Metode matematice de optimizare. Metoda aproximării cu funcţii ...

6.3. Formularea generală a unei probleme de optimizare
structurală
Aşa cum s-a arătat şi în paragraful anterior în formularea matematică a oricărei
probleme de optimizare trebuie luate în considerare următoarele patru elemente:
a) FuncŃia obiectiv: în cazul optimizării structurale aceasta trebuie să permită
compararea a două soluŃii de proiectare la modificarea variabilelor de proiectare, fiind
o măsură a performanŃelor mecanice şi/sau economice ale structurii. de exemplu, în
formularea funcŃiei obiectiv se pot considera mărimi precum:
- tensiuni şi deplasări maxime;
- costul materialelor, costul producerii tehnologice sau costul operaŃional (în
serviciu);
- masa (volumul) structurii (ObservaŃie: costurile anterioare sunt în general
proporŃionale cu masa structurii).
b) Parametri (variabilele de proiectare) sunt în general legaŃi de geometria
structurii (fig. 6.7) şi trebuie să fie variabile independente.
c) EcuaŃiile de stare: sunt ecuaŃiile ce guvernează problema analizată: de
exemplu condiŃiile de echilibru şi compatibilitate, legi constitutive de material.
d) RestricŃiile: sunt dictate de răspunsul mecanic al structurii (restricŃii de
comportament), sau au caracter tehnologic (restricŃii de mărginire); de exemplu o
anumită dimensiune poate varia într-un interval impus.
RestricŃiile de comportament determină domeniul în care se face proiectarea
structurii: domeniul elastic sau plastic. Din punct de vedere matematic, restricŃiile apar
sub forma unor egalităŃi (şi atunci numărul de variabile independente se reduce), sau
inegalităŃi, care restrâng domeniul admisibil al variabilelor de proiectare, definind
spaŃiul soluŃiilor posibile, denumit spaŃiul de proiectare.
FuncŃia obiectiv notată f(x) şi restricŃiile definesc modelul problemei de
optimizare şi, după felul acestora problema este liniară sau neliniară. Problema de
optimizare numerică (programare matematică), se poate formula astfel:
Să se determine min f(x)=f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) cu restricŃiile:
g ( x ) ≤ 0 j = 1,...,n
h ( x ) = 0
k
x ≤ x ≤ xi
i
j
i
k = 1,...,n
g
k
i = 1,...,n
(6.7)
unde x i
şi x i reprezintă valorile limită minimă şi respectiv maximă, pentru fiecare
parametru de proiectare, cu posibile cazuri speciale:
a ) redefinirea funcŃiei obiectiv:
max[( f ( x )] = min[ − f ( x )]
⎡ 1 ⎤
(6.8)
max[( f ( x )] = min⎢
⎥
⎣ f ( x ) ⎦
b) reformularea egalităŃilor: