Metode matematice de optimizare. Metoda aproximării cu funcţii ...

1 ⎛ 1 2 2 ⎞
f ( x1
,x2
) = mγ⎜
− α1x1
+ x1
+ x ⎟
2 ⎝ 2 ⎠
A1
l1
h P
unde m = ; γ = ; α = ; p = .
A l l EA
2
2
1
2
2
1 ⎛
+ ⎜
1x1
2
− α +
⎝
1
2
x
2
1
2
x
−
γ
Considerând m=5; γ=4; α 1 =0,02; p =2⋅10 -5 şi cu x 0 ={2, 2}, se cere să se
determine min f(x) folosind algoritmul simplex secvenŃial.
Rezolvare
Este prezentată pe larg prima iteraŃie. Se consideră un simplex de mărime 1 şi
se obŃine iniŃial S φ ={{2;2}, {2,96593; 2,25882}, {2,25882; 2,96593}} cu valorile
funcŃiei obiectiv {343, 696; 918, 432; 525, 267}.
Se observă că performanŃele vârfului al doilea sunt cele mai slabe (funcŃia
obiectiv are o valoare maximă) deci acest vârf trebuie modificat.
Centrul segmentului ce uneşte primul şi al treilea vârf este dat de {2,12941;
2,48296}. FaŃă de acesta se realizează o reflexie cu α=1, obŃinându-se vârful de
coordonate {1,29289; 2,7074} cu valoarea funcŃiei obiectiv (140, 739}. Deoarece în
această direcŃie funcŃia obiectiv deserveşte, chiar sub valoarea celui de-al treilea vârf
iniŃial se realizează o expansiune de coeficient β=2, obŃinând vârful {0,456377;
2,93125} cu valoarea funcŃiei {9,94421} şi după prima iteraŃie. Simplexul devine
{{2,2}; {2,25882; 2,965934}; {0,456377; 2,93125}}.
După 50 de iteraŃii valoarea minimă a funcŃiei este –25,632 pentru x 1 =0,02,
x 2 =1,6002.
IteraŃiile respective prezentate în fig. 6.24.
6.6.3. Metoda Complex
Metoda Complex propusă de Box în 1965, [14] este o metodă foarte utilizată
în cazul unor probleme de dimensiuni medii, având eventual şi variabile discrete.
Metoda are două faze, generând o mulŃime iniŃială de soluŃii care este
îmbunătăŃită progresiv, prin eliminarea celor mai slabe soluŃii (pentru care funcŃia
obiectiv are valori mari).
Fazele caracteristice sunt:
a) iniŃierea prin care se generează un set de soluŃii iniŃiale P astfel: o soluŃie ce
satisface restricŃiile este admisă direct, o soluŃie care nu respectă restricŃiile este adusă
către centrul zonei formate de soluŃiile posibile la jumătatea distanŃei de soluŃii posibile
la jumătatea distanŃei dintre punctul respectiv şi centrul zonei. Procesul poate fi repetat
dacă soluŃia continuă să încalce restricŃiile.
b) optimizarea propriu-zisă. În această fază, mulŃimea P (complex) se
deplasează către optim prin mutarea punctului (caracterizat de cea mai defavorabilă
valoare a funcŃiei obiectiv), către o valoare mai bună (mai mică).
Dacă P’ este mulŃimea restului punctelor şi X c este centrul zonei definită de P’,
noile coordonate ale lui X w sunt date de:
'
X = X + r( X − X )
(6.31)
wi
ci
ci
wi
⎞
⎟
γ
⎠
4
− γ
px
1