metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

22 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
Dacă vectorii sunt liniar dependenţi, atunci cel puţin unul dintre ei se poate
exprima printr-o combinaţie liniară a celorlalţi; i.e., dacă ∑ p
i=1 α ix i = 0, atunci
există α j ≠ 0, şi deci x j = − ∑ p
i=1,i̸=j (α i/α j )x i .
Evident, într-o mulţime de vectori independenţi, nici unul dintre ei nu se poate
exprima printr-o combinaţie liniară a celorlalţi. De exemplu, vectorii unitate
e 1 , . . . , e n sunt liniar independenţi. Dacă X ⊂ R n este o mulţime de vectori
liniar independenţi şi y = ∑ p
i=1 α ix i ∈ R n este o combinaţie liniară a acestora,
atunci coeficienţii combinaţiei liniare sunt unici (demonstraţi).
Subspaţiu liniar. O mulţime S de vectori din R n este numită subspaţiu liniar
al spaţiului R n dacă sunt îndeplinite următoarele două condiţii:
1. x + y ∈ S, ∀x, y ∈ S;
2. αx ∈ S, ∀α ∈ R, ∀x ∈ S.
Aşadar, orice combinaţie liniară a unor vectori din S aparţine tot lui S; altfel spus,
S e invariant la combinaţii liniare. Evident, orice subspaţiu liniar conţine vectorul
nul (originea).
Fie X ⊂ R n o mulţime de vectori şi S mulţimea tuturor combinaţiilor liniare ale
vectorilor din X. Atunci S e un subspaţiu liniar, numit subspaţiul generat de X. De
exemplu, în R 3 doi vectori generează de regulă un plan; dacă vectorii sunt coliniari
(adică există scalarul α a.î. y = αx), atunci subspaţiul generat este o dreaptă.
Fie S ⊂ R n un subspaţiu; o mulţime de vectori B ⊂ S este bază a subspaţiului
S dacă:
1. elementele lui B sunt liniar independente;
2. S e generat de B.
Aşadar o bază conţine numărul minim de vectori cu ajutorul cărora se poate genera
subspaţiul.
Dacă B = {b 1 , . . . , b m }, atunci ∀x ∈ S se scrie în mod unic în forma unei
combinaţii liniare a vectorilor din bază, x = ∑ m
i=1 α ib i . Numerele α i se numesc
componentele sau coordonatele, vectorului x în raport cu baza B.
De exemplu, e 1 , . . . , e n formează o bază pentru R n , numită şi baza canonică;
componentele vectorului x, în sensul definiţiei (1.1), sunt componentele în raport
cu această bază, deoarece evident x = ∑ n
i=1 x ie i .
Un subspaţiu are o infinitate de baze, dar toate au acelaşi număr de elemente.
Evident, un vector x ≠ 0 are coordonate diferite în raport cu aceste baze.
Dimensiunea unui subspaţiu, notată dim S, este numărul vectorilor din bază,
adică numărul maxim de vectori din S liniari independenţi sau, cum am menţionat
deja, numărul minim de vectori care generează S.
De exemplu, R n are dimensiunea n, numărul de vectori din baza canonică; un
plan în R 3 are dimensiunea 2.
Două subspaţii S, T ⊂ R n se numesc complementare dacă
1. S ∩ T = {0}.
2. R n este generat de S ∪ T .