metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

32 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
1. Pentru j = 1 : n
1. Pentru i = 1 : m
1. y i ← y i + a ij x j
Bucla interioară reprezintă acum o operaţie Saxpy, corespunzând exprimării
produsului matrice-vector în forma (1.9), care este o sumă de vectori. Algoritmul
1.7 se rescrie deci în forma vectorială:
Algoritmul 1.8 (Se dau A ∈ R m×n , x ∈ R n .
y ← Ax + y ∈ R m folosind operaţii Saxpy.)
1. Pentru j = 1 : n
1. y ← Saxpy(x j , A(:, j), y)
Se calculează
Comentarii. Toţi algoritmii de mai sus au 2n 2 operaţii. De aceea Gaxpy
face parte din grupul operaţiilor de nivel 2. Vom face referinţă la ea în forma
y = Gaxpy(A, x, y). Desigur, implementările din algoritmii 1.6 şi 1.8 vor fi deosebit
de eficiente pe calculatoare vectoriale.
♦
1.4 Înmulţirea matricelor
Dedicăm o secţiune separată înmulţirii de matrice (şi unor noţiuni conexe),
deoarece această operaţie este specifică (nu se poate defini în general produsul a
doi vectori cu rezultat vector 6 ) şi apare deseori în construcţia algoritmilor de nivel
superior, devenind astfel interesantă atât ”teoretic”, cât şi din punctul de vedere al
detaliilor de implementare.
Definiţia 1.1 Fie A ∈ R m×l şi B ∈ R l×n , două matrice; produsul lor este matricea
C = AB ∈ R m×n , definită prin
c ij =
l∑
a ik b kj , i = 1 : m, j = 1 : n.
k=1
Cazuri particulare. Să discutăm întâi cazurile particulare în care cel puţin
una dintre dimensiuni este egală cu 1.
Dacă m = n = 1, atunci A not
= x T este un vector linie, B not
= y este un vector
coloană, ambii în R l , iar produsul lor coincide cu simplul produs scalar AB = x T y.
Dacă l = 1, atunci A not
= x este un vector coloană în R m , B not
= y T este un
vector linie în R n , iar produsul lor este matricea C = xy T ∈ R m×n , definită prin
c ij = x i y j ; această operaţie cu doi vectori poartă numele de produs exterior şi va fi
notată prin OUT(x, y).
Dacă n = 1, atunci B not
= y este un vector coloană şi operaţia AB este o înmulţire
matrice-vector.
Dacă m = 1, atunci A not
= x T este un vector linie şi AB = x T B este un vector
linie (înmulţire vector linie - matrice).
6 Produsul ”vectorial” a × b este posibil, printr-un accident fericit căruia îi este îndatorată
întreaga fizică clasică, numai în R 3 .