metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

14 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
şi
f(ˆx) = ˆf(x). (0.13)
Problema fiind bine condiţionată, din (0.11) rezultă că
‖f(x) − f(ˆx)‖
‖f(x)‖
‖x − ˆx‖
= κ ≤ κµβ −t , (0.14)
‖x‖
unde κ şi µ sunt de ordinul unităţii. Deci, din (0.13) şi (0.14),
‖f(x) − ˆf(x)‖
‖f(x)‖
≤ κµβ −t ,
adică un algoritm stabil nu introduce erori suplimentare semnificative în rezolvarea
unei probleme bine condiţionate.
În mod similar, se poate observa că, în alte situaţii (de exemplu pentru probleme
rău condiţionate sau pentru algoritmi instabili), mărimea erorii asociate rezultatului
nu poate fi apreciată. Când un algoritm stabil este folosit pentru a rezolva
o problemă rău condiţionată, nu există nici o garanţie că f(ˆx) şi f(x) au valori
apropiate şi, deşi f(ˆx) este (aproximativ) egal cu ˆf(x), diferenţa dintre f(x) şi ˆf(x)
poate fi semnificativă. Când un algoritm instabil este folosit pentru rezolvarea unei
probleme bine condiţionate, soluţia calculată ˆf(x) pentru date exacte de intrare
este soluţie exactă a problemei cu ˆx departe de x, şi tot aşa este f(ˆx) de f(x). În
sfârşit, nu e nici o speranţă de a obţine erori mici atunci când un algoritm instabil
este utilizat pentru o problemă rău condiţionată.
Exemplul 0.12 Revenim la problema calculului sumei, f : R 2 −→ R,
f(x, y) = x + y. Problema poate fi bine sau rău condiţionată în funcţie de datele
de intrare (vezi exemplul 0.11).
”Algoritmul” de calcul al sumei în virgulă mobilă ˆf : R 2 −→ R este
ˆf(x, y) = x ⊕ y = fl(x + y),
unde fl este o funcţie de rotunjire care respectă relaţia (0.7), iar x şi y sunt numere
în FVM; deci, în conformitate cu (0.7),
ˆf(x, y) = x(1 + ρ) + y(1 + ρ),
cu |ρ| de ordinul β −t , adică suma calculată este suma exactă a operanzilor uşor
perturbaţi, şi deci algoritmul de sumare este stabil.
♦
Exemplul 0.13 Să analizăm acum algoritmul de calcul al mărimii
f(a, b, c) = b 2 − 4ac. Presupunem că a, b, c sunt numere în FVM. În conformitate
cu (0.7) avem
ˆf(a, b, c) = b ⊗ b ⊖ 4 ⊗ a ⊗ c = [b 2 (1 + ρ 1 ) − 4ac(1 + ρ 2 )](1 + ρ 3 ),
cu |ρ 1 |, |ρ 2 |, |ρ 3 | de ordinul β −t ; am presupus că 4 ⊗ a se calculează fără erori, ceea
ce e adevărat în baza 2, dar nu şi în baza 10.