Metode matematice de optimizare. Metoda aproximării cu funcţii ...

conduce la obŃinerea unor rezultate inaplicabile în proiectare, deşi din punct de vedere
matematic acestea pot fi juste.
Există situaŃii în care funcŃia obiectiv este constituită din două sau mai multe
cantităŃi. În asemenea situaŃii se defineşte o funcŃie obiectiv compusă. Astfel dacă f 1 (x)
şi f 2 (x) sunt două funcŃii obiectiv ale unei probleme, se poate defini o funcŃie obiectiv
compusă de forma
f ( x ) = a1 f1(
x ) + a2
f 2(
x ) , (6.1)
unde a 1 şi a 2 sunt constante de pondere.
RestricŃiile r k (k=1...K) şi funcŃia obiectiv f(x) reprezintă modelul problemei de
optimizare formulată. În cadrul unui proces de optimizare, funcŃia obiectiv este
extremizată în vederea găsirii combinaŃiilor de variabile de proiectare pentru care
aceasta capătă valori maxime sau minime.
Dacă se consideră o funcŃie obiectiv
f = f ( x1
,x2
)
(6.2)
dependentă de două variabile, graficul acesteia este dat de suprafaŃa Σ (fig. 6.4.).
IntersecŃia acestei suprafeŃe cu plane paralele cu planul orizontal (x 1 0x 2 ) , dă naştere
unor contururi închise, care proiectate în planul orizontal formează o familie de curbe
circumscrise Γ i . Curbele rezultate din secŃionarea suprafeŃei Γ cu plane mai apropiate
de planul orizontal sunt situate în interiorul curbelor corespunzătoare unor înălŃimi de
secŃionare mai mari, dacă suprafaŃa Σ admite un punct de minim. Dacă suprafaŃa Σ ar
admite un punct de maxim, dispunerea acestor curbe ar fi inversă.
În figura 6.5 se prezintă graficul funcŃiei obiectiv f(x), prin curbele de valoare
f=ct. Este cunoscut că optimul (minimul în cazul de faŃă) pentru f(x), reprezintă
condiŃia ca derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei obiectiv (6.2) să fie nule.
∂f
( x)
∂f
( x)
= 0 şi = 0 . (6.3)
∂x1
∂x2
Rezolvând acest sistem se obŃin coordonatele punctului de minim. Anularea
gradientului acestei funcŃii este de asemenea o condiŃie pentru determinarea minimului,
necesară, însă nu şi suficientă.
În cazul de faŃa punctul de minim poate fi determinat cu uşurinŃă pe cale
analitică. În multe probleme practice extremele funcŃiilor nu se pot determina analitic
datorită complexităŃii formei acestora. Problemele se complică şi mai mult dacă
variabilele de proiectare sau valori cuprinse între anumite intervale, sau dacă sunt
impuse restricŃii de proiectare. În aceste situaŃii se recurge la metodele numerice pentru
determinarea aproximativă a soluŃiei optime. Domeniul în care este trasat graficul
funcŃiei obiectiv este discretizat într-o reŃea de triunghiuri. Coordonatele vârfurilor
triunghiurilor fiind cunoscute, se calculează valorile funcŃiei obiectiv corespunzătoare
fiecărui vârf, după care folosind un program specializat se determină valoarea minimă
a funcŃiei obiectiv.
În numeroase aplicaŃii practice se pune problema optimizării unei funcŃii
neliniare f(x) supusă unor restricŃii de forma
g
j
( x)
≤ 0; j = 1,..., ng
,
(6.4)
h ( x)
≤ 0; k = 1,..., n ,
k
k