Metode matematice de optimizare. Metoda aproximÄrii cu funcÅ£ii ...

More documents

Recommendations

Info

⎧g1( x ) = h( x ) ≤ 0 h ( x ) = 0 ⇔ ⎨ , (6.9) ⎩g 2( x ) = −h( x ) ≤ 0 c) introducerea de noi variabile pentru a lucra cu valori reale pozitive în două situaŃii uzuale: c1) dacă − a ≤ x b , cu a,b>0 se introduce i ≤ ' ' x = x a cu x ≥ 0 (6.10) i i + c2) sau se introduc variabilele i + i x , − i x , pozitive, astfel ca x + i − x − i = xi (6.11) În cazul unui număr de variabile de proiectare n=2 sau n=3, spaŃiul de proiectare se poate reprezenta grafic într-un plan, respectiv în spaŃiul tridimensional. soluŃia optimă (vectorul x*), poate fi identificată şi caracterizată, ca acel punct al spaŃiului de proiectare, de la care orice deplasare conduce sau la o creştere a valorii funcŃiei obiectiv, sau la încălcarea (cel puŃin), a unei restricŃii (cazul punctelor x* reprezentate în fig. 6.8 a,b pentru funcŃia obiectiv f(x 1 ,x 2 ) de două variabile). În primul caz punctul de minim corespunde punctului de tangenŃă dintre curba f(x)=ct şi curba de restricŃie g(x)=ct (fig. 6.8 a), iar în cel de-al doilea caz (vertex), soluŃia optimă se găseşte la intersecŃia celor două curbe corespunzătoare a două restricŃii g 1 (x)=C 1 şi g 2 (x)=C 2 (fig. 6.8 b). Problema de optimizare numerică constă în final, în găsirea punctului de optim x*, folosind metoda cea mai adecvată care să conducă la acesta, plecând de la o soluŃie iniŃială x 0 . Procesul de optimizare se materializează în acest caz prin parcurgerea în spaŃiul de proiectare a unui anumit drum între punctul de pornire x 0 şi cel de optim x* (fig. 6.9). Exemplul 6.1 Să se studieze structura de bare articulate din fig. 6.10 în cazul minimizării greutăŃii structurii ce are o comportare liniar elastică. Variabilele de proiectare sunt ariile secŃiunilor transversale ale barelor. Pentru cazul A 1 =A 3 , σ at =500 MPa, σ ac =250 MPa, P 1 =P 2 =P=10 kN, ρ=2800 kg/m 3 , (α=45 o ), H=0,5 m, să se traseze spaŃiul de proiectare şi să se precizeze într-o diagramă, punctul de optim. În cazul cel mai general al barelor de secŃiune diferită sub acŃiunea lui P 1 sau lui P 2 se observă că restricŃiile problemei sunt: σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ≤σ at date de P 1 -σ 1 ,-σ 2 ,-σ 3 ≤σ ac date de P 1 σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ≤σ at date de P 2 -σ 1 ,-σ 2 ,-σ 3 ≤σ ac date de P 2 Dacă A 1 =A 3 , P 1 =P 2 =P (structură simetrică), din 2 variabile de proiectare rămân 2 şi din 12 restricŃii rămân 8: (1) σ 1 ≤σ at date de P 1 ; σ 1 ≤σ at date de P 2 (5) (2) -σ 2 ≤σ at date de P 1 ; σ 2 ≤σ at date de P 2 (6) (3) -σ 1 ≤σ ac date de P 1 ; -σ 1 ≤σ ac date de P 2 (7) (4) -σ 2 ≤σ ac date de P 1 ; -σ 2 ≤σ ac date de P 2 (8)
unde observăm că sub acŃiunea lui P 1 , bara (1) nu poate fi solicitată la compresiune rezultă că restricŃiile (3) nu pot fi posibile, iar restricŃia (2) este identică cu restricŃia (6). łinând seama şi de simetrie, din cele 8 restricŃii rămân 3 şi problema minimizării greutăŃii poate fi reformulată astfel: Să se minimizeze: ( A , A ) = ρH( 2 A + A ) cu restricŃiile: σ σ 1 2 ⎛ = P⎜ ⎝ ⎛ = P⎜ ⎝ G 1 2 2 1 2 2A A ⎞ 1 + 2 ⎟ ≤ σ 2 2A + A A 1 2 1 2 ⎠ 2 A ⎞ 1 ⎟ ≤ σ 2 2A + A A 1 2 1 2 ⎠ at at , (1’) , (2’) ⎛ A ⎞ P⎜ 2 − σ ⎟ 3 = ≤ σ ac , (4’) 2 A A A ⎝ 2 1 + 2 1 2 ⎠ unde se observă că structura este optimizată în domeniul liniar elastic, restricŃia (2’) fiind liniară (se reduce A 1 ). FuncŃia obiectiv este liniară, dar problema este o problemă neliniară (datorită restricŃiilor 1’ şi 4’). În cazul datelor precizate spaŃiul de purectare este reprezentat în fig. 6.11. În această figura sunt reprezentate cele trei restricŃii precum şi liniile (curbele) pentru care greutatea adimensională a structurii este constantă, punându-se în evidenŃă domeniul admisibil în planul celor două arii adimensionale. Studiind regiunea soluŃiilor posibile si punctul de optim O, rezultă: a) punctul de optim O, nu corespunde unei soluŃii care reprezintă o structură static determinată (punctul A pe figură în care A 2 =0); b) punctul de optim se găseşte pe restricŃia (1) dar nu şi pe restricŃia (2) şi deci în punctul de optim O, nu toate barele sistemului sunt la limita de tensiune admisibilă sub unul din cazurile de încărcare; c) punctul B corespunde intersecŃiei a două restricŃii (1’ şi 4’) pentru care se ating simultan valorile tensiunilor σ at şi -σ ac . Se observă că fiecare set de încărcări conduce la un nou set de restricŃii, ceea ce face ca problemele practice să se complice foarte mult. Optimul nu este neapărat o structură static determinată, sau cu toate elementele la limita de tensiune. Exemplul 6.2 Să se studieze structura din fig. 6.12, determinându-se sarcina maximă posibilă pe care o poate prelua în condiŃiile extinderii comportării materialelor în domeniul A2 plastic (pentru simplificare se admite A 1 = ). 2 Tensiunile din bare în acest caz sunt: ⎛ ⎞ ⎜ 1 σ ⎟ 1 = P , ⎝ 2A1 + 2A2 ⎠
Page 1 and 2: C6. Metode matematice de optimizare
Page 3 and 4: metodologii moderne de proiectare a
Page 5 and 6: conduce la obŃinerea unor rezultat
Page 7: 6.3. Formularea generală a unei pr
Page 11 and 12: 3 Pentru P=P elastic = σ c A2 rezu
Page 13 and 14: - indirectă, prin localizarea şi
Page 15 and 16: 6.6.1. Metoda direcŃiilor alternat
Page 17 and 18: 1 ⎛ 1 2 2 ⎞ f ( x1 ,x2 ) = mγ
Page 19 and 20: Se creează un punct iniŃial de co

Metode matematice de optimizare. Metoda aproximÄrii cu funcÅ£ii ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Metode matematice de optimizare. Metoda aproximÄrii cu funcÅ£ii ...