metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

8 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
unde op poate fi +, · sau /, iar µ este un număr de ordinul unităţii.
Modelul (0.7) este obţinut presupunând că xop y este calculat exact, apoi rezultatul
este transformat în FVM printr-o funcţie de rotunjire. În realitate, lucrurile nu
stau chiar aşa; unităţile specializate pentru calculul în VM nu obţin rezultatul exact,
dar se comportă ca şi cum l-ar obţine, lucrând pe baza unor algoritmi nebanali, a
căror cunoaştere nu este necesară pentru înţelegerea algoritmilor din această lucrare
şi a căror prezentare depăşeşte cadrul problematicii propuse.
În completarea relaţiei (0.7), trebuie să menţionăm că, atunci când o operaţie
în virgulă mobilă produce un număr cu un modul prea mare (> M), apare eroarea
numită de depăşire superioară (overflow). Când rezultatul este prea mic în valoare
absolută (< m, dar nenulă), eroarea se numeşte de depăşire inferioară (underflow).
Desigur, orice algoritm bine conceput trebuie să specifice cum se procedează în
eventualitatea unor depăşiri şi, mai ales, să încerce evitarea lor (vom explica în
capitolul următor tehnica folosită — scalarea). Depăşirea inferioară nu constituie
de regulă o eroare gravă, de aceea majoritatea calculatoarelor atribuie automat
rezultatului valoarea zero. În cazul unei depăşiri superioare, de obicei calculele sunt
oprite sau, cel puţin, este afişat un mesaj de avertisment. În standardul IEEE pentru
virgulă mobilă, există o valoare specială, numită Inf (infinit), care este atribuită
rezultatului în cazul unei depăşiri superioare; calculele continuă cu această valoare;
rezultatele se obţin conform regulilor uzuale de lucru cu infinităţi. O altă valoare
specială – NaN (Not a Number) – este atribuită rezultatelor nedefinite, ca 0 · ∞,
0/0, ∞/∞; o operaţie implicând NaN are întotdeauna ca rezultat NaN.
Relaţia (0.7) garantează că o operaţie aritmetică introduce erori relative mici,
de ordinul β −t (adică al lui epsilon maşină). O problemă fundamentală a calculului
numeric este evaluarea mărimii erorii ce afectează rezultatul în cazul unei secvenţe
de operaţii.
Pentru a aborda problema, să considerăm două exemple în care apar erori numerice
mari, dar din cauze esenţial diferite. Lucrăm în FVM cu (β, t, p) = (10, 3, 1).
Pentru a evita confuziile, vom nota cu ⊕, ⊖, ⊗ şi ⊘ adunarea, scăderea, înmulţirea,
respectiv împărţirea în VM; deci x + y este suma exactă, iar x ⊕ y = fl(x + y) este
suma calculată în VM.
Exemplul 0.6 În calculul rădăcinilor polinomului de gradul al doilea ax2 + bx + c,
cu a ≠ 0, este necesar calculul expresiei b 2 − 4ac. Considerând b = 3.34, a = 1.22,
c = 2.28, avem b 2 −4ac = 0.0292, în timp ce, rotunjind prin tăiere, b ⊗b = 4 ⊗a⊗c
= 11.1, deci b ⊗ b − 4 ⊗ a ⊗ c = 0. Rezultatul calculat are toate cifrele semnificative
eronate, iar eroarea relativă aferentă este egală cu 1; totuşi, pentru fiecare operaţie
în parte, eroarea relativă este mai mică decât 10 −2 .
♦
Exemplul 0.7 Dacă polinomul de gradul II are rădăcini reale, acestea se calculează
de obicei utilizând formulele
x 1 = −b − √ b 2 − 4ac
2a
, x 2 = −b + √ b 2 − 4ac
. (0.8)
2a
Luând b = 10.1, a = 0.0123, c = 32.4, valoarea exactă rotunjită la 3 cifre
semnificative a lui x 2 este −3.22. Efectuând calculele în formatul ales, obţinem
∆ = b ⊗ b ⊖ 4 ⊗ a ⊗ c = 100 (în loc de 100.41, dar eroarea relativă e încă de ordinul