metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

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CUPRINS
2.6 Calculul inversei şi al determinantului . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6.1 Calculul inversei unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.6.2 Calculul determinantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.7 Condiţionarea sistemelor liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8 Stabilitate numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.8.1 Scalarea sistemelor liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.8.2 Rafinarea iterativă a soluţiei calculate . . . . . . . . . . . . . 104
2.9 Sisteme bandă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.10 Sisteme simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.11 Sisteme simetrice pozitiv definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.12 Rutine LAPACK şi MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.13 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Problema celor mai mici pătrate 123
3.1 Transformări ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.1 Reflectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.2 Rotaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Transformări unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1 Reflectori complecşi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.2 Rotaţii complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 Triangularizarea ortogonală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4 Factorizarea QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.4.1 Acumularea transformărilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4.2 Aplicarea transformărilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.4.3 Triangularizarea ortogonală la nivel de bloc . . . . . . . . . . 156
3.4.4 Alte metode de ortogonalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.4.5 Factorizarea QL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5 Rezolvarea problemei CMMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5.1 Calculul pseudosoluţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.5.2 Calculul proiecţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.5.3 Problema CMMP cu membru drept multiplu . . . . . . . . . 168
3.5.4 Calculul pseudoinversei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5.5 Alte metode de rezolvare a problemei CMMP . . . . . . . . . 169
3.6 Sisteme liniare subdeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.6.1 Triangularizarea ortogonală la dreapta . . . . . . . . . . . . . 170
3.6.2 Factorizarea LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.6.3 Rezolvarea sistemelor subdeterminate . . . . . . . . . . . . . 174
3.7 Condiţionarea problemelor CMMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.7.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.7.2 Sensibilitatea pseudosoluţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.7.3 Sensibilitatea soluţiei normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.8 Stabilitatea algoritmilor de triangularizare . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.8.1 Stabilitatea numerică a algoritmilor fundamentali . . . . . . . 184
3.8.2 Acurateţea soluţiilor calculate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.8.3 Scalarea problemei CMMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.8.4 Rafinarea iterativă a soluţiei CMMP . . . . . . . . . . . . . . 187