metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

30 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
y 3
✻
(1,0,1)
✒
(0,1,1)
◗❦
◗
◗
y 1
◗ ImA
✲
✟
✟
✟ ✟
y 2 ✟✙
✟
KerA T
• (1,1,-1)
Fig. 1.5: KerA T este complementul ortogonal al lui ImA. Datele sunt cele din
exemplul 1.1
Exemplul 1.1 Fie A =
⎡
⎣ 1 0
0 1
1 1
⎤
⎦.
Atunci, S = ImA = {y ∈ R 3 | y = ⎣
⎡
⎤
x 1
x 2
⎦, x 1 , x 2 ∈ R}, adică S este
x 1 + x 2
planul de ecuaţie y 3 = y 1 + y 2 .
T = KerA T = {y ∈ R⎡
3 | A T y ⎤= 0} = {y ⎛∈⎡
R 3 | ⎤y 2 ⎞+ y 3 = 0, y 1 + y 3 = 0}, deci
avem T = {y ∈ R 3 | y =
Vezi figura 1.5.
⎣ 1 1
−1
⎦α} = Im ⎝⎣ 1 1 ⎦⎠.
−1
Privind în continuare matricea A în forma (1.8), rangul matricei A este dimensiunea
subspaţiului ImA generat de coloanele lui A. Aşadar rangA = dim(ImA),
sau, altfel spus, rangul este numărul maxim de coloane liniar independente din A.
Se poate demonstra că rangA = rangA T şi deci rangul este totodată şi numărul
maxim de linii liniar independente din A. Recapitulând:
♦
dimImA = dimImA T not
= r,
dimKerA = n − r,
dimKerA T = m − r.
(1.12)
O matrice A ∈ R m×n având coloanele liniar independente se numeşte monică;
în acest caz, m ≥ n, rangA = n şi KerA = {0}. Se mai spune că A are rang maxim
pe coloane.
O matrice A ∈ R m×n având liniile liniar independente se numeşte epică; atunci
m ≤ n, rangA = m şi ImA = R m ; se spune că A are rang maxim pe linii.