia economiilor populaţiei şi a câştigului salarial, în perioada
iunie-97
noiembrie-97
aprilie-98
septembrie-98
februarie-99
iulie-99
decembrie-99
1997-2003
Economiile populaţiei (mil.lei) –
sca ra din dre a pta
mai-00
Câştigul salarial
(mil.le i/pe rs.) –
sca ra din stâ nga
octombrie-00
Econometric, datele nu pot fi incluse într-o ecuaţie de regrese, în forma în care
apar în tabel. Demonstrarea acestei afirmaţii se bazează pe analiza staţionarităţii
seriilor de date. Justificarea economică ar fi următoarea: ambele serii sunt influenţate
de dinamica preţurilor din economie (inflaţie), astfel încât înscrierea lor în aceeaşi
bandă crescătoare nu înseamnă automat prezenţă unei relaţii de cauzalitate între serii.
Pur şi simplu, este posibil ca seriile să urmeze o tendinţă asemănătoare datorită
inflaţiei.
Din această cauză, s-a eliminat tendinţa prin diferenţierea seriilor:
D(EPt) = EPt – EPt-1
D(SNNt) = SNNt – SNNt-1.
Seriile astfel obţinute sunt staţionare (vezi Anexa). În aceste condiţii,
econometric, se testează legătura dintre seriile staţionare D(EPt) şi D(SNNt). Admitem
pentru început ipoteza că între cele două variabile există o legătură lineară.
D(EP) = a0 + a1D(SNN) + et 6- 12
martie-01
august-01
ianuarie-02
iunie-02
noiembrie-02
aprilie-03
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0

Estimarea acestei ecuaţii prin metoda celor mai mici pătrate duce la
obţinerea următoarelor rezultate:
D
EP 0. 132961
0. 904
SNN 0.
903487 3.
23
D
6- 13
(în paranteză, sub estimatori sunt abaterile medii standard).
Testele statistice pentru semnificaţia estimatorilor sunt:
tâ 0
tâ1 0.
903487
132961
3.
23
0.
904
3.
573
6.
795
Pentru testarea heteroscedasticităţii erorilor se utilizează testul White.
125
Calculul modelului pentru seriile din tabelul 6-9 duce la rezultatele prezentate
în tabelul 6-10. Estimatorii ecuaţiei 6- 12 luaţi în considerare sunt cei prezentaţi în
ecuaţia 6- 13:
D(EP) = 0.903487 + 3.23∙D(SNN)
Tabelul 6-10: Calculele de bază pentru aplicarea testului White, modelul unifactorial *)
t D(SNNt) D(EPt) D(EPt)c ut ut 2
D(SNNt) 2
1 – – – – – –
2 0.0594 0.6490 1.0954 -0.4464 0.1992 0.0035
3 0.0507 0.9646 1.0673 -0.1027 0.0105 0.0026
4 0.0848 1.0707 1.1775 -0.1068 0.0114 0.0072
5 -0.0242 1.4386 0.8253 0.6134 0.3762 0.0006
6 0.0133 1.0750 0.9465 0.1285 0.0165 0.0002
7 0.0408 0.8392 1.0351 -0.1959 0.0384 0.0017
8 0.0289 0.3610 0.9969 -0.6359 0.4044 0.0008
9 0.0596 0.5210 1.0960 -0.5750 0.3306 0.0036
10 0.0870 0.6473 1.1843 -0.5370 0.2883 0.0076
11 0.0236 0.7672 0.9799 -0.2126 0.0452 0.0006
12 0.1197 2.4642 1.2899 1.1742 1.3788 0.0143

126
t D(SNNt) D(EPt) D(EPt)c ut ut 2
D(SNNt) 2
13 -0.0561 0.6278 0.7224 -0.0946 0.0089 0.0031
14 -0.0058 1.0976 0.8847 0.2129 0.0453 0.0000
15 0.0757 0.5355 1.1479 -0.6124 0.3750 0.0057
16 0.0912 0.9539 1.1980 -0.2441 0.0596 0.0083
17 -0.0463 1.0487 0.7541 0.2946 0.0868 0.0021
18 0.0414 0.7242 1.0372 -0.3130 0.0980 0.0017
19 0.0579 0.6438 1.0906 -0.4467 0.1996 0.0034
20 0.0243 0.5704 0.9821 -0.4117 0.1695 0.0006
21 0.0171 0.2592 0.9586 -0.6994 0.4892 0.0003
22 0.0310 0.6794 1.0035 -0.3242 0.1051 0.0010
23 0.0206 0.9213 0.9700 -0.0487 0.0024 0.0004
24 0.1688 2.7393 1.4485 1.2908 1.6662 0.0285
25 -0.1193 1.5174 0.5181 0.9993 0.9985 0.0142
26 0.0533 0.4748 1.0757 -0.6009 0.3611 0.0028
27 0.1171 -0.8487 1.2817 -2.1304 4.5388 0.0137
28 0.0683 -1.1671 1.1241 -2.2912 5.2497 0.0047
29 -0.0192 -1.2694 0.8414 -2.1108 4.4556 0.0004
30 0.0531 0.5411 1.0749 -0.5338 0.2849 0.0028
31 0.0904 1.9939 1.1953 0.7986 0.6377 0.0082
32 0.0203 1.0123 0.9691 0.0432 0.0019 0.0004
33 0.0058 0.9573 0.9221 0.0352 0.0012 0.0000
34 0.0270 0.5317 0.9908 -0.4592 0.2108 0.0007
35 0.0946 0.3765 1.2090 -0.8325 0.6931 0.0089
36 0.2385 4.1517 1.6738 2.4780 6.1403 0.0569

t D(SNNt) D(EPt) D(EPt)c ut ut 2
127
D(SNNt) 2
37 -0.2641 1.4967 0.0505 1.4461 2.0912 0.0697
38 0.0221 1.1873 0.9747 0.2126 0.0452 0.0005
39 0.1589 1.0662 1.4168 -0.3506 0.1229 0.0253
40 0.2289 0.0505 1.6427 -1.5922 2.5351 0.0524
41 -0.1062 -0.4396 0.5605 -1.0000 1.0001 0.0113
42 0.0740 0.6537 1.1424 -0.4887 0.2389 0.0055
43 0.0683 0.3711 1.1242 -0.7531 0.5672 0.0047
44 0.0484 -0.5339 1.0598 -1.5937 2.5398 0.0023
45 0.0526 -0.7616 1.0734 -1.8350 3.3673 0.0028
46 0.0842 -1.2335 1.1755 -2.4090 5.8034 0.0071
47 0.1403 -0.2678 1.3566 -1.6244 2.6387 0.0197
48 0.4141 3.7215 2.2409 1.4807 2.1924 0.1715
49 -0.1735 1.2801 0.3430 0.9371 0.8782 0.0301
50 -0.1418 1.0943 0.4455 0.6488 0.4210 0.0201
51 0.2230 1.4585 1.6238 -0.1653 0.0273 0.0497
52 0.2059 1.3737 1.5685 -0.1948 0.0380 0.0424
53 -0.1098 0.9420 0.5487 0.3933 0.1547 0.0121
54 0.0662 1.6509 1.1173 0.5336 0.2847 0.0044
55 0.1422 0.7900 1.3629 -0.5729 0.3282 0.0202
56 0.0115 0.8921 0.9406 -0.0485 0.0023 0.0001
57 -0.0103 1.2970 0.8702 0.4268 0.1822 0.0001
58 0.0855 1.4335 1.1797 0.2538 0.0644 0.0073
59 0.1038 1.9088 1.2389 0.6700 0.4488 0.0108
60 0.3454 5.0368 2.0191 3.0176 9.1062 0.1193

128
t D(SNNt) D(EPt) D(EPt)c ut ut 2
D(SNNt) 2
61 0.0119 1.8356 0.9419 0.8937 0.7987 0.0001
62 -0.2072 2.2239 0.2342 1.9897 3.9590 0.0429
63 0.2021 2.6118 1.5561 1.0557 1.1144 0.0408
64 0.2994 2.0651 1.8706 0.1945 0.0378 0.0897
65 -0.1704 1.4094 0.3531 1.0563 1.1158 0.0290
66 0.0110 1.5945 0.9389 0.6555 0.4297 0.0001
67 0.1130 2.0613 1.2684 0.7929 0.6287 0.0128
68 -0.0210 1.8286 0.8358 0.9929 0.9858 0.0004
69 -0.0434 0.6091 0.7632 -0.1541 0.0237 0.0019
70 0.1125 2.3444 1.2668 1.0776 1.1612 0.0127
71 0.0707 1.5472 1.1318 0.4153 0.1725 0.0050
72 0.4875 5.0570 2.4781 2.5789 6.6505 0.2377
73 0.2051 1.6146 1.5658 0.0488 0.0024 0.0421
74 -0.2789 2.2442 0.0026 2.2416 5.0246 0.0778
75 0.1859 0.3446 1.5038 -1.1592 1.3437 0.0345
76 0.3176 1.0288 1.9292 -0.9004 0.8108 0.1009
77 -0.2260 -0.4938 0.1737 -0.6674 0.4455 0.0511
78 -0.0234 0.2934 0.8278 -0.5345 0.2857 0.0005
79 0.1579 0.0352 1.4135 -1.3783 1.8997 0.0249
80 -0.0558 1.0289 0.7232 0.3057 0.0935 0.0031
*) Prin D(EP)c am simbolizat valorile calculate pe baza ecuaţiei (6- 13) pentru
variabila endogenă D(EP)
Potrivit metodei White, se realizează o regresie de tipul:
2
t
Rezultatele sunt următoarele:
0
1
t
2
2 D( SNN t)
εt
u α α D(
SNN)
α

û 0.
6407 0.
457366
D(
SNN ) 25.
42088
2
t
t
2 D(
SNN )
Coeficientul de determinare R 2 , calculat pentru modelul precedent este:
R 2 = 0.272899
blocul nR 2 din testul White se calculează astfel:
nR 2 = 79 ∙0.272899 = 21.56
Se testează ipoteza nulă H0: α1 = α2 = 0 (lipsa heteroscedasticităţii). Valoarea testului
2
2
χ 2 pentru 2 grade de libertate este 99
(un grad de încredere de 95%). Cum
nR 2 = 21.56 >
t
129
5.
, pentru un prag de semnificaţie α = 0.05
5. 99
2
2
rezultă că ipoteza H0 este respinsă, adică se poate afirma, cu un grad de încredere de
95% faptul că erorile et din modelul iniţial (6- 12) sunt heteroscedastice.
Aceleaşi rezultate pot fi obţinute prin utilizarea programului EViews:
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 14.26234 Probabilitatea 0.000006
nR 2
Test Equation:
Variabila dependentă: u 2
21.55902 Probabilitatea 0.000021
Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul: 1997:02 2003:08
Observaţii incluse: n = 79
R 2
Parametrii Estimatorii Ab.std. t-Statistic alfa
C 0.640700 0.206192 3.107297 0.0027
D(SNN) -0.457366 1.536016 -0.297762 0.7667
(D(SNN)) 2 25.42088 5.393215 4.713492 0.0000
0.272899 Media var.endog. 1.165073
R 2 – ajustat 0.253765 Ab.std.var.endog. 1.838512
Ab.std.regr. 1.588197 Akaike info criterion 3.800311
Suma pătratelor rezid. 191.7001 Schwarz criterion 3.890290

130
Log likelihood -147.1123 F-statistic 14.26234
Durbin-Watson stat 1.322522 Prob(F-statistic) 0.000006
Pentru eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se procedează la
transformarea modelul iniţial (6- 12),
în modelul:
D(EP)t = a0 + a1D(SNN)t + et,
D(
EP)
D
t
t
6- 14
0
1
SNN DSNN
DSNN
Rezultatele sunt următoarele:
Variabila dependentă:
t
a
D(
EP)
D(
SNN)
1
t
a
Metoda de estimare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul (ajustat): 1997:02 2003:08
Observaţii incluse: 79 după ajustare
Coeficienţii Estimatorii Ab.std. t-Statistic Prob.
1
D(
SNN)
1.018483 0.060994 16.69807 0.0000
constanta -0.722544 2.499231 -0.289106 0.7733
R 2 0.783602 Media var.endogene 9.456939
R 2 ajustat 0.780791 Ab.std.var.endogene 46.01198
Ab.std.regresie 21.54268 Akaike info criterion 9.002939
Suma pătratelor erorilor 35734.69 Schwarz criterion 9.062925
Log likelihood -353.6161 F-statistic 278.8255
Durbin-Watson stat 1.966436 Prob(F-statistic) 0.000000
e
t

Reziduurile din această ecuaţie nu sunt heteroscedastice. Prin estimarea
unei ecuaţii de regresie de tipul
se obţine:
2
1
1
ut α0
α1
α2
ε 2
D(
SNN)
D(
SNN )
2
1
1
ut 424.
6895
3.
3344
0.
036317
D(
SNN)
D(
SNN
Pentru ecuaţia precedentă R 2 = 0.016056, deci
nR 2 = 0.268424 < 5.99 = )
t
t
χ 2
2
( 0.
05
t
t
t
)
2
131
Aceasta înseamnă că erorile din ecuaţia (6- 14) nu sunt heteroscedastice, cu un
grad de încredere mai mare de 95%.
Rezultatele în detaliu sunt prezentate în tabelul următor:
Variabila dependentă: (RES2) 2
Metoda de estimare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul (ajustat): 1997:02 2003:08
Observaţii incluse: 79 după ajustare
Coeficienţii Estimatorii Ab.std. t-Statistic Prob.
constanta 424.6895 211.1689 2.011137 0.0479
1
D(
SNN)
1
D(
SNN
2
)
-3.334400 4.918515 -0.677928 0.4999
0.036317 0.039584 0.917466 0.3618
R 2 0.01606 Media var.endogene 452.34
R 2 ajustat -0.00984 Ab.std.var.endogene 1726.4
Ab.std.regresie 1734.85 Akaike info criterion 17.793
Suma pătratelor erorilor 2.29E+08 Schwarz criterion 17.882
Log likelihood -699.802 F-statistic 0.6200
Durbin-Watson stat 1.940234 Prob(F-statistic) 0.5406

132
7.4.2. Testul White pentru modelul multifactorial
Pentru testarea prezenţei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor în
cazul unui model multifactorial de regresie lineară este utilizat exemplul numeric
prezentat în capitolul 2, tabelul 2-2. Adică, să presupunem că printr-o cercetare
selectivă s-au înregistrat următoarele date privind dinamica veniturilor populaţiei
(X1t), evoluţia ratei reale a dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare
(Yt):
Nr.crt.
Veniturile
populaţiei
(X1t)
Rata reală a
dobânzii
pasive (X2t)
Depozitele
bancare
(Yt)
1 0.5 4.1 0.3
2 1.0 4.2 0.8
3 1.2 4.0 0.3
4 -0.3 4.1 -0.5
5 2.1 3.8 0.8
6 2.3 4.2 1.4
7 1.2 3.8 0.2
8 1.0 3.9 0.7
9 0.8 3.9 0.0
10 0.0 3.8 -0.7
11 -0.6 3.8 -1.0
12 2.2 3.8 1.3
13 1.4 4.2 1.0
14 2.0 3.9 1.2
15 2.3 4.2 1.7
16 1.1 3.8 0.4

Nr.crt.
Veniturile
populaţiei
(X1t)
Rata reală a
dobânzii
pasive (X2t)
Depozitele
bancare
(Yt)
17 0.8 3.9 0.6
18 -0.5 4.1 -0.9
19 -1.4 3.9 -1.4
20 0.2 4.1 -0.2
21 1.8 4.2 1.5
22 2.2 3.8 0.9
23 2.1 4.1 1.0
24 1.5 4.2 0.7
25 1.8 3.8 1.2
Modelul linear bi-factorial se scrie:
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et.
Vectorul estimatorilor  se calculează prin relaţia:
 = (X'X) -1 X'Y.
Au fost determinate următoarele valori
deci,
3.
78693
 0.
75722
0.
860999
pentru t = 1, 2, …, 25
şi ut = Yt – Ŷt.
Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t,
133
Rezultatele estimării sunt prezentate în tabelul 2-2. În tabelul 6-11 sunt
incluse, în plus faţă de coloanele tabelului 2-2, blocurile necesare pentru aplicarea
testului White privind heteroscedasticitatea erorilor.

134
Tabelul 6-11: Calculele de bază pentru aplicarea testului White, modelul
multifactorial
t X1t X2t Yt Ŷt ut
2
u t
2
X 1t
2
X 2t
X1X2
1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318 0.25 16.81 2.05
2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456 1.00 17.64 4.20
3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706 1.44 16.00 4.80
4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003 0.09 16.81 -1.23
5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756 4.41 14.44 7.98
6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292 5.29 17.64 9.66
7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375 1.44 14.44 4.56
8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382 1.00 15.21 3.90
9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312 0.64 15.21 3.12
10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342 0.00 14.44 0.00
11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009 0.36 14.44 -2.28
12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223 4.84 14.44 8.36
13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122 1.96 17.64 5.88
14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131 4.00 15.21 7.80
15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167 5.29 17.64 9.66
16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068 1.21 14.44 4.18
17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791 0.64 15.21 3.12
18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700 0.25 16.81 -2.05
19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079 1.96 15.21 -5.46
20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090 0.04 16.81 0.82
21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947 3.24 17.64 7.56

t X1t X2t Yt Ŷt ut
2
u t
2
X 1t
135
2
X 2t
X1X2
22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629 4.84 14.44 8.36
23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111 4.41 16.81 8.61
24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703 2.25 17.64 6.30
25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240 3.24 14.44 6.84
∑ 26.7 99.6 11.3 11.3000 0.0000 1.2952 54.09 397.46 106.74
Pentru modelul multifactorial de regresie lineară multifactorială se scrie:
u α α X α X α X α X α X X ε
2
t
0
unde ut = Yt – (â0 + â1X1t + â2X2t), 25
1
1t
2
2t
3
2
1t
t 1,
Ipoteza nulă H0: α1 = α2 = α2 = α2 = α5 = 0 (lipsa fenomenului de
heteroscedasticitate a erorilor et) este respinsă dacă
0. 05
2 2
nR χ .
5
Rezolvarea prin metoda celor mai mici pătrate a modelului descris de ecuaţia
de regresie precedentă, pe baza datelor din tabelul 6-11 duce la obţinerea următoarelor
rezultate:
û
2
t
16.
0952
2
1t
0.
0674 X
1t
0.
0096 X 1.
0291
X
2
2t
4
2
2t
8.
1557 X
2t
5
0.
0253
X
Coeficientul de determinare R 2 , calculat pentru modelul precedent este:
R 2 = 0.219621
În aceste condiţii, blocul nR 2 din testul White se calculează astfel:
Deoarece
ipoteza nulă
nR 2 = 25∙0.219621 = 5.49
În tabelul distribuţiei χ 2 , pentru α = 0.05 şi 5 grade de libertate se identifică
χ 2
0. 05
11.
0705
5 .
nR 2 2
= 5.49 < 11.
0705 χ 0. 05
H0: α1 = α2 = α2 = α2 = α5 = 0
5
1t
1t
X
2t
2t
t

136
(lipsa fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor et din modelul linear bi-
factorial) nu se respinge. Cu alte cuvinte, erorile et nu sunt heteroscedastice.
Rezultate identice pot fi obţinute direct, prin aplicarea programului EViews. În
detaliu, aceste rezultate sunt prezentate în tabelul următor:
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 1.069431 Probabilitatea 0.407971
nR 2 5.490533 Probabilitatea 0.358985
Test Equation: Variabila dependentă: u 2
Metoda de rezolvare: Metoda celor mai mici pătrate
Eşantionul: 1 25
Variabile Estimatori Ab.std. t-statistic alfa
C -16.09519 11.24317 -1.431553 0.1685
X1 -0.067375 0.274951 -0.245043 0.8090
X1 2 -0.009548 0.008989 -1.062213 0.3015
X1X2 0.025277 0.070422 0.358935 0.7236
X2 8.155651 5.661626 1.440514 0.1660
X2 2 -1.029061 0.712198 -1.444910 0.1648
R 2 0.219621 Media var. exogene 0.051807
R 2 ajustat 0.014259 Ab.std.var.exog. 0.047464
Ab.std.regresie 0.047124 Akaike info criterion -3.066503
Suma pătrate resid. 0.042193 Schwarz criterion -2.773973
Log likelihood 44.33129 F-statistic 1.069431
Durbin-Watson stat 1.702749 Prob(F-statistic) 0.407971

8. AUTOCORELAREA ERORILOR
137
În prezenţa autocorelării erorilor este afectată calitatea estimatorilor calculaţi
prin metoda celor mai mici pătrate pentru parametrii modelului de regresie.
Autocorelarea erorilor presupune existenţa unei covarianţe nenule între erorile din
ecuaţia de regresie. Adică presupune ca în relaţia:
e , e Me
, e σ , t s
Cov t s
t s ts
nu toate valorile σts sunt zero.
7- 1
În modelele economice de regresie lineară se întâlnesc des situaţii în care
erorile sunt autocorelate. În special, autocorelarea erorilor apare în modelele
construite pentru seriile de timp. Principalele cauze care determină fenomenul
respectiv sunt:
(1) omiterea din model a unor variabile explicative cu influenţă semnificativă
asupra variabilei endogene;
(2) ignorarea prezenţei unor relaţii nelineare între variabile şi
(3) imposibilitatea evitării unor erori de măsurare.
Matricea de varianţă – covarianţă a estimatorilor se scrie:
Var(Â) = (X'X) -1 X'M(ee')X(X'X) -1
unde M(ee') este matricea de varianţă – covarianţă a erorilor. Dacă erorile nu sunt
heteroscedastice, adică
Var
şi nu sunt autocorelate
2 2
e Me
σ , t t
t
Cov(et, es) = M(et, es) = 0, () t ≠ s
atunci dispersia estimatorilor se calculează după relaţia
σ
Var(Â) = 1
2
e
e
X'X
7- 2
Dacă erorile sunt heteroscedastice sau sunt autocorelate, atunci orice calcul în
care intervine dispersia estimatorilor (calculată după relaţia cunoscută 7- 2) nu este
valid, deoarece
Var
1
2
X ' X σ Â
.
e

138
Deoarece erorile sunt normal distribuite şi de medie zero, estimatorii calculaţi prin
metoda celor mai mici pătrate rămân nedeplasaţi şi consistenţi, chiar în prezenţa
autocorelării erorilor. Însă, estimatorii calculaţi pentru dispersiile parametrilor şi
pentru dispersia erorii sunt deplasaţi, ceea ce face ca procedurile de testare obişnuite
să nu fie valide.
Cel mai simplu caz al autocorelării erorilor este acela în care erorile din
modelul de regresie
sunt de forma:
Yt a0
a1X1t
a 2X2t
... a kX
kt et
,
t 1,
n
et = ρet-1 + εt 7- 3
unde ρ este un parametru real situat între –1 şi +1, iar εt este o variabilă de abatere
(eroare) care respectă ipotezele obişnuite (este de medie nulă, are dispersia finită şi
constantă – deci, nu este heteroscedastică, nu prezintă fenomenul de autocorelare şi
este independentă de eq, pentru q ≠ t). Cu alte cuvinte,
Var
M ε
t
ε
0
0
Cov ε , ε
t
t
M ε
ts
2
t
σ
,
M ε , ε
t
2
ε
ts
t
0,
t,
s
Situaţia descrisă prin ecuaţia (7- 3), în condiţiile (7- 4), poartă numele de
proces autoregresiv de ordinul I. Simbolic, procesul autoregresiv de ordinul I este
notat AR(1).
Pornind de la ecuaţia (7- 3) pot fi întâlnite trei cazuri diferite.
1. Dacă ρ = 0, atunci erorile nu sunt autocorelate, deoarece et = εt, iar εt respectă
7- 4
ipotezele obişnuite necesare pentru aplicarea metodei celor mai mici pătrate.
2. Dacă ρ > 0, atunci erorile sunt autocorelate pozitiv, în sensul că valorile pozitive
ale erorii et-1 tind să fie urmate tot de valori pozitive ale lui et, iar valorile negative
ale erorii et-1 tind să fie urmate tot de valori negative ale lui et. Valorile aleatoare
ale abaterii εt pot avea ca efect trecerea de la un set de valori pozitive ale erorilor
et la un set de valori negative şi invers.
3. Dacă ρ < 0, atunci erorile sunt autocorelate negativ, în sensul că valorile pozitive
ale erorii et-1 tind să fie urmate de valori negative ale lui et şi invers.

Se poate demonstra că în cazul procesului autoregresiv de ordinul I (7- 3),
în condiţiile (7- 4), erorile et respectă toate celelalte ipoteze obişnuite, cu excepţia
celei privind autocorelarea (adică media erorilor et este zero şi erorile nu sunt
heteroscedastice). Mai exact, se demonstrează că
parametrul ρ din relaţia 7- 3 este, de fapt, coeficientul de corelaţie lineară dintre et şi
et-1, numit coeficientul de corelaţie lineară de ordinul I.
8.1. Consecinţe ale autocorelării erorilor
139
În prezenţa autocorelării erorilor, estimatorii calculaţi prin metoda celor mai
mici pătrate pentru parametrii modelului de regresie lineară rămân nedeplasaţi şi
consistenţi, deoarece în demonstrarea proprietăţilor respective nu s-a folosit ipoteza
de lipsă a autocorelării erorilor (ca, de altfel, nici ipoteza de lipsă a
heteroscedasticităţii). În schimb, estimatorii nu sunt eficienţi, în sensul că există
estimatori ai parametrilor modelului care au o dispersie mai mică decât dispersia
estimatorilor calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate.
Testele statistice aplicate pentru evaluarea semnificaţiei estimatorilor se
bazează pe proprietatea de eficienţă a acestora. Evident, dacă estimatorii nu sunt
eficienţi, nici testele statistice nu sunt valide. Mai mult, se demonstrează că dacă
erorile sunt autocorelate, atunci dispersia erorilor şi dispersiile estimatorilor sunt
subestimate 55 . În aceste condiţii, valorile testelor de semnificaţie t-Student sunt
supradimensionate, iar parametrii pot apărea ca semnificativi chiar dacă în realitate
acest lucru este fals.
Adică, în prezenţa fenomenului de autocorelare creşte riscul erorii de gradul II
(creşte riscul de respingere a ipotezei adevărate H0, care afirmă că parametrii nu diferă
semnificativ de zero).
Dacă fenomenul de autocorelare a erorilor din modelul de regresie lineară este
ignorat, iar pentru estimarea parametrilor se foloseşte metoda celor mai mici pătrate,
55 Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow, Longman, pag.
301.

140
atunci, sintetic, consecinţele ignorării fenomenului de autocorelare a erorilor sunt
următoarele:
Consecinţe ale ignorării fenomenului de autocorelare a erorilor
a. Estimatorii parametrilor din model sunt nedeplasaţi şi consistenţi.
b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi şi nu au proprietatea de
maximă verosimilitate.
c. Estimatorii calculaţi pentru dispersia şi covarianţa parametrilor sunt deplasaţi, nu
sunt consistenţi şi nu sunt eficienţi.
d. Testul t statistic (Student) aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este
valid.
e. Valorile t-Student calculate pentru estimarea semnificaţiei parametrilor sunt
supradimensionate, ceea ce sugerează o semnificaţie a parametrilor mai mare
decât este în realitate.
f. Abaterea standard a erorilor este subdimensionată faţă de valoarea reală şi, în
consecinţă, coeficientul de determinare R 2 este supradimensionat, ceea ce indică o
ajustare mai bună decât este în realitate.
8.2. Testarea autocorelării erorilor
Deoarece autocorelarea erorilor afectează calitatea estimatorilor, testarea – şi,
dacă este cazul, atenuarea – fenomenului respectiv reprezintă un pas important în
validarea modelului.
8.2.1. Testul Durbin – Watson
Testul Durbin – Watson (Durbin J., Watson G.S., 1950, 1951) este cea mai
cunoscută procedură utilizată pentru identificarea autocorelării de ordinul întâi a
erorilor din modelele de regresie lineară.
Statistica Durbin – Watson se calculează astfel:

n
ut
ut
1
t 2
dw 7- 5
n
2
u
t 1
t
2
unde ut sunt valorile variabilei reziduale din ecuaţia de regresie lineară, ecuaţie
estimată pornind de la datele din eşantionul selectat.
1 ˆ
141
Se poate demonstra că valoarea statisticii dw este aproximativ egală cu
2 , unde ˆ este estimatorul coeficientului de corelaţie lineară de ordinul I,
calculat astfel:
că
n
u u
ρˆ 7- 6
t t 1
t 2
n
2
u
t
t 1
Cu această notaţie, se poate scrie:
1 ρˆ
dw 2
7- 7
Deoarece coeficientul de corelaţie ˆ poate lua valori între –1 şi +1, înseamnă
dw 0,
4
7- 8
Dacă ρˆ este zero, erorile nu sunt autocorelate şi din relaţia (7- 7) rezultă
dw ≈ 2. Adică, dacă erorile et din modelul de regresie lineară nu sunt autocorelate,
atunci statistica dw se găseşte în apropierea valorii 2. De asemenea, dacă ˆ este situat
în apropierea valorii +1, atunci erorile sunt autocorelate pozitiv, iar din relaţia (7- 8)
rezultă dw ≈ 0. Adică, dacă erorile sunt autocorelate pozitiv, atunci valoarea statisticii
dw este aproape zero. Dacă ρˆ este situat în apropierea valorii –1, atunci erorile sunt
autocorelate negativ, iar din relaţia (7- 8) se calculează dw ≈ 4. Adică, atunci când
erorile sunt autocorelate negativ, valoarea statisticii dw este aproape de 4.
Distribuţia statisticii dw depinde de coeficientul de corelaţie lineară de ordinul
întâi ρ şi de valorile observate pentru variabilele explicative. Deşi ρ nu este cunoscut,
Durbin şi Watson au demonstrat că distribuţia statisticii dw este mărginită de alte
două distribuţii limitative.

142
Procedura descrisă de Durbin şi Watson pentru testarea autocorelării
erorilor în modelul AR(1) de tipul
Y a a X
e
este următoarea:
t
t
0
ρe
t1
1
ε
1t
t
a
2
X
2t
... a
k
X
kt
e , t 1,
n
1. Se estimează modelul (7- 9) prin metoda celor mai mici pătrate şi se
calculează estimatorii ut pentru erorile et.
2. Se calculează statistica (7- 5)
dw
n
t
t 2
n
u
t 1
u
u
2
t 1
2
t
3a. Pentru a testa ipoteza H0: ρ = 0 (lipsa autocorelării erorilor), contra ipotezei
alternative H1: ρ ≠ 0 (prezenţa fenomenului de autocorelare a erorilor) se
aplică testul Durbin – Watson bilateral. Din tabelele testului bilateral Durbin –
Watson se selectează (pornind de la nivelul de semnificaţie ales – de obicei,
0.05 sau 0.01), valorile critice dL şi dU, pentru k – numărul de variabile
explicative din model şi n – dimensiunea eşantionului.
– Se acceptă ipoteza H0 – lipsa autocorelării de ordinul I, dacă
dU ≤ dw ≤ 4 – dU
– Se respinge H0 dacă dw ≤ dL sau dw ≥ 4 – dU.
t
7- 9
– Dacă dL ≤ dw ≤ dU sau 4 – dU ≤ dw ≤ 4 – dL, testul este neconcludent.
Grafic, situaţiile care pot să apară atunci când valoarea calculată a
statisticii dw se găseşte în diferite puncte de pe dreapta [0, 4] sunt descrise în
diagrama din figura 7-1.
0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4
Se respinge
H0: erorile
sunt
autocorelate
Testul nu
este
concludent
Se acceptă H0:
erorile nu sunt
autocorelate
Testul nu
este
concludent
Se respinge
H0: erorile
sunt
autocorelate
Figura 7-1: Testul bilateral Durbin – Watson pentru autocorelarea erorilor

3b. Pentru a testa ipoteza H0: ρ = 0, contra ipotezei alternative H1: ρ > 0 (H1
143
înseamnă, în acest caz, autocorelare pozitivă a erorilor) se aplică testul
Durbin – Watson unilateral. Din tabelele testului unilateral Durbin – Watson
se selectează (pornind de la nivelul de semnificaţie ales), valorile critice dL şi
dU, pentru k – numărul de variabile explicative din model şi n – dimensiunea
eşantionului.
– Se acceptă H1 (autocorelare pozitivă) dacă dw ≤ dL.
– Dacă dw ≥ dU, se respinge ipoteza autocorelării pozitive a erorilor (ipoteza
H0 este acceptată).
– Dacă dL < dw < dU testul este neconcludent.
Grafic, situaţiile care pot să apară atunci când valoarea calculată a
statisticii dw se găseşte în diferite puncte de pe dreapta [0, 4] sunt descrise în
diagrama din figura 7-2.
0 dL dU 2 4
Se respinge H0: erorile
sunt autocorelate
pozitiv
Testul nu este
concludent
Se acceptă H0: erorile
nu sunt autocorelate
pozitiv
Figura 7-2: Testul unilateral Durbin – Watson pentru autocorelarea pozitivă a erorilor
3c. Pentru a testa ipoteza H0: ρ = 0, contra ipotezei alternative H1: ρ < 0 (H1
înseamnă, în acest caz, autocorelare negativă a erorilor) se aplică, la fel, testul
Durbin – Watson unilateral. Din tabelele testului unilateral Durbin – Watson
se selectează (pornind de la nivelul de semnificaţie ales), valorile critice dL şi
dU, pentru k – numărul de variabile explicative din model şi n – dimensiunea
eşantionului.
– Se acceptă H1 (autocorelare negativă a erorilor) dacă
– Dacă
dw ≥ 4 – dL.
dw ≤ 4 – dU,
se respinge ipoteza autocorelării negative a erorilor (se acceptă H0)
– Dacă
4 – dU < dw < 4 – dL,
testul este neconcludent.

144
Grafic, situaţiile care pot să apară atunci când valoarea calculată a
statisticii dw se găseşte în diferite puncte de pe dreapta [0, 4] sunt descrise în
diagrama din figura 7-3.
0 2 4-dU 4-dL 4
Se acceptă H0:
erorile nu sunt
autocorelate negativ
Testul nu este
concludent
Se respinge H0:
erorile sunt
autocorelate
negativ
Figura 7-3: Testul unilateral Durbin – Watson pentru autocorelarea negativă a erorilor
Existenţa zonelor în care testul Durbin – Watson nu este concludent este
explicată prin faptul că nu se poate construi o distribuţie exactă pentru statistica dw în
cazul selecţiilor de volum redus. De altfel, prin analiza valorilor critice din tabelele
Durbin – Watson se observă că diferenţa dintre valorile dL şi dU se reduce pe măsură
ce volumul eşantionului creşte.
Există două principale dezavantaje ale testului Durbin – Watson. În primul
rând, testul se aplică doar pentru identificarea autocorelării de ordinul I. Adică, testul
DW nu depistează, de exemplu, fenomenul de sezonalitate, de tipul et = ρet-4 + εt,
fenomen des întâlnit în economie.
Un alt dezavantaj al testului Durbin – Watson constă în faptul că rezultatele ar
putea fi eronate dacă se aplică pentru modelele care conţin variabile decalate în timp.
Se poate demonstra, de exemplu, că statistica dw este un estimator deplasat atunci
când printre variabilele explicative din model este inclusă variabila dependentă cu
întârziere de un pas. Pentru a evita acest dezavantaj, Durbin a construit un alt test
(Durbin J., 1970). Testul statistic h – Durbin se calculează astfel:
dw
h 1
2
n
1
ns
unde dw este valoarea statisticii Durbin – Watson,
2
a
2
s a este estimatorul dispersiei
calculat pentru parametrul corespunzător variabilei decalate cu un pas, iar n este
dimensiunea eşantionului. Durbin demonstrează că, pentru eşantioane de dimensiuni
mari, statistica h urmează o distribuţie normală standard.

Testul h – Durbin are un dezavantaj major: nu poate fi aplicat atunci când
145
n· 2
s a este mai mare decât 1 (expresia de sub radical din ecuaţia devine negativă).
Pentru această situaţie, Durbin a propus o procedură alternativă. Astfel, se calculează
prin metoda celor mai mici pătrate modelul
Y e
t a0
a1X1t
a2Yt
1
şi se determină reziduurile ut. Se estimează apoi ecuaţia
u α ρu
βY
γX
v ,
t
t
1
t
t
t
unde α, β, γ şi ρ sunt parametrii modelului, iar eroarea vt este o variabilă aleatoare
care respectă ipotezele obişnuite (normal distribuită, de medie zero şi dispersie
constantă, valorile nu sunt autocorelate).
t
În continuare se testează semnificaţia parametrului ρ (se aplică testul
t-Student). Dacă se admite ipoteza nulă H0: ρ nu diferă semnificativ de zero, atunci se
admite ipoteza absenţei fenomenului de autocorelare a erorilor. Dacă H0 este respinsă
atunci există o autocorelare de ordinul I a erorilor.
Procedurile dezvoltate de Durbin şi Durbin – Watson se aplică doar pentru
testarea autocorelării de ordinul I.
, cu media zero), lipsa heteroscedasticităţii şi a autocorelării.
3. Se rezolvă ecuaţia de regresie (Error! Reference source not found.) şi se
calculează
(n - p)R 2
unde R 2 este coeficientul de determinare multiplă. Dacă
2 2
n pR
χ α 7- 10
atunci se respinge ipoteza nulă
p
H0 : 1 2
3
p
0
şi se admite ipoteza alternativă:
H1: cel puţin un parametru ρi este semnificativ diferit de zero,
ceea ce înseamnă că erorile sunt autocorelate.
Pentru estimarea modelului (Error! Reference source not found.) sunt
disponibile doar n-p din cele n valori ale fiecărei variabile din eşantion. Numărul total

146
de parametri estimaţi este k + p. De aceea, în stabilirea dimensiunii eşantionului
este necesar ca n - p să fie mai mare decât k + p. Adică, este necesar ca n > k + 2p.
În alegerea ordinului p al procesului autoregresiv AR(p) se porneşte de la
analiza economică şi statistică a datelor disponibile. În detaliu, această problemă este
studiată în modelele de tip Box-Jenkins privind seriile de timp.
8.3. Metoda celor mai mici pătrate generalizată
Metoda celor mai mici pătrate generalizată urmăreşte obţinerea unor
estimatori eficienţi pentru parametrii modelului, ţinând seama de informaţiile care pot
fi oferite de matricea V (varianţă – covarianţă) a erorilor. Se poate demonstra că dacă
matricea V este pozitiv definită, atunci vectorul estimatorilor este dat de relaţia:
Y
1
A X'V
X X'V
~ 1
1
7- 11
Estimatorul à este nedeplasat, consistent şi eficient.
astfel:
Matricea varianţă – covarianţă a estimatorilor se calculează, în această situaţie
Var
1
A ~
A ~
2 1
M A A σe
X'V
X
7- 12
A ~
Dacă erorile nu sunt heteroscedastice şi nu sunt autocorelate, atunci V = I şi
din relaţia (7- 11) se deduce à = Â, unde  reprezintă vectorul estimatorilor calculat
prin metoda obişnuită a celor mai mici pătrate. De asemenea, din relaţia (7- 12) se
obţine, pentru V = I, Var(Ã) = Var(Â).
Un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor se calculează astfel:
s
2
u
1
1
u'V
u
7- 13
n k 1
unde u este vectorul variabilei reziduale, n – dimensiunea eşantionului, iar k –
numărul variabilelor explicative din model. Un estimator nedeplasat al matricei de
varianţă – covarianţă a estimatorilor se determină pornind de la ecuaţiile (7- 12) şi (7-
13):
1
1
1
1
A u'V
u X'V
X
~
~
V ar 7- 14
n k 1

Pentru aplicarea metodei generalizate a celor mai mici pătrate este
necesară estimarea matricei V. Deoarece V este o matrice simetrică de dimensiune
nn rezultă că pentru estimarea matricei Vn,n, este necesar să se determine
147
n 1
n
2
elemente. Or, dimensiunea eşantionului este n, ceea ce înseamnă că este imposibil ca
toate elementele matricei V să fie estimate pe baza datelor de selecţie. De aceea, sunt
cunoscute mai multe metode care oferă estimatori asimptotic consistenţi, sau aproape
consistenţi ai matricei V. În consecinţă, atunci când nu se cunoaşte un estimator
nedeplasat şi consistent al matricei V, estimatorii construiţi pe baza metodei
generalizate a celor mai mici pătrate pierd proprietăţile de a nu fi deplasaţi. Cu toate
acestea, pentru selecţii de volum mare, estimatorii vor păstra proprietăţi similare celor
garantate pentru estimatorii matricei V: vor fi asimptotic consistenţi sau aproape
consistenţi.
8.4. Aplicaţii – testarea fenomenului de autocorelare a
erorilor
8.4.1. Aplicarea testului Durbin – Watson
Modelul linear unifactorial
Pentru exemplificarea procedurii de identificare a fenomenului de autocorelare
a erorilor prin testul Durbin – Watson analizăm legătura dintre veniturile populaţiei şi
volumul economiilor. Datele înregistrate pentru 20 momente diferite de timp sunt
prezentate în tabelul 2-1 şi sunt reluate în tabelul 7-1.
Tabelul 7-1: Autocorelarea erorilor: evoluţia veniturilor populaţiei (X) şi a volumului
economiilor (Y)
t Xt Yt t Xt Yt
1 100 20 11 180 45
2 110 25 12 185 50
3 120 28 13 190 47
4 125 30 14 200 48

148
t Xt Yt t Xt Yt
5 130 33 15 205 52
6 140 35 16 210 58
7 150 36 17 215 54
8 155 42 18 220 55
9 170 44 19 220 58
10 170 42 20 225 60
Modelul unifactorial de regresie lineară este descris prin ecuaţia următoare:
Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, …, 20 7- 15
unde Xt reprezintă veniturile populaţiei, iar Yt – volumul economiilor.
Estimatorii ecuaţiei (7- 15), calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, sunt
prezentaţi în ecuaţia următoare:
Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt.
Calculele pentru testarea autocorelării erorilor (testul Durbin-Watson) sunt
prezentate în tabelul 7-2.
Tabelul 7-2: Calculele de bază pentru aplicarea testului Durbin – Watson, modelul
unifactorial
t Xt Yt Ŷt ut
2
u (ut – ut-1)
t
2
1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 –
2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 4.4302
3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 0.0110
4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 0.3051
5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 2.4099
6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 0.8014
7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 3.5918
8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 20.7243
9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 5.4887
10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 4.0000
11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 0.0110

t Xt Yt Ŷt ut
2
u (ut – ut-1)
t
2
12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 12.6195
13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 19.7811
14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 3.5918
15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 6.5147
16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 20.7243
17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 29.6764
18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 0.2003
19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 9.0000
20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 0.3051
∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 144.1869
Potrivit testului Durbin – Watson, se calculează statistica dw:
n
t
t2
dw n
u u
t1
u
2
t
t1
2
144.
1869
74.
3359
1.
94
149
Deoarece dw < 2, înseamnă că nu există riscul unei autocorelări negative,
astfel încât, în asemenea situaţii se justifică testul unilateral Durbin – Watson pentru
autocorelarea pozitivă a erorilor: se acceptă ipoteza lipsei de autocorelare a erorilor
dacă dw > dU. Pentru testul unilateral valorile din tabelul Durbin-Watson, în cazul
k = 1 şi n = 20 sunt: dL = 1.20 şi dU = 1.41. Deoarece dw = 1.94 > 1.41 = dU se
acceptă ipoteza nulă, H0: lipsa autocorelării de ordinul I al erorilor.
Modelul linear multifactorial
Pentru testarea prezenţei fenomenului de autocorelare de gradul I a erorilor în
cazul unui model multifactorial de regresie lineară este analizat următorul exemplu
numeric.
Să presupunem că printr-o cercetare selectivă s-au obţinut datele prezentate în
tabelul 7-3 privind dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a
dobânzii pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt) în 25 intervale succesive
de timp (datele reprezintă modificările procentuale ale variabilelor analizate şi sunt

150
preluate din tabelul 2-2). Admitem ipoteza că dinamica depozitelor bancare
depinde linear de dinamica veniturilor şi de evoluţia ratei reale a dobânzii pasive,
astfel încât modelul econometric, construit pe baza acestor ipoteze este:
Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et,
Modelul a fost calculat prin metoda celor mai mici pătrate şi au fost
determinate următoarele valori ale estimatorilor Â:
În aceste condiţii:
 = (X'X)-1X'Y =
3.
78693
0.
75722
0.
860999
Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t.
pentru t = 1, 2, …, 25 şi ut = Yt – Ŷt.
Tabelul 7-3: Calculele de bază pentru aplicarea testului Durbin – Watson, modelul
multifactorial
t X1t X2t Yt Ŷt ut ut 2 (ut-ut-1) 2
1 0.5 4.1 0.3 0.1218 0.1782 0.0318 –
2 1.0 4.2 0.8 0.5865 0.2135 0.0456 0.0012
3 1.2 4.0 0.3 0.5657 -0.2657 0.0706 0.2297
4 -0.3 4.1 -0.5 -0.4840 -0.0160 0.0003 0.0624
5 2.1 3.8 0.8 1.0750 -0.2750 0.0756 0.0671
6 2.3 4.2 1.4 1.5709 -0.1709 0.0292 0.0108
7 1.2 3.8 0.2 0.3935 -0.1935 0.0375 0.0005
8 1.0 3.9 0.7 0.3282 0.3718 0.1382 0.3196
9 0.8 3.9 0.0 0.1767 -0.1767 0.0312 0.3009
10 0.0 3.8 -0.7 -0.5151 -0.1849 0.0342 0.0001
11 -0.6 3.8 -1.0 -0.9695 -0.0305 0.0009 0.0238
12 2.2 3.8 1.3 1.1507 0.1493 0.0223 0.0323
13 1.4 4.2 1.0 0.8894 0.1106 0.0122 0.0015
14 2.0 3.9 1.2 1.0854 0.1146 0.0131 0.0000
15 2.3 4.2 1.7 1.5709 0.1291 0.0167 0.0002

t X1t X2t Yt Ŷt ut ut 2 (ut-ut-1) 2
16 1.1 3.8 0.4 0.3178 0.0822 0.0068 0.0022
17 0.8 3.9 0.6 0.1767 0.4233 0.1791 0.1163
18 -0.5 4.1 -0.9 -0.6354 -0.2646 0.0700 0.4731
19 -1.4 3.9 -1.4 -1.4891 0.0891 0.0079 0.1251
20 0.2 4.1 -0.2 -0.1054 -0.0946 0.0090 0.0338
21 1.8 4.2 1.5 1.1923 0.3077 0.0947 0.1619
22 2.2 3.8 0.9 1.1507 -0.2507 0.0629 0.3119
23 2.1 4.1 1.0 1.3333 -0.3333 0.1111 0.0068
24 1.5 4.2 0.7 0.9651 -0.2651 0.0703 0.0047
25 1.8 3.8 1.2 0.8479 0.3521 0.1240 0.3810
∑ 26.7 99.6 11.3 11.3 0.0000 1.2952 2.6669
Potrivit testului Durbin – Watson, se calculează pe baza relaţiei statistica dw:
n
u
t
t2
dw n
t1
u
u
2
t
t1
2
2.
6669
1.
2952
2.
059
151
La fel ca în cazul modelului unifactorial de regresie lineară, pentru a testa
ipoteza H0: ρ = 0 (lipsa autocorelării erorilor), contra ipotezei alternative H1: ρ ≠ 0
(prezenţa fenomenului de autocorelare a erorilor) se aplică testul Durbin – Watson
unilateral. Din tabelele testului bilateral Durbin – Watson, pentru un nivel de
semnificaţie ales la 5%, volumul eşantionului n = 25 şi numărul de variabile
explicative din model k = 2, se identifică valorile critice dL = 1.21 şi dU = 1.55.
Deoarece dw = 2.059 se găseşte între dU = 1.55 şi 4 – dU = 2.45, se acceptă ipoteza
nulă, H0: lipsa autocorelării de ordinul I al erorilor.

9. TESTAREA NORMALITĂŢII ERORILOR
Normalitatea distribuţiei erorilor reprezintă o condiţie esenţială pentru
evaluarea calităţii estimatorilor calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate, în cazul
modelelor lineare de regresie. Aceasta deoarece majoritatea rezultatelor referitoare la
regresia lineară au fost dezvoltate pornind de la ipoteza normalităţii distribuţiei
erorilor.
9.1. Consecinţe ale nerespectării ipotezei de normalitate a
erorilor
Dacă erorile din modelul linear de regresie nu sunt repartizate normal,
estimatorii calculaţi prin metoda celor mai mici pătrate nu sunt estimatori de maximă
verosimilitate. De asemenea, estimatorii nu vor urma o lege de distribuţie normală,
deci testele de semnificaţie prezentate, bazate pe statistica t-Student nu sunt valide.
Aceasta deoarece, prin definiţie, statistica t-Student se construieşte prin raportarea
estimatorului – ca variabilă aleatoare repartizată normal la radical dintr-o variabilă
aleatoare repartizată χ 2 , divizată prin numărul gradelor de independenţă.
Mai mult, testele uzuale privind heteroscedasticitatea erorilor nu sunt valide,
deoarece pornesc de la aceeaşi ipoteză. În schimb, estimatorii rămân nedeplasaţi,
deoarece în demonstrarea proprietăţii respective nu a fost utilizată ipoteza de
normalitate a erorilor. În sinteză, consecinţele nerespectării ipotezei de normalitate
sunt următoarele:

Consecinţe ale nerespectării ipotezei de normalitate a erorilor
a. Estimatorii parametrilor din model sunt nedeplasaţi şi consistenţi.
b. Estimatorii parametrilor din model nu sunt eficienţi.
c. Estimatorii parametrilor din model nu au proprietatea de maximă verosimilitate.
d. Testul t statistic (Student) aplicat pentru analiza semnificaţiei estimatorilor nu este
valid.
9.2. Testul Jarque-Bera
153
Unul dintre cele mai cunoscute teste privind normalitatea erorilor este testul
Jarque-Bera, test care foloseşte momentele centrate ale reziduurilor pentru a estima
distribuţia erorilor. Theil (1971) a demonstrat că dacă elementele vectorului  sunt
estimatori consistenţi ai parametrilor ecuaţiei de regresie lineară, atunci un estimator
nedeplasat pentru momentul centrat de ordinul r al erorilor, construit pornind de la
reziduurile din ecuaţia de regresie este μr, calculat astfel:
μ
r
n
t1
n
u
r
t
Pentru analiza normalităţii în cazul distribuţiei erorilor este utilizat testul
Jarque-Bera aplicat asupra reziduurilor din ecuaţia de regresie. Se porneşte de la
observaţia că pentru distribuţia normală, asimetria S (skewness) este zero, iar
coeficientul de aplatizare este 3.
În forma consacrată a testului Jarque-Bera (Bera A, Jarque C., 1981 şi 1982) 56
se utilizează coeficientul de asimetrie (S) calculat astfel:
2
S
μ
μ
2
3
3
2
56 Bera A., Jarque C., 1981, Efficient Tests for Normality, Heteroscedasticity, and Serial Independence
of Regression Residuals: monte Carlo Evidence, în Economics Letters, 7, pp. 313-318 şi Bera A.,
Jarque C., 1982, Model Specification Tests: A Simultaneous Approach, în Journal of Econometrics, 20,
pp. 59-82

şi coeficientul de aplatizare K (kurtosis) determinat pe baza relaţiei:
μ
K
μ
4
2
2
Testul Jarque-Bera porneşte de la statistica:
2 K 3
2 S
JB n
6 24
Ipoteza nulă se formulează astfel:
H0: S = 0 şi K = 3,
(parametrul S este comparat cu zero, iar coeficientul de aplatizare este comparat cu 3).
Sub ipoteza nulă, statistica JB urmează o distribuţie χ 2 cu două grade de libertate.
Dacă
JB < χ 2 (2),
atunci, sub presupunerea că toate celelalte ipoteze specifice modelului de regresie
lineară sunt respectate, ipoteza nulă
H0: S = 0 şi K = 3
nu este respinsă, pentru un prag de semnificaţie α.
Pentru reziduurile din ecuaţia de regresie, statistica JB se construieşte pornind
de la următoarele calcule 57 :
respectiv
8- 1
n
1 3
u
t
n t1
S
8- 2
3
n
1 2 2
u
t
n t1
n
1
4
u
t
n t 1
K
8- 3
n
2
1
2
u
t
n t 1
57 Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge University Press,
pag.454-455.

155
În aplicarea statisticii JB trebuie să se ţină seama de faptul că testele de acest
tip sunt asimptotice, astfel încât interpretarea rezultatelor are sens doar pentru
dimensiuni mari ale eşantionului.
9.3. Atenuarea consecinţelor non-normalităţii distribuţiei
erorilor
Se demonstrează 58 că testele bazate pe parametrii S şi K sunt foarte sensibile
la prezenţă punctelor aberante (outliers). De aceea, prima reacţie la respingerea
statistică a ipotezei nule (normalitatea distribuţiei) ar trebui să fie căutarea în seriile de
date a unor asemenea valori. Dacă non-normalitatea aparentă este datorată existenţei
punctelor de acest tip, atunci problema se rezolvă prin explicarea prezenţei punctelor
respective.
Atunci când ipoteza de normalitate a distribuţiei erorilor este invalidată, de
obicei se aplică anumite tehnici de transformare a seriilor de date Yt şi/sau Xt.
Cea mai utilizată transformare în modelarea econometrică este cea
logaritmică. Pe lângă obţinerea normalităţii erorilor, transformarea prin logaritmare în
baza e poate duce la stabilizarea dispersiei în cazul prezenţei fenomenului de
heteroscedasticitate a erorilor. De asemenea, printr-o transformare de acest tip pot fi
definite anumite concepte economice, aşa cum sunt ritmul de creştere, sau
elasticitatea.
Cea mai cunoscută aplicaţie de acest tip este aproximarea ritmului de creştere
prin diferenţă de logaritmi naturali 59 :
ln X
t
1
ln X
t
Xt
ln
X
1
t
ln( 1
r)
r ,
adică, r – ritmul de creştere a unei variabile poate fi aproximat prin diferenţa de
logaritmi naturali calculaţi pentru variabila respectivă.
58 Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti, pag. 211-213
59 Ecuaţia prezentată se bazează pe relaţia: dacă r este relativ mic, atunci (1 + r) t ≈ e rt .

9.4. Exemple de calcul
9.4.1. Modelul linear unifactorial
Pentru modelul linear unifactorial descris în capitolul II, calculele elementelor
necesare pentru testarea normalităţii distribuţiei erorilor se bazează pe elementele
prezentate în tabelul 8-1.
Tabelul 8-1: Elemente de bază pentru calculul normalităţii erorilor în modelul linear
unifactorial
t ut 2
u
t
1 -2.5441 6.4723 -16.4661 41.8909
2 -0.4393 0.1930 -0.0848 0.0372
3 -0.3345 0.1119 -0.0374 0.0125
4 0.2179 0.0475 0.0103 0.0023
5 1.7703 3.1340 5.5483 9.8222
6 0.8751 0.7658 0.6702 0.5865
7 -1.0201 1.0406 -1.0615 1.0828
8 3.5323 12.4773 44.0738 155.6829
9 1.1895 1.4150 1.6831 2.0021
10 -0.8105 0.6569 -0.5324 0.4315
11 -0.7057 0.4980 -0.3514 0.2480
12 2.8467 8.1038 23.0693 65.6717
13 -1.6009 2.5628 -4.1028 6.5681
14 -3.4961 12.2226 -42.7312 149.3917
15 -0.9437 0.8905 -0.8404 0.7931
16 3.6087 13.0228 46.9957 169.5943
17 -1.8389 3.3815 -6.2182 11.4345
18 -2.2865 5.2280 -11.9538 27.3321
19 0.7135 0.5091 0.3633 0.2592
20 1.2659 1.6025 2.0287 2.5681
3
u t
4
u t

t ut 2
u
t
Suma 0.0000 74.3359 40.0629 645.4116
Pe baza datelor din tabel se calculează coeficientul de asimetrie S:
n
1
3
u
t
n t 1
S
3
n
1 2 2
u
t
n
t1
2.
003145
3.
716795
3
2
1
20
0.
2795
1
20
De asemenea, se calculează parametrul K:
40.
0629
74.
3359
n
1 4
1 u
t 645.
4116
n
K t1
20
n
2
1 2
1
u
74.
3359
t
n t1
20
32.
2706 32.
2706
2.
3360
2
3.
7168 13.
8146
3
2
2
Pornind de la aceste elemente, statistica Jarque-Bera se calculează astfel:
2 S K 3
JB n
6 24
2 0. 2795 2.
3360 3
20
6 24
20
0.
0130 0.
0184 0.
2
628
2
3
u t
4
u t
157
Din tabelul distribuţiei χ 2 cu două grade de libertate, se identifică, pentru
χ 2
; 0.
05
2 5.
. Deoarece
α = 0.05, 99
JB χ , nu se respinge ipoteza nulă H0: S = 0 şi
2
2;
0.
05
K = 3. Adică, acceptăm ipoteza distribuţiei normale a erorilor.
9.4.2. Modelul linear multifactorial
Pentru modelul multifactorial descris în capitolul II, calculele privind
normalitatea distribuţiei erorilor se desfăşoară în mod similar.

Tabelul 8-2: Elemente de bază pentru calculul normalităţii erorilor în modelul linear
multifactorial
t ut 2
u
t
3
u t
4
u t
1 0.1782 0.0318 0.0057 0.0010
2 0.2135 0.0456 0.0097 0.0021
3 -0.2657 0.0706 -0.0188 0.0050
4 -0.0160 0.0003 0.0000 0.0000
5 -0.2750 0.0756 -0.0208 0.0057
6 -0.1709 0.0292 -0.0050 0.0009
7 -0.1935 0.0375 -0.0072 0.0014
8 0.3718 0.1382 0.0514 0.0191
9 -0.1767 0.0312 -0.0055 0.0010
10 -0.1849 0.0342 -0.0063 0.0012
11 -0.0305 0.0009 0.0000 0.0000
12 0.1493 0.0223 0.0033 0.0005
13 0.1106 0.0122 0.0014 0.0001
14 0.1146 0.0131 0.0015 0.0002
15 0.1291 0.0167 0.0022 0.0003
16 0.0822 0.0068 0.0006 0.0000
17 0.4233 0.1791 0.0758 0.0321
18 -0.2646 0.0700 -0.0185 0.0049
19 0.0891 0.0079 0.0007 0.0001
20 -0.0946 0.0090 -0.0008 0.0001
21 0.3077 0.0947 0.0291 0.0090
22 -0.2507 0.0629 -0.0158 0.0040
23 -0.3333 0.1111 -0.0370 0.0123
24 -0.2651 0.0703 -0.0186 0.0049
25 0.3521 0.1240 0.0437 0.0154
∑ 0.0000 1.2952 0.0706 0.1212
Pe baza acestor elemente se calculează parametrii S şi K, astfel:

n
1
3
u 1
0.
0706
t
n
S
t1
25
3
3
n
1 2 1
2
2
u
1.
2952
t
n
t 1 25
0.
002824 0.
002824
0.
2395
3
0.
01179
2 0.
0518
De asemenea, se calculează parametrul K:
n
1 4 1
u
t 0.
1212
n
K t1
25
n
2
2
1 2
1
u
1.
2952
t
n t1
25
0.
004848 0.
004848
1.
8090
2
0.
0518 0.
00268
Pornind de la aceste elemente, statistica Jarque-Bera se calculează astfel:
K 3
2 S
JB n
6 24
1. 8090 3
2 0. 2395
25
6 24
25
0. 0096 0.
0591
1.
7175
2
2
159
Din tabelul distribuţiei χ 2 cu două grade de libertate, se identifică, pentru
χ 2
; 0.
05
2 5.
. Deoarece
α = 0.05, 99
JB χ , nu se respinge ipoteza nulă H0: S = 0 şi
2
2;
0.
05
K = 3. Adică, acceptăm ipoteza distribuţiei normale a erorilor.
REZUMAT
Testarea semnificaţiei estimatorilor înseamnă evaluarea riscului ca parametrii să fie
zero (ipoteza nulă, notată H0) şi, alternativ, a gradului de încredere în valorile
estimate, grad determinat ca fiind complementar riscului evaluat prin ipoteza nulă.
Un model este cu atât mai bun cu cât explică mai mult din variaţia lui Y, pentru
întreg eşantionul analizat. Prin urmare acurateţea ajustării testează capacitatea

modelului de a explica variaţia edogenei reprezentate de Y.
Specificarea modelului multifactorial presupune analiza admiterii în model a unor
variabile suplimentare şi presupune testarea dacă prin includerea unei (unor) variabile
suplimentare suma pătratelor reziduurilor scade mai repede decât numărul gradelor de
libertate şi dacă din punct de vedere econometric se justifică reţinerea în model a
variabilei (variabilelor) respective.
Analiza erorilor specifice modelelor de regresie presupune testarea
heteroscedasticităţii, autocorelării, şi distribuţiei normale a erorilor.
TERMENI-CHEIE
Teste de semnificaţie a estimatorilor
Acurateţea ajustării
Coeficientul de determinare
Criterii de specificare a modelului multifactorial
Criteriul informaţional Akaike (AIC)
Criteriul informaţional Schwartz (BIC)
Multicoliniaritatea
Heteroscedasticitatea erorilor
Atenuarea heteroscedasticităţii
Testul White
Autocorelarea erorilor
Testul Durbin-Watson
Distribuţia normală a erorilor
Testul Jarque-Bera
ÎNVĂȚARE NR. 2
TEMA DE CONTROL A UNITĂȚII DE
1. Ce se înţelege prin teste de semnificaţie?
2. Ce se înţelege prin acurateţea ajustării?
3. Când se justifică introducerea în model a unei variabile suplimentare?
4. Ce se înţelege prin heteroscedasticitatea erorilor?

5. Care sunt avantajele care derivă din distribuţia normală a erorilor?
6. De ce este de dorit evitarea autocorelării erorilor?
Testul de autoevaluare nr. 2
1. Dispersia estimatorilor este:
a) o măsură a tendinţei centrale
b) o măsură a variaţiei
Barem
Acordat/Realizat
c) o măsură a încrederii în coeficienţii ecuaţiei de regresie
Argumentaţi răspunsul
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
2 pct/........
2. Pentru specificarea modelului multifactorial se utilizeaza :
a) criterul informational Akaike
b) testul White
c) testul Durbin-Wantson
d) testul Jaques-Bera
Argumentaţi răspunsul
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
161

..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
1pct/........
4. Ce se inţelege prin multicoliniaritate?
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
5. Ce se inţelege prin autocorelarea erorilor?
2 pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
6. Ce se inţelege prin coeficientul de determinare corectat ?
2 pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
2 pct/........

Se acorda 1 pct. din oficiu. Total.....
163
BIBLIOGRAFIA SPECIFICĂ UNITĂȚII DE
ÎNVĂȚARE NR. 2
Ailenei D., 1999, Piaţa ca spaţiu economic, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Ailenei D., 2002, Economia sectorului public, Editura Brent, Bucureşti
Bera A., Jarque C., 1981, Efficient Tests for Normality, Heteroscedasticity, and Serial
Independence of Regression Residuals: Monte Carlo Evidence, în Economics
Letters, 7, pp. 313-318.
Bera A., Jarque C., 1982, Model Specification Tests: A Simultaneous Approach, în
Journal of Econometrics, 20, pp. 59-82.
Bollerslev T., Engle R.F., Nelson D.B., 1994, ARCH Models, Capitolul 49 din
Handbook of Econometrics, Volume 4, North-Holland.
Bourbonnais R., 1997, Econométrie. Cours et exercises corrigés, Edition Dunod,
Paris
Box G.E.P., Jenkins G.M., 1976, Time Series Analysis: Forecasting and Control,
Revised Edition, Holden-Day.
Breusch T., 1978, Testing foe autocorelation in dinamic linear models, în Australian
Economic Papers, 17, pag. 334-355
Brillet J.-L, 1989, Techiques de modelisation, Collection ENSAE (École Nationale de
la Statistique et de l'Administration Économique), Paris
Cochrane D., Orcutt G.H., 1949, Application of Least Squares Regressions to
Relantionships Containing Autocorrelated Error Terms, în Journal of
American Statistic Association, vol. 44, pag. 32-61
Constantin D.-L., 1998, Economie regională, Editura Oscar Print, Bucureşti

Dickey D.A., Fuller W.A., 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive
Time Series with a Unit Root, în Journal of the American Statistical
Association, 74, 427–431.
Dobrescu E., 1999, Macromodels of the Romanian Transition Economy (fourth
version), în AMFET - Modeling Economies in Transition, vol.I, University of
Lodz (edited by W.Welfe), Lodz, Poland
Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura
Economică, Bucureşti
Engle R.F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of
Variance of United Kingdom Inflation, în Econometrica, Vol. 50 (July), pag.
987-1007
Engle R.F., Granger C.W.J., 1987, Co-integration and Error Correction:
Representation, Estimation, and Testing, în Econometrica, 55, pag. 251-276.
Fedorenko N.P., Kantorovici L.V. (ş.a.), 1979, Dicţionar de matematică şi cibernetică
în economie, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti
Godfrey L.G., 1988, Specification Tests in Econometrics, Cambridge University
Press.
Granger C.W.J., 1969, Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods, în Econometrica, 37, pag. 424-438.
Greene W.H., 2000, Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.
Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~
bhansen
Harvey A.C., 1993, Time Series Models, 2nd edition, MIT Press.
Hausman J.A., 1978, Specification Tests in Econometrics, în Econometrica, 46, 1251–
1272.
Hildreth G., Lu J.Y, 1960, Demand Relations with Autocorrelated Disturbances, în
Michigan State University Agricultural Experiment Station, Tehnical Bulletin
276, November
Iancu A., 1998, Bazele teoriei politicii economice, Editura All & Beck şi IRLI,
Bucureşti
Johnston J., DiNardo J.E., 1997, Econometric Methods, 4th edition, McGraw-Hill.
Jula D., 2002, Modelare şi prognoză macroeconomică, Editura Estfalia Bucureşti

Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti
Jula D., Ailenei D., Jula N., Gârbovean A., Economia dezvoltării, Editura Viitorul
Românesc, Bucureşti
Jula D., Jula N., 1999, Economia sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Jula N., 1999, Teorii şi modele privind piaţa muncii. Piaţa muncii în România,
Editura Brent¸ Bucureşti
Jula N., 2003, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar – monetare. Elemente de econometrie
aplicată, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2006, Modelare economică. Econometrie aplicată, Editura Mustang,
Bucureşti
Kane E.J., 1971, Statistique économique et économetrie, Armand Colin, Paris
Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan
Maddala G.S, 2001, Econometrics, New York: McGraw-Hill
Malinvaud E., 1981, Méthodes statistiques de l'économetrie, Edition Dunod, Paris
Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică,
Editura Economică, Bucureşti
Pârţachi I., Brăilă A., Şişcanu N., 1999, Econometrie aplicată, A.S.E.M., Chişinău
Pecican E.-S., 1994, Econometrie, Editura All, Bucureşti
Pecican E.-S., 1996, Macroeconometrie - Politici economice guvernamentale şi
econometrie, Editura Economică, Bucureşti
Phillips P.C.B., Perron P., 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, în
Biometrika, 75, pag. 335-346.
Pindyck R.S., Rubinfeld D.L, 1991, Econometric Models and Economic Forecasts,
McGraw-Hill, Inc.
Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press,
Harcourt Brace College Publishers, Orlando, USA
Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge
University Press
Tănăsoiu O., Iacob A.-I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti
Taşnadi Al., 2001, Econometrie aplicată, Editura ASE, Bucureşti
165

Theil H., 1971, Principles of Econometrics, John Wiley and Sons, New York
Thomas R.-L, 1993, Introductory Econometrics: Theory and Applications, 2nd
edition, Harlow, Longman
Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow,
Longman
Vangrevelinghe G., 1973, Econométrie, Hermann, Paris
White H., 1980, A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct
Test for Heteroskedasticity, în Econometrica, 48, pag. 817-838.
Zaman C., 1998, Econometrie, Pro Democraţia, Bucureşti
Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti
Răspunsurile la Testul de autoevaluare nr. 2: 1 b; 2 a; pentru 3, 4, 5, 6 – vezi
definiţiile din cadrul acestei unităţi;

Unitatea de învăţare 3: “ELEMENTE SPECIFICE
DE MODELARE A DATELOR ÎN ECONOMIE “
Unitatea de învăţământ 3 grupează temele necesare asimilării unor cunoştinţelor şi
competenţelor specifice avansate legate de serii de timp, probleme de staţionaritate şi
cointegrare, precum şi elemente specifice de utilizare a modelelor econometrice în
prognozele economice
Timpul de studiu individual estimat: 9 h
Obiective specifice:
Înţelegerea conceptelor privind seriile de timp
Înţelegerea rolului staţionarităţii în modelele econometrice
Testarea staţionarităţii seriilor de date economice
Înţelegerea conceptului de cointegrarea şi a rolului acestuia în cazul seriilor de
timp nestaţionare
Testarea cointegrării seriilor de timp
Construirea modelelor liniare unifactoriale şi multifactoriale
Prognoza pe baza modelelor unifactorialã şi multifactoriale
Cuprins:
Serii de timp
Staţionaritatea
Cointegrarea
Utilizarea modelelor econometrice în prognoză
Rezumat; Termeni–cheie; Verificarea cunostintelor; Teste de autoevaluare;
Bibliografie

10. SERII DE TIMP
10.1. Introducere în prognoza seriilor de timp
Pentru prezentarea modului efectiv în care se poate realiza o previziune, pe
termen scurt, precizăm, mai întâi, câteva elemente metodologice:
Numim serie cronologică un şir de valori pe care le înregistrează o variabilă la
momente sau la intervale de timp succesive. Seriile cronologice (sau de timp) se pot
prezenta prin valori înregistrate pentru variabila analizată la anumite momente date de
timp sau prin informaţii privind fluxurile (modificările) înregistrate într-un interval de
timp.
Componentele unei serii cronologice sunt:
a) tendinţa generală de evoluţie a variabilei analizate sau trendul - notată ft;
b) componenta sezonieră - notată st;
c) variaţia accidentală, cu caracter imprevizibil - notată et.
Notând yt valoarea înregistrată pentru variabila observată la momentul t, există
două scheme fundamentale de descompunere a acestei variabile pe componente:
- descompunere aditivă:
yt = f t + st
+ et
,
- descompunere multiplicativă:
t = 1,2,..., T
y = f (1+
st
) (1+
et
),
t
t
t = 1,2,..., T
10.2 Determinarea tendinţei generale (trendului)
Dintre tehnicile de identificare a tendinţei generale de evoluţie a variabilei
analizate vor fi prezentate:
a.1.) metoda mediilor mobile;
a.2.) metoda celor mai mici pătrate.
a.1.) Metoda mediilor mobile
Această metodă constă în înlocuirea valorilor observate efectiv yt cu valori mt
calculate ca medie aritmetică a unui număr dat de înregistrări situate simetric faţă de yt.
De exemplu, valorile lunare înregistrate pentru o variabilă y în decursul unui an (y1, y2,
..., y12) sunt înlocuite cu:

y1+
y2
+ y3
m2
=
3
y2
+ y3
+ y4
m3
=
3
m
11
=
y
10
+ y
3
11
+ y
12
169
Dacă seria iniţială cuprinde T observaţii, seria calculată în acest mod (ca medie
aritmetică simplă a 3 înregistrări consecutive) va conţine T - 2 valori.
Prin reprezentarea grafică a acestor puncte se obţine o primă imagine a tendinţei
de evoluţie a fenomenului analizat.
Dacă netezirea valorilor variabilei analizate realizată prin aplicarea procedeului
prezentat nu este satisfăcătoare (nu permite relevarea unei tendinţe de evoluţie, în ipoteza
că o astfel de tendinţă există), metoda mediilor mobile se poate aplica în iteraţii
succesive.
Pentru exemplificarea modului de calcul să considerăm că vânzările trimestriale
ale unei societăi comerciale care are ca principală activitate realizarea unor produse
specifice ramurii industriei bunurilor de consum înregistrează următoarele valori:
Tabelul nr. 1
Volumul vânzărilor (mii u.m.)
Anul Trim. I Trim. II Trim. III Trim. IV
1 900 1100 1400 1200
2 950 1150 1500 1300
3 1025 1200 1550 1350
4 1150 1300 1600 1450
5 1250 1450 1800 1500
Reprezentarea grafică a seriei este prezentată în figura următoare:
Volumul trimestrial al vânzărilor

.
1900
1700
1500
1300
1100
900
900
1100
1400
1200
950
1150
1500
1300
1025
1200
1550
1350
1150
1300
1600
1450
1250
1450
1800
700
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Aşa cum sugerează graficul precedent, vânzările de mărfuri înregistrează o
tendinţă uşoară de creştere, cu puternice variaţii sezoniere.
Determinarea tendinţei de evoluţie prin aplicarea de două ori a metodei mediilor
mobile este prezentată în tabelul nr. 2 şi grafic în figura următoare.
Tabelul nr. 2
Nr.
crt.
1500
Anul Trim. Simbol Valori Medii
mobile (1)
1 1 I y1 900 - -
2 II y2 1100 1133.3 -
Medii
mobile (2)
3 III y3 1400 1233.3 1183.3
4 IV y4 1200 1183.3 1172.2
5 2 I y5 950 1100.0 1161.1
6 II y6 1150 1200.0 1205.6
7 III y7 1500 1316.7 1263.9
8 IV y8 1300 1275.0 1255.6
9 3 I y9 1025 1175.0 1236.1
10 II y10 1200 1258.3 1266.7
11 III y11 1550 1366.7 1325.0
12 IV y12 1350 1350.0 1327.8
13 4 I y13 1150 1266.7 1322.2

1900
1700
1500
1300
1100
900
700
Nr.
crt.
Anul Trim. Simbol Valori Medii
mobile (1)
Medii
mobile (2)
14 II y14 1300 1350.0 1355.6
15 III y15 1600 1450.0 1411.1
16 IV y16 1450 1433.3 1422.2
17 5 I y17 1250 1383.3 1438.9
18 II y18 1450 1500.0 1488.9
19 III y19 1800 1583.3 -
20 IV y20 1500 - -
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Volum vanzari Medii mobile 1 Medii mobile 2
171
O variantă simplificată a acestei tehnici de analiză a tendinţei de evoluţie a unei
serii cronologice o constituie metoda mediilor eşalonate. Aceasta constă tot în calculul
unor medii aritmetice pornind de la datele iniţiale, dar elementele avute în vedere pentru
calculul fiecărei medii sunt distincte între ele. Pentru seria prezentată se pot reţine, de
exemplu:
y1+
y2
+ y3
m2
=
3
y4
+ y5
+ y6
m5
=
3
y7
+ y8
+ y9
m8
=
3
y10+
y11+
y
m = 11
3
sau, în alte situaţii, se pot calcula, medii anuale.
12

Metoda mediilor eşalonate este indicată în cazul seriilor dinamice cu un număr
mare de observaţii statistice.
a.2.) Metoda celor mai mici pătrate.
Prin aplicarea uneia dintre metodele prezentate se poate observa tendinţa de
evoluţie în timp a valorilor variabilei analizate şi, totodată, se poate emite o ipoteză
asupra formei acestei evoluţii (liniară, exponenţială, logistică etc).
În cazul analizat, graficul realizat sugerează existenţa unui trend având forma
unei funcţii liniare, fără a permite însă determinarea coeficienţilor funcţiei respective.
Metoda celor mai mici pătrate realizează estimarea parametrilor unei funcţii
analitice care să modeleze evoluţia fenomenului analizat, astfel încât suma pătratelor
abaterilor dintre valorile înregistrate şi cele calculate analitic, pornind de la funcţia
respectivă, să fie minime.
Să presupunem că tendinţa de creştere a vânzărilor, abstracţie făcând de evoluţia
sezonieră, poate fi modelată printr-o funcţie liniară:
Yt = a
t + b,
deci în acest caz, ft = Yt.
t = 1,2,...T
În vederea estimării parametrilor a şi b se procedează astfel: pentru fiecare
moment t se determină diferenţa dintre valorile observate (yt) şi cele calculate (Yt)
potrivit relaţiei de mai sus. Suma pătratelor acestor abateri este o funcţie care depinde de
doi parametrii (a şi b).
T
T
f t
t=
1
t=
1
2 2
a, b = yt
-Y
t = y - a t
- b
O condiţie necesară pentru ca această funcţie să atingă valoarea minimă este ca
derivatele parţiale să fie nule:
f
a
f
b
= -2
= -2
T
t=
1
T
t=
1
y - a
t - b
t
t=
0
y - a
t - b
0
t
Se demonstrează că această condiţie, în cazul analizat, este şi suficientă. Sistemul
de mai sus este echivalent cu:

T
T
a t
b T
= Y
t
t=
1
t=
1
T T T
a 2
t +
b
t = t Yt
t
= 1 t
= 1 t = 1
Pentru exemplul prezentat T = 20 deci:
T
t=
1
T
T (T + 1)
t = = 210
2
2 T (T + 1) (2
T + 1)
t =
t=
1
6
20
Y t = 26125
t = 1
20
t Y t = 291025
t = 1
În aceste condiţii sistemul devine:
210a
20b
26125
2870a
210b
291025
cu soluţiile a = 25.13 şi b = 1042.37
= 2870
173
Aşadar, funcţia liniară care are proprietatea că trece prin norul de puncte
determinat de valorile observate (Yt), astfel încât suma pătratelor abaterilor dintre aceste
puncte şi punctele corespunzătoare de pe dreaptă (având aceeaşi abscisă) să fie minimă
este:
Y t = 25.13 t + 1042.37
Procedeul se aplică în mod similar şi în cazul în care analiza valorilor yt
sugerează o tendinţă de evoluţie pe termen lung neliniară. Evident, dacă aceste puncte
conduc, de exemplu, la considerarea unui model neliniar de tipul: Yt = at 2 + bt + c,
necesitatea minimizării unei funcţii f(a, b ,c) = (yt-Yt) 2 , t variind de la 1 la T, va implica
rezolvarea unui sistem de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute (a, b, c).
Pentru datele analizate în tabelul numărul 1 tendinţa de evoluţie liniară modelată
conform metodologiei prezentate este expusă în tabelul nr.3.

Tabelul nr. 3
Calculul tendinţei generale
Anul Tendinţa generală de evoluţie a vânzărilor
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
1 1067.5 1092.6 1117.8 1142.9
2 1168.0 1193.2 1218.3 1243.4
3 1268.6 1293.7 1318.8 1343.9
4 1369.1 1394.2 1419.3 1444.5
5 1469.6 1494.7 1519.9 1545.0
Calculul tendinţei generale prin metoda celor mai mici pătrate
1800
1600
1400
1200
1000
800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Datele initiale Tendinta de evolutie
10.3. Determinarea componentei sezoniere
Analiza componentei sezoniere a variabilei dinamice va fi realizată în două
variante de descompunere:
b.1.) descompunerea aditivă
b.2.) descompunerea multiplicativă.
Pentru realizarea analizei menţionate, seria de date va fi indexată dublu. Astfel, i
va fi considerat indicele anului, iar j, în cazul prezentat, indicele trimestrului.

= f
+ s
b.1.) Cazul descompunerii aditive e
+
yij ij ij ij
175
Prin una dintre metodele prezentate la punctul anterior se determină trendul.
Considerăm tendinţa generală ca fiind estimată prin metoda celor mai mici pătrate: fij
=Yij. Se calculează abaterile dintre valorile astfel estimate şi valorile înregistrate statistic.
Notăm aceste abateri cu A ij = yij-
Yij
calculează:
Fie N numărul de ani pentru care se dispune de date înregistrate trimestrial. Se
- media valorilor observate pentru fiecare trimestru:
- media generală:
=
A j
A
A =
N
i1
1
N
A
ij
+ A
,
2
j = 1, 2 ,3, 4
+ A
4
3
+ A
Coeficientul aditiv de sezonalitate pentru trimestru j este :
Tabelul nr. 4:
Sj = A j - A
Determinarea componentei sezoniere,
cazul descompunerii aditive Aij = yij - Yij
Anul Componenta sezonieră (aditivă)
4
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
1 -167.5 7.4 282.2 57.1
2 -218.0 -43.2 281.7 56.6
3 -243.6 -93.7 231.2 6.1
4 -219.1 -94.2 180.7 5.5
5 -219.6 -44.7 280.1 -45.0
Media (Aj) -213.6 -53.7 251.2 16.1
Sj -213.6 -53.7 251.2 16.1
Deoarece media generală A este aproximativ zero, vom considera Sj = Aj.

.2.) Cazul descompunerii multiplicative
Se calculează raportul dintre valorile observate yij şi valorile
corespunzătoare calculate pronind de la funcţia de trend
=
adică, se calculează valorile
f
(1+
sij
) (1+
e )
Y ij ij
ij
yij
M ij =
Yij
Se determină:
- media coeficienţilor Mij pentru fiecare trimestru:
- media generală:
N
M ij
j1
M j , j 1,
,
4
N
M 1+
M 2 + M 3+
M =
M
4
4
Pornind de la aceste elemente, se determină coeficientul multiplicativ de
sezonalitate este:
M j
Cj
=
M
Pentru exemplul numeric prezentat, calculele efectuate potrivit metodologiei de
mai sus sunt redate în tabelul următo
Tabelul nr. 5: Determinarea componentei sezoniere, cazul descompunerii multiplicative
Anul Componenta sezonieră (multiplicativă)
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
1 0.8431 1.0067 1.2522 1.0500
2 0.8133 0.9638 1.2312 1.0455
3 0.8080 0.9276 1.1753 1.0045
4 0.8400 0.9324 1.1273 1.0038
5 0.8506 0.9701 1.1843 0.9709
Media (Mj) 0.8310 0.9601 1.1941 1.0149
Cj 0.8310 0.9601 1.1941 1.0149

c) Determinarea variaţiei accidentale
177
Variaţia accidentală, datorată factorilor aleatorii, imprevizibili se calculează, în
cazul descompunerii aditive:
= y
- Y
-S
eij ij ij j
Tabelul nr. 6: Determinarea componentei aleatorii (cazul descompunerii aditive)
Anul Componenta aleatorie aditivă
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
1 46.1 61.1 31.1 41.1
2 -4.5 10.5 30.5 40.5
3 -30.0 -40.0 -20.0 -10.0
4 -5.5 -40.5 -70.5 -10.5
5 -6.1 8.9 28.9 -61.1
În cazul descompunerii multiplicative, relaţia de calcul a variaţiei aleatorii
(accidentale) este:
yij
1+
eij
=
Y ij C
j
Tabelul nr.7: Determinarea componentei aleatorii (cazul descompunerii
multiplicative)
minimă.
Anul Componenta aleatorie multiplicativă
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
1 1.0146 1.0486 1.0489 1.0346
2 0.9788 1.0039 1.0311 1.0302
3 0.9724 0.9661 0.9843 0.9898
4 1.0109 0.9712 0.9441 0.9891
5 1.0236 1.0104 0.9918 0.9566
Se alege tipul de descompunere pentru care variaţia accidentală totală este

Evoluţia viitoare a fenomenelor economice poate fi estimată pornind de la
tendinţa generală şi componenta sezonieră, determinate după una dintre metodele
prezentate. Există metode statistice de calcul a limitelor minime şi maxime între care se
vor încadra, cu o anumită probabilitate, aceste evoluţii în funcţie de variaţia înregistrată a
variabilei aleatoare.
Pentru exemplul considerat, o primă estimare a vânzărilor pentru anul următor (t
= 6) se determină astfel:
- tendinţa de lungă durată (Y6j):
trimestrul I :Y61 = 25.1321+1042.97 = 1570.7
trimestrul II :Y62 = 25.1322+1042.97 = 1595.8
trimestrul III:Y63 = 25.1323+1042.97 = 1621.0
trimestrul IV :Y64 = 25.1324+1042.97 = 1646.1
- componenta sezonieră (s6j):
trimestrul I :s61 = -213.5
trimestrul II :s62 = -53.7
trimestrul III:s63 = 251.2
trimestrul IV :s64 = 16.1
- estimarea vânzărilor trimestriale de mărfuri în unitatea industrială analizată,
pentru anul de prognoză (Y6j + s6j):
trimestrul I : 1570.7 -213.5 = 1357.2
trimestrul II : 1595.8 - 53.7 = 1542.1
trimestrul III: 1621.0 +251.2 = 1872.2
trimestrul IV : 1646.1 + 16.1 = 1662.2
Calculele complete sunt prezentate în tabelul următor:
Tabelul nr.8. Estimarea vânzărilor de mărfuri pentru perioada următoare
(a) Cazul descompunerii aditive
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
Tendinţa generală 1570.1 1595.3 1620.4 1645.5
Componenta sezonieră -213.6 -53.7 251.2 16.1
Total 356.6 1541.6 1871.6 1661.6

(b) Cazul descompunerii multiplicative
Trim.I Trim.II Trim.III Trim.IV
Tendinţa generală 1570.1 1595.3 1620.4 1645.5
Componenta sezonieră 0.8310 0.9601 1.1941 1.0149
Total 1304.7 1531.6 1934.9 1670.0
179
Aceste anticipări ale vânzărilor de mărfuri sunt necesare agentului economic în
vederea încheierii contractelor cu furnizorii de materii prime şi stabilirea clauzelor
contractuale (data livrării şi cantitatea produselor), calculul timpului mediu de
depozitare, al nivelului stocului şi determinarea spaţiului necesar depozitării, analiza
oportunităţii angajării permanente sau atragerea temporară de forţă de muncă doar pentru
sezonul de vârf al producţiei, eşalonarea încasărilor şi cheltuielilor etc.

11. STAŢIONARITATEA
Printre cele mai importante caracteristici stocastice ale unei serii de timp sunt
media şi dispersia. Dacă aceste caracteristici se modifică în timp, seria dinamică este
considerată ca fiind ne-staţionară. Dacă procesul aleator este invariant, seria de timp
este staţionară. Formal, procesul aleator yt este staţionar dacă:
M(yt) = M(yt+m) = μ, t şi m,
cu alte cuvinte, media este constantă şi independentă de timp;
dispersia este finită;
var(yt) < ∞, t
cov(yt, yt+k) = M[(yt – μ)(yt+k – μ)] = γk
covarinaţa este independentă de timp şi nu depinde decât de numărul de decalaje.
În particular,
este dispersia seriei yt.
1. Funcţia de autocorelare
cov(yt, yt) = M[(yt – μ)(yt – μ)] = γ0
Funcţia de autocorelare, notată ρk măsoară corelaţia seriei cu ea însăşi decalată
cu un număr k de perioade. Prin definiţie:
ρ
k
cov
σ
y , y
yt
t
σ
yt
k
tk
Notăm y media seriei calculată pentru n-k perioade, unde n este numărul de
observaţii. Atunci:
ρ
k
Se deduce
unde rezultă:
n
tk
1
n
tk
1
ρ0 = 1 şi ρk = ρ-k
y yy
y
2 y y
y y
t
t
n
tk
tk
1
tk
2
Dacă procesul este staţionar, atunci σ y σ t y , rezultă σ
t
k
y σ y σ y γ
t t
k
t 0 , de
2

echivalent cu
ρ
k
cov
n
y , y
t
γ
0
tk
y t y y tk
y
tk
1
ρ k ,
n
2
y y
t1
unde y este media seriei calculată pentru n perioade.
t
181
Se numeşte zgomot alb un proces staţionar, de medie nulă, pentru care
funcţiile de autocorelare sunt nule, cu excepţia γ0. Dacă, în plus, procesul aleator
urmează o distribuţie normală, se numeşte zgomot alb gaussian.
2. Teste de zgomot alb
Identificarea caracteristicilor aleatoare ale unei serii de timp poate fi realizată
doar dacă seria este staţionară. Studiul de staţionaritate se realizează, în esenţă, pe
baza funcţiilor de autocorelaţie (sau a reprezentării grafice a acestora, denumite
corelograme). O serie de timp este staţionară dacă nu prezintă nici tendinţă, nici
sezonalitate.
2.1. Analiza funcţiilor de autocorelare
Problema care se ridică este aceea de a evalua care sunt termenii ρk
semnificativ diferiţi de zero. Testul pentru un termen ρk este următorul:
H0: ρk = 0
H1: ρk ≠ 0
Se poate utiliza un test fundamentat pe baza statisticii t – Student. De
asemenea, se demonstrează că, dacă dimensiunea eşantionului este suficient de mare
(n > 30), coeficientul ρk tinde asimptotic spre o lege de distribuţie normală, de medie
zero şi abaterea standard
este dat de relaţia:
ρ k
0 t α
1 . Atunci intervalul de încredere pentru coeficientul ρk
n
1
n

unde n este numărul de observaţii, iar t este valoarea statisticii t bilaterale. Dacă ρk
este în afara intervalului de încredere, atunci coeficientul de autocorelare este
semnificativ diferit de zero, cu un prag .
2.2. Testul Box-Pierce
Testul Box-Pierce permite identificarea procesului aleator de tip zgomot alb:
ρk = 0, k. Un proces de tip zgomot alb implică
ρ1 = ρ2 = ρ3 = ... = ρk = 0.
Testul Box-Pierce presupune construirea ipotezelor:
H0: ρ1 = ρ2 = ... = ρk = 0
H1: există cel puţin un ρk semnificativ diferit de zero.
Statistica Box-Pierce este următoarea:
Q n
h
k1
unde h este numărul de întârzieri, k
numărul de observaţii.
ρˆ
2
k
ρˆ – autocorelarea empirică de ordinul k, n –
Statistica Q tinde asimptotic spre o distribuţie 2 cu h grade de libertate. Se
respinge H0 (cu gradul de încredere ), dacă valoarea Q este mai mare decât valoarea
teoretică 2 (cu h grade de libertate).
serii scurte.
Testul este valabil oricare ar fi media seriei, însă este puţin performant pentru
2.3. Testul Ljung-Box
Statistica Ljung-Box (Q * ) are se calculează astfel:
Q
*
n n 2
h
k 1
ρˆ
n
2
k
k
Statistica Ljung-Box este distribuită 2 cu h grade de libertate, iar regula de
decizie este similară testului Q. Proprietăţile asimptotice ale statisticii Q * sunt
superioare statisticii Q.
2.4. Exerciţiu: Simularea şi analiza funcţiilor de autocorelare
Simulăm un proces aleator de tip zgomot alb, între 1990:01 şi 2001:12.
Utilizăm Eviews: GENR Y = NRND

4
2
0
-2
-4
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01
Y
183
Funcţiile de autocorelare simplă (AC) şi parţială (PAC) pentru h = 15
întârzieri sunt obţinute automat în Eviews:
Limitele intervalului de încredere sunt date prin liniile punctate din grafic:
fiecare termen care iese din acest interval este semnificativ diferit de zero la un prag
2
de 5%. Statistica Q este testul Ljung-Box: pentru h = 15, Q = 20.97 < χ = 25,
0.
05;
15

deci acceptăm ipoteza nulă: toţi coeficienţii de autocorelare sunt zero (probabilitatea
critică a testului este c = 0.138 > 0.05, deci se acceptă H0.
Adăugăm o componentă trend la procesul de tip zgomot alb:
GENR YT = Y + @trend(1989:12),
respectiv o componentă sezonieră, aditivă, astfel încât luna august înregistrează valori
mai mici cu 5 decât media seriei:
GENR YS = Y + @SEAS(8)*-5
3. Teste de staţionaritate: Testul Dickey-Fuller 60
Testul Dickey-Fuller permite nu numai detectarea existenţei unei tendinţe
(testul de rădăcină unitate – Unit Root test) ci şi determinarea unei tehnici de
staţionarizare a seriei dinamice. Pentru aceasta, sunt identificate două tipuri de proces
aleatoriu:
– proces TS (trend staţionar – Trend Stationary) care reprezintă un proces nestaţionar
de tip determinist;
– procese DS (staţionar in diferenţe – Differency Stationary) pentru procesele
nestaţionare aleatoare.
60 Bourbonnais R., 2000, Économétrie, 3 e édition, Edition Dunod, pag.229-232.

a) Procesul TS
Un proces TS se scrie:
xt = ft + εt
unde ft este o funcţie polinomială de timp, lineară sau nelineară, iar εt este un proces
staţionar. Procesul TS cel mai simplu este reprezentat de o funcţie polinomială de
gradul I. Procesul TS este denumit linear şi se scrie:
xt = a0 + a1t + εt
185
Procesul TS descris prin ecuaţia precedentă este nestaţionar, deoarece M[xt]
depinde de timp. Dacă sunt cunoscute â0 şi â1, procesul xt poate fi staţionarizat prin
scăderea din valoarea xt a valorii estimate â0 + â1t. În aceste modele, efectul produs de
un şoc (sau mai multe şocuri aleatoare), la un moment oarecare t este tranzitoriu:
modelul fiind determinist, seria se reîntoarce la mişcarea sa pe termen lung, care, în
acest caz, este dreapta de tendinţă. Exemplul poate fi generalizat pentru funcţii
polinomiale de un grad oarecare.
b) Procesul DS
Se numesc DS acele procese aleatoare care pot fi staţionarizate prin utilizarea
unui filtru de diferenţiere:
(1 – L) d xt = β + εt,
unde εt este un proces staţionar, β o constantă reală, L – operatorul de decalaj, iar d
este ordinul filtrului de diferenţiere.
Aceste procese sunt adeseori reprezentate prin utilizarea unui filtru cu
diferenţe de ordinul I (d = 1). Procesul este denumit de ordinul I şi se scrie:
diferite:
(1 – L)xt = β + εt xt = xt-1 + β + εt.
Introducerea constantei β în procesul DS permite definirea a două procese
β = 0: procesul DS este denumit trendless random walk (mers la întâmplare fără
trend) sau random walk with zero drift (mers la întâmplare fără deviere) şi se scrie
xt – xt-1 = εt.
Staţionarizarea unui asemenea proces se realizează prin aplicarea filtrului de
diferenţiere de ordinul I asupra seriei iniţiale:
(1 – L)xt = εt.

β ≠ 0: procesul DS este denumit random walk with drift (mers la întâmplare cu
deviere) şi de scrie:
xt = xt-1 + β + εt.
Staţionarizarea unui asemenea proces este realizată prin utilizarea unui filtru
de diferenţiere de ordinul I:
xt = xt-1 + β + εt (1 – L)xt = β + εt.
Într-un proces de acest tip, un şoc la un moment dat influenţează la infinit valorile
seriei dinamice: efectul unui şoc este permanent şi merge în descreştere.
În concluzie, pentru staţionarizarea unui proces TS, cea mai bună tehnică este
aplicarea metodei celor mai mici pătrate; pentru un proces DS, este necesară aplicarea
unui filtru de diferenţiere. Adică alegerea unui proces DS sau TS pentru structura unei
serii dinamice este importantă în modelare.
c) testul de rădăcină unitate: testul Dickey-Fuller (1979)
Testul Dickey-Fuller (DF) permite evidenţierea caracterului staţionar sau
nestaţionar a unei serii dinamice, prin determinarea tendinţei deterministe sau
aleatoare.
Există trei modele care sunt utilizate pentru construirea acestor teste:
(1) xt = 1xt-1 + εt Model autoregresiv de ordinul 1
(2) xt = 1xt-1 + β + εt Model autoregresiv cu termen liber
(3) xt = 1xt-1 + bt + c + εt Model autoregresiv cu tendinţă
Principiul testului este simplu: se testează ipoteza H0: 1 = 1. Dacă H0 este
reţinută în unul dintre cele trei modele, procesul este nestaţionar.
În modelul (3), dacă se acceptă H1: 1 < 1 şi dacă parametrul b este
semnificativ diferit de zero, atunci procesul este de tip TS (cu trend staţionar) Acest
proces poate fi staţionarizat prin calcularea reziduurilor faţă de tendinţa estimată prin
metoda celor mai mici pătrate.
Regulile obişnuite de inferenţă statistică nu pot fi aplicate pentru testarea
ipotezei H0 (în particular, testul t–Student pentru parametrul 1 nu este valid). De
aceea, Dickey şi Fuller au studiat distribuţia asimptotică a estimatorului 1 sub ipoteza
H0. Cu ajutorul simulării Monte-Carlo, Dickey şi Fuller au tabelat valorile critice

pentru eşantioane de dimensiuni diferite. Pentru raţiuni de ordin statistic, Dickey
şi Fuller au testat valoarea (1 – 1) în locul lui 1. Adică, modelul (1) poate fi scris
sau, echivalent
xt = 1xt-1 + εt xt – xt-1 = 1xt-1 – xt-1 + εt,
Δxt = (1 – 1)xt-1 + εt
Cu alte cuvinte, testul H0: 1 = 1 este echivalent cu H0: (1 – 1) = 0.
Principiile generale ale testelor DF sunt următoarele:
187
Se estimează prin metoda celor mai mici pătrate parametrul 1 din modelele
(1), (2) sau (3). Notăm φ1 estimatorul parametrului 1. Estimarea parametrilor şi a
dispersiei erorilor din modelele prezentate, prin metoda celor mai mici pătrate permite
calcului unei statistici similare testului Student. Notăm tφ valoarea statisticii calculate.
Dacă tφ > ttab, atunci se acceptă ipoteza H0: există o rădăcină unitate în seria de timp,
cu alte cuvinte, seria nu este staţionară. Este posibil să se calculeze, de asemenea,
testul de staţionaritate prin utilizarea expresiei
n(φ1 – 1)
unde n este dimensiune eşantionului (numărul de observaţii). Dacă
n(φ1 – 1) > n(φ1 – 1)tab
se acceptă ipoteza H0, adică se acceptă existenţa rădăcinii unitate.
d) Testul Dickey–Fuller amplificat (Augmented Dickey – Fuller tests, ADF)
În modelele precedente, utilizate pentru testele Dickey-Fuller simple, procesul
εt este, prin ipoteză, zgomot alb. Or, nu există nici un argument pentru a accepta, a
priori, faptul că erorile nu sunt corelate. Se numesc ADF testele care ţin seama şi de
această ipoteză. Testele ADF sunt bazate, sub ipoteza alternativă |1| < 1, pe estimarea
prin metoda celor mai mici pătrate a următoarelor trei modele:
(4) x t x
t
1 jx
t
j1
t
j2
p
t x
t
1
j2
(5) t
p
x x
c
p
j
t
j1
(6) x t x
t
1 jx
t
j1
c bt t
j2
unde εt este zgomot alb.

Testul se derulează similar testului DF, cu precizarea că tabelele teoretice
calculate sunt diferite. Valoarea p poate fi determinată pe baza criteriilor Akaike sau
Schwarz. De asemenea, plecând de la o valoare suficient de mare a lui p, se estimează
modelul cu p-1 întârzieri, apoi p-2 până când coeficientul celei de-a p întârzieri este
semnificativ.

12. COINTEGRAREA
Definiţie: Dacă există o combinaţie lineară staţionară între variabile aleatoare
nestaţionare, atunci variabilele combinate sunt cointegrate.
1. Exemplu
următorul:
Fie două serii construite astfel:
yt = 1, 2, 3, …, n
xt = 1, 2 2 , 3 2 , …, n 2 .
189
Rezultatul unei regresii de tipul yt = a0 + a1xt + εt este, pentru n = 30,
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/03/03 Time: 00:08
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5.928287 0.599966 9.881042 0.0000
X 0.030370 0.001431 21.22425 0.0000
R-squared 0.941480 Mean dependent var 15.50000
Adjusted R-squared 0.939390 S.D. dependent var 8.803408
S.E. of regression 2.167320 Akaike info criterion 4.449200
Sum squared resid 131.5237 Schwarz criterion 4.542613
Log likelihood -64.73800 F-statistic 450.4688
Durbin-Watson stat 0.057699 Prob(F-statistic) 0.000000
Cu toate că parametrii din model sunt semnificativi, iar valoarea R 2 este
ridicată, puterea predictivă a modelului este redusă. De altfel, valoarea aproape de
zero a statisticii Durbin – Watson indică o autocorelare puternică, pozitivă, a erorilor.

4
2
0
-2
-4
-6
5 10 15 20 25 30
a. Conceptul de cointegrare
Residual Actual Fitted
a. Ordinul de integrare a unei serii de timp
O serie este integrată de ordinul d (se notează xt → I(d)), dacă este suficient să
fie diferenţiată de d ori pentru a fi staţionarizată.
Fie o serie x1t staţionară şi o serie x2t integrată de ordinul 1:
x1t → I(0)
x2t → I(1)
rezultă yt = x1t + x2t → I(1)
Seria yt nu este staţionară deoarece este formată prin însumarea unei serii
afectată de o tendinţă şi o serie staţionară.
Fie două serii x1t şi x2t integrate de ordinul d:
x1t → I(d)
x2t → I(d)
Problemă: yt = x1t + x2t → I(?), dar combinaţia lineară αx1t + βx2t → I(?),
Rezultatul depinde de semnul coeficienţilor α şi β şi de existenţa unei dinamici
non-staţionare comune.
Să examinăm un alt caz:
40
30
20
10
0

x1t → I(d)
x2t → I(d')
cu d' ≠ d. Atunci yt = x1t + x2t → I(?).
191
Este imposibil de găsit o regulă generală când se însumează două serii cu
ordine de integrare diferite.
b. Condiţiile de cointegrare
Două serii xt şi yt sunt cointegrate dacă sunt verificate două condiţii:
seriile sunt afectate de o tendinţă aleatoare cu acelaşi grad de integrare d;
o combinaţie lineară a acestor serii permite obţinerea unei serii cu un orin de integrare
inferior.
Simbolic, fie
xt → I(d)
yt → I(d)
astfel încât α1xt + α2yt → I(d–b), cu d ≥ b > 0. Se notează xt, yt → CI(d,b), unde
[α1, α2] este vectorul de cointegrare.
În cazul general, fie există k variabile, toate I(d). Se notează
Xt = [x1,t, x2,t, …, xk,t]. Dacă există un vector de cointegrare α = [α1, α2, …, αk], de
dimensiuni (k, 1) astfel încât
αXt → I(d-b)
atunci cele k variabile aleatoare sunt cointegrate, iar vectorul de cointegrare este α. Se
notează:
cu b > 0.
Xt → CI(d, b)
c. Model de corectare a erorii (Error Correction Model – ECM)
Fie
şi [β, –1]
xt, yt → CI(1,1),

vectorul de cointegrare. În expresia precedentă, vectorul este normalizat prin
acceptarea notaţiei -α1/α2 = β, adică a condiţiei:
βxt – yt → I(0).
Dacă se regresează direct yt în funcţie de xt, relaţia obţinută nu este reală, ci
decurge pur şi simplu din relaţia dintre cele două tendinţe. Problema care se ridică
este, pe de o parte, aceea de identificare a relaţiei comune de cointegrare (tendinţa
comună) şi, pe de altă parte, de căutare a legăturii reale între variabile. Aceasta
reprezintă obiectivul Modelului cu Rectificare a Erorii. Modelul are o componentă
statică(β1Δxt) şi una dinamică (β2(yt-1 – βxt-1)).
Relaţia dintre x şi y poate fi specificată astfel:
Δyt = β1Δxt + β2(yt-1 – βxt-1)
În jurul relaţiei pe termen lung, modelul corector de erori permite integrarea
fluctuaţilor pe termen scurt. Coeficientul β2 – care trebuie să fie negativ – ţine seama
de forţa de atracţie a echilibrului pe termen lung.
d. Cointegrarea între două variabile
a. Test de cointegrare între două variabile – algoritmul în două etape Engle-Granger
Etapa 1: se testează ordinul de intagrare a variabilelor. Seriile trebuie să fie integrate
de acelaşi ordin. Dacă seriile au ordine diferite de intagrare, atunci posibilitatea unei
relaţi de cointegrare este exclusă. Fie
xt → I(d)
yt → I(d)
Etapa 2: estimarea relaţiei pe termen lung. Se estimează relaţia
yt = a0 + a1xt + εt
Relaţia de cointegrare este acceptată dacă reziduurile ut sunt staţionare:
ut = yt – â0 – â1xt.
Staţionaritatea reziduurilor este analizată cu ajutorul testelor DF, sau ADF.
Deoarece tabelele DF şi ADF sunt construite pentru reziduuri rezultate din relaţia
statică dintre x şi y, pentru cointegrare au fost construite tabele speciale (MacKinnon,
1991). Dacă reziduurile sunt staţionare, se poate estima modelul corector al erorilor.

e. Estimarea modelului corector al erorii
193
Engle şi Granger au demonstrat că toate seriile cointegrate pot fi reprezentate
printr-un ECM (teorema de reprezentare a lui Granger).
Fie xt, yt → CI(1, 1).
Etapa 1: se estimează prin MCMMP relaţia pe termen lung:
yt = â0 + â1xt + ut
Etapa 2: se estimează prin MCMMP relaţia din modelul dinamic (pe termen scurt)
Δyt = α1Δxt + α2ut-1 + et, α2 < 0
Coeficientul α2 (forţa de atracţie spre echilibru) trebuie să fie semnificativ şi
negativ. În caz contrar, se respinge o reprezentare de tip ECM. În acest caz,
mecanismul de corecţie a erorii (mişcarea care permite apropierea de echilibru) este
de sens contrar, şi evoluţia se îndepărtează de ţinta pe termen lung. Procedura în două
etape conduce la o estimatre convergentă a parametrilor modelului, iar abaterea
standard a estimatorilor poate fi interpretată în maniera clasică (Engle şi Granger,
1987).

13. UTILIZAREA MODELELOR
ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ (I)
În sens econometric, prognoza reprezintă o anticipare cantitativă a unor
evenimente sau condiţii viitoare, pornind de la un set de informaţii disponibile.
13.1. Prognoza în cazul modelului unifactorial de regresie
lineară
Se presupunem că legătura dintre două variabile Y şi X poate fi modelată
printr-o ecuaţie de regresie lineară de tipul
Yt = a0 + a1Xt + et, t = 1, 2, ..., n 9- 1
relaţie în care erorile sunt normal distribuite, de medie nulă, nu sunt heteroscedastice,
nu sunt autocorelate şi sunt independente în raport cu variabila explicativă Xt.
Realizarea unei prognoze presupune anticiparea a două elemente. Pe de o
parte, prognoza implică determinarea valorii medii a variabilei Y la un moment viitor
n+1, sau, mai general, n+p (unde p ≥ 1), atunci când parametrii ecuaţiei (9- 1) sunt
estimaţi pe baza unei selecţii realizate la momentele 1, 2, …, n. Pe de altă parte, este
necesar calculul împrăştierii probabile a valorilor prognozate în jurul mediei estimate
(calculul dispersiei erorilor de prognoză).
Pentru determinarea valorii medii, admitem ipoteza că ecuaţia (9- 1) scrisă
pentru primele n momente de timp, poate fi extinsă la momentul n+1:
Yn+1 = a0 + a1Xn+1 + en+1 9- 2
Pentru calculul dispersiei de prognoză, acceptăm că proprietatea erorilor de a
nu fi heteroscedastice (proprietate verificată în trecut, în istoria seriei de date) se
păstrează şi în viitor:
2
2 2
e Me
σ
Var
n
1 n1
e
9- 3
Notăm â0 şi â1 estimatorii parametrilor din ecuaţia de regresie.

Admitem că estimarea
Yˆ
t
â â X , t 1,
2,
,
n
9- 4
0
1
t
acceptată pentru primele n momente de timp, rămâne valabilă şi pentru momentul
n+1. În aceste condiţii valoarea medie a variabilei endogene, la orizontul de prognoză
t+1 se calculează astfel:
Ŷn+1 = â0 + â1Xn+1 9- 5
195
Dispersia erorilor nu este cunoscută. De aceea, în calculele de prognoză se
înlocuieşte cu un estimator nedeplasat calculat pe baza datelor din eşantion. Un
estimator nedeplasat al dispersiei erorilor calculat pornind de la dispersia de selecţie a
variabilei reziduale este dat de expresia:
s
2
u
n
2
u t
t 1
9- 6
n 2
În aceste condiţii, se demonstrează că un indicator nedeplasat pentru dispersia
erorilor de prognoză este:
2
2 2 1 Xn
1 X
s f su
1
2
9- 7
n Xt
X
Cu alte cuvinte, că dispersia erorilor de prognoză depinde de dispersia erorilor
din model, de dimensiunea eşantionului, de variaţia în eşantion a valorilor exogenei şi
de distanţa dintre valoarea anticipată a variabilei explicative şi media variabilei
respective. Dacă toate celelalte condiţii rămân nemodificate, atunci, dispersia erorilor
de prognoză este mai mică pe măsură ce dimensiunea eşantionului creşte, iar variaţia
valorilor explicative este mai mare. În plus, erorile de prognoză sunt mai mici dacă
punctul în care se realizează prognoza este mai apropiat de media variabilei
explicative.
Construirea unui indicator nedeplasat pentru dispersia erorilor de prognoză
permite calculul unui interval de prognoză pentru Yn+1, pornind de la relaţia:
Y ˆ
n1
Y t s ˆ
t s Y
9- 8
n2;
α
f
n1
n1
n2;
α
f

unde tn-2;α este valoarea din distribuţia teoretică t-Student, testul bilateral, pentru n-2
grade de libertate (n fiind dimensiunea eşantionului), valoare corespunzătoare unui
grad de încredere de (1-α).
13.2. Prognoza în cazul modelului multifactorial de regresie
lineară
Să presupunem că modelul de regresie lineară conţine k regresori (variabile
explicative) şi este estimat pornind de la o selecţie de volum n:
Y = XA + e 9- 9
unde Y este un vector de dimensiuni n×1, care are drept componente valorile
variabilei endogene, X este o matrice de dimensiuni n×(k+1), în care elementele din
prima coloană sunt egale cu unu, iar fiecare dintre celelalte k coloane conţine valorile
înregistrate pentru una dintre variabilele explicative, A este vectorul de dimensiuni
(k+1)×1 al parametrilor modelului, iar e este vectorul erorilor, de dimensiuni n×1. Se
demonstrează că, dacă sunt respectate ipotezele obişnuite privind erorile şi variabilele
explicative, atunci vectorul estimatorilor calculaţi pentru parametrii modelului prin
metoda celor mai mici pătrate este dat de relaţia:
1
X'X X'Y
 9- 10
Presupunem că poate fi construit un nou set de valori pentru variabilele
explicative, corespunzător perioadei n+1, cu alte cuvinte, se poate adăuga un vector
linie în matricea X. Atunci, prognoza pentru momentul n+1 poate fi construită astfel:
Ŷn+1 = Xn+1Â 9- 11
Menţionăm faptul că Xn+1 este un vector linie de dimensiuni 1×(k+1), iar Â
este un vector coloană de dimensiuni (k+1)×1. Rezultă că Ŷn+1 este un scalar.
Având în vedere faptul că, pentru orice t, valoarea Yt se poate calcula prin
multiplicarea vectorului linie Xt cu vectorul coloană A, plus componenta et din
vectorul erorilor e, rezultă că relaţia este adevărată şi pentru t = n + 1:
Yn+1 = Xn+1A + en+1 9- 12
deci estimarea erorii de prognoză se poate scrie,

un+1 = Yn+1 – Ŷn+1 9- 13
197
În relaţiile 9- 11 şi 9- 12, Yn+1 reprezintă valoarea prognozată pentru variabila
endogenă la momentul n+1, Ŷn+1 este estimarea variabilei endogene realizată pe baza
modelului, et+1 simbolizează componenta aleatoare care se adaugă vectorului e în
poziţia n+1, iar ut+1 este valoarea reziduală care estimează eroarea de prognoză.
Se poate demonstra că un estimator nedeplasat al dispersiei erorilor de
prognoză, estimator calculat pe baza datelor din eşantion este dat de expresia:
unde
1
1 X X'X X'
2 2
sf su
n1
n1
s
2
u
9- 14
n
2
u t
t
1
9- 15
n k 1
Erorile normalizate urmează o distribuţie t (Student) cu n-(k+1) grade de
libertate, pentru un prag de semnificaţie α:
Y
Y ˆ
n1 n1
~ tn
sf
k 1;
α
9- 16
Din (9- 16) se deduce că un interval de încredere pentru valorile de prognoză,
calculat cu un grad de încredere de (1-α), este dat de relaţia următoare:
Y ˆ
n1
Y t s
ˆ
t s Y
9- 17
nk
1;
α
f
n1
n1
nk
1;
α
unde tn-k-1;α este valoarea din distribuţia teoretică t-Student, testul bilateral, pentru
n-k-1 grade de libertate (n fiind dimensiunea eşantionului, iar k – numărul variabilelor
exogene din model), valoare corespunzătoare unui grad de încredere de (1-α).
Dacă setul de valori ale variabilei exogene X nu este construit pentru
momentul imediat următor n+1, ci pentru un moment oarecare n+p, atunci, prognoza
pentru momentul n+p poate fi construită astfel:
Y ˆ
X Â
9- 18
n p n
p
iar un estimator nedeplasat pentru dispersia erorilor de prognoză se calculează după
relaţia:
f

1
1 X X'X
X'
2 2
sf se
n
p
n
p
9- 19
unde 2
s u este dată de relaţia (9- 15).

14.UTILIZAREA MODELELOR
ECONOMETRICE ÎN PROGNOZĂ (II)
14.1. Aplicaţii
14.1.1. Modelul linear unifactorial
199
Pentru exemplificarea modului de calcul a prognozei reluăm cazul numeric
studiat în capitolul 2, referitor la legătura dintre veniturile populaţiei şi volumul
economiilor (tabelul 2-1). Scopul analizei este realizarea unei prognoze a volumului
economiilor pentru o familie care urmează un comportament de consum asemănător
celui specific populaţiei din care s-a extras eşantionul prezentat în tabelul (2-1). Să
presupunem că familia respectivă, numerotată cu 21, realizează un venit X21 = 230.
Pentru realizarea prognozei, se determină, în primul rând, valoarea Ŷ21, pe baza
ecuaţiei de regresie. Pentru exemplul analizat, ecuaţia de regresie este de forma:
Yt = a0 + a1Xt + et,
unde Yt este variabila endogenă (explicată) – volumul economiilor populaţiei, Xt este
variabila exogenă (explicativă) – veniturile populaţiei, et – variabila de abatere
(discrepanţa dintre valorile înregistrate şi cele anticipate pe baza modelului), a0 şi a1
sunt parametrii modelului.
Aşa cum s-a demo0nstrat în capitolele anterioare, dacă modelul respectiv este
estimat pornind de la datele din tabelul 2-1, atunci erorile sunt normal distribuite, nu
sunt heteroscedastice şi nu sunt autocorelate.
este:
Modelul calculat prin metoda celor mai mici pătrate pentru întreg eşantionul
Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt, pentru t = 1, 2 ,…, 25,
iar rezultatele estimării modelului sunt prezentate în tabelul 9-1. Primele coloane din
acest tabel sunt preluate din tabelul 2-1.

Tabelul 9-1: Calcule de bază pentru prognoză - modelul unifactorial
t Xt Yt Ŷt ut
u 2
2
t
X X
1 100 20 22.5441 -2.5441 6.4723 5041
2 110 25 25.4393 -0.4393 0.1930 3721
3 120 28 28.3345 -0.3345 0.1119 2601
4 125 30 29.7821 0.2179 0.0475 2116
5 130 33 31.2297 1.7703 3.1340 1681
6 140 35 34.1249 0.8751 0.7658 961
7 150 36 37.0201 -1.0201 1.0406 441
8 155 42 38.4677 3.5323 12.4773 256
9 170 44 42.8105 1.1895 1.4150 1
10 170 42 42.8105 -0.8105 0.6569 1
11 180 45 45.7057 -0.7057 0.4980 81
12 185 50 47.1533 2.8467 8.1038 196
13 190 47 48.6009 -1.6009 2.5628 361
14 200 48 51.4961 -3.4961 12.2226 841
15 205 52 52.9437 -0.9437 0.8905 1156
16 210 58 54.3913 3.6087 13.0228 1521
17 215 54 55.8389 -1.8389 3.3815 1936
18 220 55 57.2865 -2.2865 5.2280 2401
19 220 58 57.2865 0.7135 0.5091 2401
20 225 60 58.7341 1.2659 1.6025 2916
∑ 3420 862 862.0000 0.0000 74.3359 30630
Pornind de la ecuaţia de regresie
şi de la X21 = 230 se deduce
Ŷt = -6.40793 + 0.28952∙Xt,
Ŷ21 = -6.40793 + 0.28952∙230 = 60.18167.
Pentru calculul unui estimator nedeplasat al dispersiei erorilor de prognoză se
preiau valorile ∑ 2 X
X şi 2
u din tabelul 9-1. Rezultă
t
t
t

s
2
u
n
2
ut
t 1 74.
3359
4.
129772
n 2 20 2
Aceste valori sunt înlocuite în relaţia de calcul (9- 7):
s
2
f
2 1
s
u 1
n
X
n 1
X
X X
171 230
1
4.
129772
1
20 30630
t
2
2
2
4.
805538
Abaterea standard a erorilor de prognoză se calculează astfel:
s
f
s
2
f
4.
805538
2.
192154
201
Din tabelul distribuţiei bilaterale t (Student), pentru n-2 = 18 grade de libertate
şi un prag de semnificaţie α = 0.05 se identifică t23;0.05 = 2.101 Intervalul de încredere
pentru prognoză se calculează potrivit formulei (9- 8):
adică
sau
Y ˆ
n1
t
n2;
α
s
f
Y
n1
Yˆ
n1
t
n2;
α
60.18167 – 2.101∙2.192154 ≤ Yn+1 ≤ 60.18167 + 2.101∙2.192154
55.576 ≤ Yn+1 ≤ 64.787
Interpretarea rezultatelor este următoarea: dacă o familie din populaţia
analizată înregistrează un venit X21 de 230 u.m., atunci, pentru familia respectivă,
volumul economiilor va fi, în medie Y21 = 60.182 u.m. Cu un grad de încredere de
95%, volumul economiilor se va situa între 55.567 şi 64.787 u.m. Aceasta înseamnă
că dacă eşantionul selectat este reprezentativ pentru întreaga populaţie şi se urmăresc,
prin selecţii succesive un număr mare de familii care au un venit egal cu 230, atunci
media volumul economiilor înregistrate va fi 60.182 şi doar 5% dintre valori se vor
situa în afara intervalului [55.567, 64.787].
14.1.2. Modelul linear multifactorial
Pentru exemplificarea modului de elaborare a prognozei pe baza modelului
multifactorial de regresie lineară se porneşte de la cazul numeric analizat în capitolul
2, referitor la dinamica veniturilor populaţiei (X1t), evoluţia ratei reale a dobânzii
s
f

pasive (X2t) şi dinamica depozitelor bancare (Yt) în 25 intervale succesive de timp
(tabelul 2-2). Rezultatele estimării modelului linear prin metoda celor mai mici pătrate
pornind de la eşantionul prezentat în tabelul (2-1) sunt următoarele:
Ŷt = -3.78693 + 0.75722∙X1t + 0.860999∙X2t.
Presupunem că la momentul t = 26, ritmul de creştere a veniturilor populaţiei
este X1,26 = 3, iar dinamica ratei reale a dobânzii pasive este X2,26 = 2. Valoarea medie
a dinamicii depozitelor bancare la momentul t = 26, respectiv prognoza Ŷ26 se
determină astfel:
Ŷ26 = -3.78693 + 0.75722·3.0 + 0.860999·2.0 = 0.21
Pentru calculul dispersiei erorilor de prognoză se deduce, mai întâi, blocul
Xn+1(X'X) -1 X'n+1. Matricea (X'X) -1 şi valoarea
şi
Atunci:
s
2
u
n
( X'
X)
1
24.
378
0.
046
6.
121
2
ut
t 1 1.
2952
n k 1
25 2 1
X' X
1
Xn 1 X'n1
( 1
3
6.
428
2)
2
s u sunt preluate din capitolul 2:
0.
046
0.
039
0.
022
0.
0589
24.
378
0.
046
6.
121
0.
046
0.
039
0.
022
6.
121
0.
022
1.
542
6.
121
1
0.
022
3
1.
542 2
Utilizând relaţia (9- 19) şi valorile Xn+1(X'X) -1 X'n+1, respectiv
mai sus, se obţine:
1
1 X X'X
X'
0.
3786
2 2
sf su
n1
n1
0.
0589 1
6.
428
2
s u determinate
Pornind de la valoarea dispersiei erorilor de prognoză, se calculează abaterea
standard a erorilor de prognoză astfel:
s
f
s
2
f
0.
3786
0.
615

(9- 17):
Intervalul de prognoză se determină, în această situaţie, potrivit formulei
Y ˆ
n1
t
nk
1;
α
s
f
Y
n1
Yˆ
n1
t
nk
1;
α
0.21 – t22;0.050.615 ≤ Y26 ≤ 0.21 + t22;0.050.615
unde valoarea t22;0.05 este preluată din repartiţia teoretică t Student, testul bilateral,
pentru pragul de semnificaţie α = 0.05 şi (25-2-1) = 22 grade de libertate:
t22;0.05 = 2.074
adică
Rezumat
Intervalul de prognoză este, în această situaţie, dat prin inegalitatea următoare:
0.21 – 2.0740.615 ≤ Y26 ≤ 0.21 + 2.0740.615
0.21 – 1.28 ≤ Y26 ≤ 0.21 + 1.28
-1.07 ≤ Y26 ≤ 1.49
Numim serie cronologică un şir de valori pe care le înregistrează o variabilă la momente
sau la intervale de timp succesive. Seriile cronologice (sau de timp) se pot prezenta prin
valori înregistrate pentru variabila analizată la anumite momente date de timp sau prin
informaţii privind fluxurile (modificările) înregistrate într-un interval de timp.
s
f
203
Printre cele mai importante caracteristici stocastice ale unei serii de timp sunt
media şi dispersia. Dacă aceste caracteristici se modifică în timp, seria dinamică este
considerată ca fiind ne-staţionară. Dacă procesul aleator este invariant, seria de timp
este staţionară.
Dacă există o combinaţie lineară staţionară între variabile aleatoare
nestaţionare, atunci variabilele combinate sunt cointegrate.
În sens econometric, prognoza reprezintă o anticipare cantitativă a unor
evenimente sau condiţii viitoare, pornind de la un set de informaţii disponibile.
Realizarea unei prognoze presupune anticiparea a două elemente. Pe de o parte,
prognoza implică determinarea valorii medii a variabilei Y la un moment viitor n+1,
sau, mai general, n+p (unde p ≥ 1), atunci când parametrii ecuaţiei sunt estimaţi pe
baza unei selecţii realizate la momentele 1, 2, …, n. Pe de altă parte, este necesar
calculul împrăştierii probabile a valorilor prognozate în jurul mediei estimate (calculul
dispersiei erorilor de prognoză).

Termeni-cheie
Serii de timp
Tendinţa generală a seriei de timp
Componenta de sezonalitate a seriei de timp
Staţionaritatea
Testarea staţionarităţii - testul Dickey-Fuller
Cointegarea
Test de cointegrare între două variabile – algoritmul în două etape Engle-
Granger
Prognoza pe baza modelului unifactorial de regresie liniară
Prognoza pe baza modelului multifactorial de regresie liniară
ÎNVĂȚARE NR. 3
TEMA DE CONTROL A UNITĂȚII DE
1. Explicaţi conceptul de serie de timp şi justificaţi larga lui utilizare în
analiza econometrică
2. Explicaţi implicaţiile staţionarităţii seriilor de timp asupra parametrilor din
ecuaţia de regresie.
3. Ce presupune existenţa unei relaţii de cointegrarea între două serii de timp
4. Explicaţi relevanţa calculul dispersiei erorilor de prognoză.
5. Care sunt ipotezele modelului liniar unifactorial?
6. Care sunt ipotezele modelului liniar multifactorial?
7. Care sunt proprietăţile estimatorilor modelelor de regresie?

Testul de autoevaluare nr. 3
Barem
Acordat/Realizat
1. Analiza componentei sezoniere a variabilei dinamice poate fi realizată prin:
a) descompunerea aditivă
b) descompunerea multiplicativă.
c) descompunerea integrativă
Argumentaţi răspunsul
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
2.Modificare mediei şi dispersiei în timp indică:
a) Un proces staţionar
b) Un proces nestaţionar
c) Un proces stocastic
Argumentaţi răspunsul
1pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
1 pct/........
205

3. In ce condiţii variabilele economice sunt cointegrate?
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
4. Descrieti testul de conintegrare intre două variabile:
2pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
5. Cum se estimează tendinţa unei serii de date?
2 pct/........
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....................
6. Ce se înţelege prin prognoză economică?
2 pct/........

....................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
...........................
1 pct/........
Se acordă 1 pct. din oficiu. Total.....
207
Bibliografia specifică unității de învățare nr. 3
Ailenei D., 1999, Piaţa ca spaţiu economic, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Ailenei D., 2002, Economia sectorului public, Editura Brent, Bucureşti
Bera A., Jarque C., 1981, Efficient Tests for Normality, Heteroscedasticity, and Serial
Independence of Regression Residuals: Monte Carlo Evidence, în Economics
Letters, 7, pp. 313-318.
Bera A., Jarque C., 1982, Model Specification Tests: A Simultaneous Approach, în
Journal of Econometrics, 20, pp. 59-82.
Bollerslev T., Engle R.F., Nelson D.B., 1994, ARCH Models, Capitolul 49 din
Handbook of Econometrics, Volume 4, North-Holland.
Bourbonnais R., 1997, Econométrie. Cours et exercises corrigés, Edition Dunod,
Paris
Box G.E.P., Jenkins G.M., 1976, Time Series Analysis: Forecasting and Control,
Revised Edition, Holden-Day.
Breusch T., 1978, Testing foe autocorelation in dinamic linear models, în Australian
Economic Papers, 17, pag. 334-355

Brillet J.-L, 1989, Techiques de modelisation, Collection ENSAE (École Nationale de
la Statistique et de l'Administration Économique), Paris
Cochrane D., Orcutt G.H., 1949, Application of Least Squares Regressions to
Relantionships Containing Autocorrelated Error Terms, în Journal of
American Statistic Association, vol. 44, pag. 32-61
Constantin D.-L., 1998, Economie regională, Editura Oscar Print, Bucureşti
Dickey D.A., Fuller W.A., 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive
Time Series with a Unit Root, în Journal of the American Statistical
Association, 74, 427–431.
Dobrescu E., 1999, Macromodels of the Romanian Transition Economy (fourth
version), în AMFET - Modeling Economies in Transition, vol.I, University of
Lodz (edited by W.Welfe), Lodz, Poland
Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura
Economică, Bucureşti
Engle R.F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of
Variance of United Kingdom Inflation, în Econometrica, Vol. 50 (July), pag.
987-1007
Engle R.F., Granger C.W.J., 1987, Co-integration and Error Correction:
Representation, Estimation, and Testing, în Econometrica, 55, pag. 251-276.
Fedorenko N.P., Kantorovici L.V. (ş.a.), 1979, Dicţionar de matematică şi cibernetică
în economie, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti
Godfrey L.G., 1988, Specification Tests in Econometrics, Cambridge University
Press.
Granger C.W.J., 1969, Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods, în Econometrica, 37, pag. 424-438.
Greene W.H., 2000, Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.
Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~
bhansen
Harvey A.C., 1993, Time Series Models, 2nd edition, MIT Press.
Hausman J.A., 1978, Specification Tests in Econometrics, în Econometrica, 46, 1251–
1272.

Hildreth G., Lu J.Y, 1960, Demand Relations with Autocorrelated Disturbances,
209
în Michigan State University Agricultural Experiment Station, Tehnical
Bulletin 276, November
Iancu A., 1998, Bazele teoriei politicii economice, Editura All & Beck şi IRLI,
Bucureşti
Johnston J., DiNardo J.E., 1997, Econometric Methods, 4th edition, McGraw-Hill.
Jula D., 2002, Modelare şi prognoză macroeconomică, Editura Estfalia Bucureşti
Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti
Jula D., Ailenei D., Jula N., Gârbovean A., Economia dezvoltării, Editura Viitorul
Românesc, Bucureşti
Jula D., Jula N., 1999, Economia sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Jula N., 1999, Teorii şi modele privind piaţa muncii. Piaţa muncii în România,
Editura Brent¸ Bucureşti
Jula N., 2003, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar – monetare. Elemente de econometrie
aplicată, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2006, Modelare economică. Econometrie aplicată, Editura Mustang,
Bucureşti
Kane E.J., 1971, Statistique économique et économetrie, Armand Colin, Paris
Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan
Maddala G.S, 2001, Econometrics, New York: McGraw-Hill
Malinvaud E., 1981, Méthodes statistiques de l'économetrie, Edition Dunod, Paris
Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică,
Editura Economică, Bucureşti
Pârţachi I., Brăilă A., Şişcanu N., 1999, Econometrie aplicată, A.S.E.M., Chişinău
Pecican E.-S., 1994, Econometrie, Editura All, Bucureşti
Pecican E.-S., 1996, Macroeconometrie - Politici economice guvernamentale şi
econometrie, Editura Economică, Bucureşti
Phillips P.C.B., Perron P., 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, în
Biometrika, 75, pag. 335-346.
Pindyck R.S., Rubinfeld D.L, 1991, Econometric Models and Economic Forecasts,
McGraw-Hill, Inc.

Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press,
Harcourt Brace College Publishers, Orlando, USA
Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge
University Press
Tănăsoiu O., Iacob A.-I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti
Taşnadi Al., 2001, Econometrie aplicată, Editura ASE, Bucureşti
Theil H., 1971, Principles of Econometrics, John Wiley and Sons, New York
Thomas R.-L, 1993, Introductory Econometrics: Theory and Applications, 2nd
edition, Harlow, Longman
Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow,
Longman
Vangrevelinghe G., 1973, Econométrie, Hermann, Paris
White H., 1980, A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct
Test for Heteroskedasticity, în Econometrica, 48, pag. 817-838.
Zaman C., 1998, Econometrie, Pro Democraţia, Bucureşti
Zamfir C., Vlăsceanu L., 1993, Dicţionar de sociologie, Editura Babel, Bucureşti
Răspunsurile la Testul de autoevaluare nr. 3: 1 a,b; 2 b; pentru 3, 4, 5,6 – vezi
definiţiile din cadrul acestei unităţi.

AUTOEVALUARE
RĂSPUNSURILE LA TESTELE DE
Răspunsurile la Testul de autoevaluare nr. 1: 1, 2, 3, 4 – vezi definiţiile din cadrul
acestei unităţi, precum şi figurile 1.1., 1.2., 1.3.; 5 c; 6 a.
Răspunsurile la Testul de autoevaluare nr. 2: 1 b; 2 a; pentru 3, 4, 5, 6 – vezi
definiţiile din cadrul acestei unităţi;
Răspunsurile la Testul de autoevaluare nr. 3: 1 a,b; 2 b; pentru 3, 4, 5,6 – vezi
definiţiile din cadrul acestei unităţi.
211

BIBLIOGRAFIA ÎNTREGULUI
SUPORT DE CURS
Ailenei D., 1999, Piaţa ca spaţiu economic, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Ailenei D., 2002, Economia sectorului public, Editura Brent, Bucureşti
Bera A., Jarque C., 1981, Efficient Tests for Normality, Heteroscedasticity, and Serial
Independence of Regression Residuals: Monte Carlo Evidence, în Economics
Letters, 7, pp. 313-318.
Bera A., Jarque C., 1982, Model Specification Tests: A Simultaneous Approach, în
Journal of Econometrics, 20, pp. 59-82.
Bollerslev T., Engle R.F., Nelson D.B., 1994, ARCH Models, Capitolul 49 din
Handbook of Econometrics, Volume 4, North-Holland.
Bourbonnais R., 1997, Econométrie. Cours et exercises corrigés, Edition Dunod,
Paris
Box G.E.P., Jenkins G.M., 1976, Time Series Analysis: Forecasting and Control,
Revised Edition, Holden-Day.
Breusch T., 1978, Testing foe autocorelation in dinamic linear models, în Australian
Economic Papers, 17, pag. 334-355
Brillet J.-L, 1989, Techiques de modelisation, Collection ENSAE (École Nationale de
la Statistique et de l'Administration Économique), Paris
Cochrane D., Orcutt G.H., 1949, Application of Least Squares Regressions to
Relantionships Containing Autocorrelated Error Terms, în Journal of
American Statistic Association, vol. 44, pag. 32-61
Constantin D.-L., 1998, Economie regională, Editura Oscar Print, Bucureşti
Dickey D.A., Fuller W.A., 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive
Time Series with a Unit Root, în Journal of the American Statistical
Association, 74, 427–431.

Dobrescu E., 1999, Macromodels of the Romanian Transition Economy (fourth
213
version), în AMFET - Modeling Economies in Transition, vol.I, University of
Lodz (edited by W.Welfe), Lodz, Poland
Dobrescu E., 2002, Tranziţia în România: abordări econometrice, Editura
Economică, Bucureşti
Engle R.F., 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of
Variance of United Kingdom Inflation, în Econometrica, Vol. 50 (July), pag.
987-1007
Engle R.F., Granger C.W.J., 1987, Co-integration and Error Correction:
Representation, Estimation, and Testing, în Econometrica, 55, pag. 251-276.
Fedorenko N.P., Kantorovici L.V. (ş.a.), 1979, Dicţionar de matematică şi cibernetică
în economie, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti
Godfrey L.G., 1988, Specification Tests in Econometrics, Cambridge University
Press.
Granger C.W.J., 1969, Investigating Causal Relations by Econometric Models and
Cross-Spectral Methods, în Econometrica, 37, pag. 424-438.
Greene W.H., 2000, Econometric Analysis, 3rd edition, Prentice-Hall.
Hansen B.E., 2002, Econometrics, University of Wisconsin, www.ssc.wisc.edu/~
bhansen
Harvey A.C., 1993, Time Series Models, 2nd edition, MIT Press.
Hausman J.A., 1978, Specification Tests in Econometrics, în Econometrica, 46, 1251–
1272.
Hildreth G., Lu J.Y, 1960, Demand Relations with Autocorrelated Disturbances, în
Michigan State University Agricultural Experiment Station, Tehnical Bulletin
276, November
Iancu A., 1998, Bazele teoriei politicii economice, Editura All & Beck şi IRLI,
Bucureşti
Johnston J., DiNardo J.E., 1997, Econometric Methods, 4th edition, McGraw-Hill.
Jula D., 2002, Modelare şi prognoză macroeconomică, Editura Estfalia Bucureşti
Jula D., 2003, Introducere în econometrie, Editura Professional Consulting, Bucureşti
Jula D., Ailenei D., Jula N., Gârbovean A., Economia dezvoltării, Editura Viitorul
Românesc, Bucureşti

Jula D., Jula N., 1999, Economia sectorială, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti
Jula N., 1999, Teorii şi modele privind piaţa muncii. Piaţa muncii în România,
Editura Brent¸ Bucureşti
Jula N., 2003, Statistică economică, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2004, Modelarea deciziilor financiar – monetare. Elemente de econometrie
aplicată, Editura Bren, Bucureşti
Jula N., 2006, Modelare economică. Econometrie aplicată, Editura Mustang,
Bucureşti
Kane E.J., 1971, Statistique économique et économetrie, Armand Colin, Paris
Kmenta J., 1986, Elements of Econometrics, New York: Macmillan
Maddala G.S, 2001, Econometrics, New York: McGraw-Hill
Malinvaud E., 1981, Méthodes statistiques de l'économetrie, Edition Dunod, Paris
Nicolae V., Constantin D.-L., Grădinaru I., 1998, Previziune şi orientare economică,
Editura Economică, Bucureşti
Pârţachi I., Brăilă A., Şişcanu N., 1999, Econometrie aplicată, A.S.E.M., Chişinău
Pecican E.-S., 1994, Econometrie, Editura All, Bucureşti
Pecican E.-S., 1996, Macroeconometrie - Politici economice guvernamentale şi
econometrie, Editura Economică, Bucureşti
Phillips P.C.B., Perron P., 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, în
Biometrika, 75, pag. 335-346.
Pindyck R.S., Rubinfeld D.L, 1991, Econometric Models and Economic Forecasts,
McGraw-Hill, Inc.
Ramanathan R., 1992, Introductory Econometrics, Second Edition, The Dryden Press,
Harcourt Brace College Publishers, Orlando, USA
Spanos A., 1986, Statistical foundations of econometric modelling, Cambridge
University Press
Tănăsoiu O., Iacob A.-I., 1999, Econometrie aplicată, Editura Arteticart, Bucureşti
Taşnadi Al., 2001, Econometrie aplicată, Editura ASE, Bucureşti
Theil H., 1971, Principles of Econometrics, John Wiley and Sons, New York
Thomas R.-L, 1993, Introductory Econometrics: Theory and Applications, 2nd
edition, Harlow, Longman

Thomas R.-L, 1997, Modern Econometrics: An Introduction, 2nd edition, Harlow,
Longman
Vangrevelinghe G., 1973, Econométrie, Hermann, Paris
White H., 1980, A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct
Test for Heteroskedasticity, în Econometrica, 48, pag. 817-838.
215

NOTIȚELE CURSANTULUI
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
217

---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------

Anexe statistice
A. Distribuţia normală
B. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul bilateral
C. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul unilateral
D. Valorile critice ale distribuţiei χ2
E. Statistica Durbin – Watson: valorile dL şi dU pentru testul unilateral, la un
nivel de semnificaţie de 5%
F. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.01
G. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.05
H. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.10
Tabelele distribuţiilor normale, t – Student, χ 2 şi F (Fisher) au fost calculate cu
ajutorul programului Microsoft Excel

220
A. Distribuţia normală
(aria situată sub curba normală standard de la zero la z)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

221
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.5 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000

222
B. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul
bilateral
Numărul
gradelor de
libertate
α - testul bilateral
0.10 0.05 0.02 0.01 0.001
1 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619
2 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598
3 2.353 3.182 4.541 5.841 12.941
4 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610
5 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869
6 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959
7 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408
8 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041
9 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781
10 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587
11 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437
12 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318
13 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221
14 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140
15 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073
16 1.746 2.120 2.583 2.921 4.015
17 1.740 2.110 2.567 2.898 3.965
18 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922
19 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883
20 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850
21 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819
22 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792
23 1.714 2.069 2.500 2.807 3.768
24 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745
25 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725
30 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646
40 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551
50 1.676 2.009 2.403 2.678 3.496
80 1.664 1.990 2.374 2.639 3.416
100 1.660 1.984 2.364 2.626 3.390
120 1.658 1.980 2.358 2.617 3.373
∞ 1.645 1.960 2.327 2.576 3.291

C. Valorile critice ale distribuţiei t – Student, testul
unilateral
Numărul
gradelor de
libertate
α - testul unilateral
0.10 0.05 0.01 0.005 0.0005
1 3.078 6.314 31.821 63.657 636.619
2 1.886 2.920 6.965 9.925 31.598
3 1.638 2.353 4.541 5.841 12.941
4 1.533 2.132 3.747 4.604 8.610
5 1.476 2.015 3.365 4.032 6.869
6 1.440 1.943 3.143 3.707 5.959
7 1.415 1.895 2.998 3.499 5.408
8 1.397 1.860 2.896 3.355 5.041
9 1.383 1.833 2.821 3.250 4.781
10 1.372 1.812 2.764 3.169 4.587
11 1.363 1.796 2.718 3.106 4.437
12 1.356 1.782 2.681 3.055 4.318
13 1.350 1.771 2.650 3.012 4.221
14 1.345 1.761 2.624 2.977 4.140
15 1.341 1.753 2.602 2.947 4.073
16 1.337 1.746 2.583 2.921 4.015
17 1.333 1.740 2.567 2.898 3.965
18 1.330 1.734 2.552 2.878 3.922
19 1.328 1.729 2.539 2.861 3.883
20 1.325 1.725 2.528 2.845 3.850
21 1.323 1.721 2.518 2.831 3.819
22 1.321 1.717 2.508 2.819 3.792
23 1.319 1.714 2.500 2.807 3.768
24 1.318 1.711 2.492 2.797 3.745
25 1.316 1.708 2.485 2.787 3.725
30 1.310 1.697 2.457 2.750 3.646
40 1.303 1.684 2.423 2.704 3.551
50 1.299 1.676 2.403 2.678 3.496
80 1.292 1.664 2.374 2.639 3.416
100 1.290 1.660 2.364 2.626 3.390
120 1.289 1.658 2.358 2.617 3.373
∞ 1.282 1.645 2.327 2.576 3.291
223

224
D. Valorile critice ale distribuţiei χ 2
Numărul
gradelor
de
libertate
0.99 0.95 0.9 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
1 0.000 0.004 0.016 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2 0.020 0.103 0.211 4.605 5.991 9.210 10.597 13.816
3 0.115 0.352 0.584 6.251 7.815 11.345 12.838 16.266
4 0.297 0.711 1.064 7.779 9.488 13.277 14.860 18.467
5 0.554 1.145 1.610 9.236 11.070 15.086 16.750 20.515
6 0.872 1.635 2.204 10.645 12.592 16.812 18.548 22.458
7 1.239 2.167 2.833 12.017 14.067 18.475 20.278 24.322
8 1.646 2.733 3.490 13.362 15.507 20.090 21.955 26.125
9 2.088 3.325 4.168 14.684 16.919 21.666 23.589 27.877
10 2.558 3.940 4.865 15.987 18.307 23.209 25.188 29.588
11 3.053 4.575 5.578 17.275 19.675 24.725 26.757 31.264
12 3.571 5.226 6.304 18.549 21.026 26.217 28.300 32.909
13 4.107 5.892 7.042 19.812 22.362 27.688 29.820 34.528
14 4.660 6.571 7.790 21.064 23.685 29.141 31.319 36.123
15 5.229 7.261 8.547 22.307 24.996 30.578 32.801 37.697
16 5.812 7.962 9.312 23.542 26.296 32.000 34.267 39.252
17 6.408 8.672 10.085 24.769 27.587 33.409 35.719 40.790
18 7.015 9.390 10.865 25.989 28.869 34.805 37.157 42.312
19 7.633 10.117 11.651 27.204 30.144 36.191 38.582 43.820
20 8.260 10.851 12.443 28.412 31.410 37.566 39.997 45.315
21 8.897 11.591 13.240 29.615 32.671 38.932 41.401 46.797
22 9.542 12.338 14.041 30.813 33.924 40.289 42.796 46.268
23 10.196 13.091 14.848 32.007 35.172 41.638 44.181 49.728
24 10.856 13.848 15.659 33.196 36.415 42.980 45.559 51.179
25 11.524 14.611 16.473 34.382 37.652 44.314 46.928 52.618
26 12.198 15.379 17.292 35.563 38.885 45.642 48.290 54.052
27 12.879 16.151 18.114 36.741 40.113 46.963 49.645 55.476
28 13.565 16.928 18.939 37.916 41.337 48.278 50.993 56.893
29 14.256 17.708 19.768 39.087 42.557 49.588 52.336 58.302
30 14.953 18.493 20.599 40.256 43.773 50.892 53.672 59.703

E. Statistica Durbin – Watson (dw): valorile dL şi dU
pentru testul unilateral, la un nivel de semnificaţie de 5%
n
k = 1
dL dU
k = 2
dL dU
k = 3
dL dU
k = 4
dL dU
k = 5
dL dU
6 0.61 1.40
7 0.70 1.36 0.47 1.90
8 0.76 1.33 0.56 1.78 0.37 2.29
9 0.82 1.32 0.63 1.70 0.46 2.13 0.30 2.59
10 0.88 1.32 0.70 1.64 0.53 2.02 0.38 2.41 0.24 2.82
11 0.93 1.32 0.76 1.60 0.60 1.93 0.44 2.28 0.32 2.65
12 0.97 1.33 0.81 1.58 0.66 1.86 0.51 2.18 0.38 2.51
13 1.01 1.34 0.86 1.56 0.72 1.82 0.57 2.09 0.45 2.39
14 1.05 1.35 0.91 1.55 0.77 1.78 0.63 2.03 0.51 2.30
15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21
16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15
17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10
18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06
19 1.18 1.40 1.08 1.53 0.97 1.68 0.86 1.85 0.75 2.02
20 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99
21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96
22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94
23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92
24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.90
25 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89
26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88
27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86
28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85
29 1.34 1.48 1.27 1.56 1.20 1.65 1.12 1.74 1.05 1.84
30 1,35 1.49 1.28 1.57 1.21 1.65 1.14 1.74 1.07 1.83
31 1.36 1.50 1.30 1.57 1.23 1.65 1.16 1.74 1.09 1.83
32 1.37 1.50 1.31 1.57 1.94 1.65 1.18 1.73 1.11 1.82
33 1.38 1.51 1.32 1.58 1.26 1.65 1.19 1.73 1.13 1.81
34 1.39 1.51 1.33 1.58 1.27 1.65 1.21 1.73 1.15 1.81
35 1.40 1.52 1.34 1.58 1.28 1.65 1.22 1.73 1.16 1.80
36 1.41 1.52 1.35 1.59 1.29 1.65 1.24 1.73 1.18 1.80
37 1.42 1.53 1.36 1.59 1.31 1.66 1.25 1.72 1.19 1.80
38 1.43 1.54 1.37 1.59 1.32 1.66 1.26 1.72 1.21 1.79
39 1.43 1.54 1.38 1.60 1.33 1.66 1.27 1.72 1.22 1.79
40 1.44 1.54 1.39 1.60 1.34 1.66 1.29 1.72 1.23 1.79
45 1.48 1.57 1.43 1.62 1.38 1.67 1.34 1.72 1.29 1.78
50 1.50 1.59 1.46 1.63 1.42 1.67 1.38 1.72 1.34 1.77
55 1.53 1.60 1.49 1.64 1.45 1.68 1.41 1.72 1.38 1.77
60 1.55 1.62 1.51 1.65 1.48 1.69 1.44 1.73 1.41 1.77
65 1.57 1.63 1.54 1.66 1.50 1.70 1.47 1.73 1.44 1.77
225

226
n
dL
k = 1
dU dL
k = 2
dU dL
k = 3
dU dL
k = 4
dU dL
k = 5
dU
70 1.58 1.64 1.55 1.67 1.52 1.70 1.49 1.74 1.46 1.77
75 1.60 1.65 1.57 1.68 1.54 1.71 1.51 1.74 1.49 1.77
80 1.61 1.66 1.59 1.69 1.56 1.72 1.53 1.74 1.51 1.77
85 1.62 1.67 1.60 1.70 1.57 1.72 1.55 1.75 1.52 1.77
90 1.63 1.68 1.61 1.70 1.59 1.73 1.57 1.75 1.54 1.78
95 1.64 1.69 1.62 1.71 1.60 1.73 1.58 1.75 1.56 1.78
100 1.65 1.69 1.63 1.72 1.61 1.74 1.59 1.76 1.57 1.78
n – numărul de observaţii;
k – numărul variabilelor explicative
Sursa:
J.Durbin and G.S.Watson, Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression,
in Biometrika, vol. 38 (1951), pp.159-177 (pentru n 15)
Mukherjee Ch., White H., Wuyts M., 1998, Econometrics and data analysis for
developing countries, Routledge, London and New York (pentru n < 15)

F. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.01
m – numărul gradelor de libertate ale numărătorului
n – numărul gradelor de libertate ale numitorului
n\m 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
5 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.1 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02
6 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
7 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
8 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86
9 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31
10 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91
11 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60
12 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36
13 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17
14 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.00
15 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87
16 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75
17 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65
18 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
19 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
20 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
21 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36
22 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31
23 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
24 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21
25 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
30 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01
40 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80
50 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 2.56 2.42 2.27 2.18 2.10 2.01 1.91 1.80 1.68
60 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60
120 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38
∞ 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00

228
G. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.05
m – numărul gradelor de libertate ale numărătorului
n – numărul gradelor de libertate ale numitorului
n\m 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
5 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37
6 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67
7 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23
8 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54
11 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40
12 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30
13 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21
14 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
15 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07
16 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
17 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96
18 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
19 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
20 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
21 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
22 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
23 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
24 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
25 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
30 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51
50 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 1.95 1.87 1.78 1.74 1.69 1.63 1.58 1.51 1.44
60 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25
∞ 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

H. Distribuţia F pentru pragul de semnificaţie α = 0.10
m – numărul gradelor de libertate ale numărătorului
n – numărul gradelor de libertate ale numitorului
n\m 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
5 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.11
6 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.72
7 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47
8 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29
9 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16
10 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06
11 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00 1.97
12 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.90
13 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85
14 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.80
15 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76
16 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72
17 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69
18 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66
19 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.63
20 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61
21 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59
22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57
23 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55
24 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53
25 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
30 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.50 1.46
40 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38
50 1.97 1.90 1.84 1.80 1.76 1.73 1.68 1.63 1.57 1.54 1.50 1.46 1.42 1.38 1.33
60 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.60 1.54 1.51 1.48 1.44 1.40 1.35 1.29
120 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.60 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19
∞ 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.17 1.00
229