metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

28 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
AA. Ortogonalitate numerică. Matematic, testul de ortogonalitate a doi
vectori x, y ∈ R n este foarte clar: se verifică dacă x T y = 0. Numeric însă, se
întâmplă foarte rar ca DOT(x, y) să fie exact 0; aceasta se datorează atât erorilor
numerice apărute în execuţia algoritmului DOT, cât şi erorilor de reprezentare
asociate elementelor celor doi vectori. De aceea, pentru a considera doi vectori
numeric ortogonali, ne mulţumim cu condiţia
|DOT(x/‖x‖ 2 , y / ‖y‖ 2 ) | < cε M ,
unde c ≥ 1 este o constantă mică, adică produsul scalar al vectorilor normalizaţi
să fie de acelaşi ordin de mărime cu epsilon maşină al formatului virgulă mobilă
utilizat.
1.3 Matrice
Matrice. O matrice reală A este un tablou bidimensional (rectangular) de
numere reale dispuse pe m linii şi n coloane; notând cu a ij elementul matricei de
pe linia i şi coloana j, matricea arată astfel
⎡
A = ⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
⎥
. . . ⎦
a m1 a m2 . . . a mn
(1.7)
Dacă m = n, matricea se numeşte pătrată.
Mulţimea tuturor matricelor reale (complexe) cu m linii şi n coloane va fi notată
R m×n (respectiv C m×n ). Păstrăm în continuare convenţia de a ne referi la cazul
complex doar atunci când este diferit de cel real.
Se numeşte diagonală principală a matricei mulţimea poziţiilor de indici egali din
tablou; pentru A ∈ R n×n , suma elementelor de pe diagonala principală se numeşte
urmă şi se notează tr(A) def
= ∑ n
i=1 a ii.
Operaţii. Definim acum câteva operaţii elementare cu matrice: suma, produsul
cu un scalar, transpunerea.
Suma a două matrice A, B ∈ R m×n este matricea C = A + B ∈ R m×n , definită
prin c ij = a ij + b ij ; aşadar, suma se face adunând elementele de pe poziţii corespondente.
Produsul unei matrice A ∈ R m×n cu un scalar α ∈ R este matricea
B = αA ∈ R m×n , definită prin b ij = αa ij , i = 1 : m, j = 1 : n.
Cu aceste două operaţii — suma şi produsul cu un scalar — R m×n are o structură
de spaţiu vectorial de dimensiune mn. O bază este E ij , i = 1 : m, j = 1 : n, unde
E ij este matricea nulă cu excepţia elementului (i, j) egal cu 1.
Transpusa unei matrice A ∈ R m×n este matricea B ∈ R n×m , notată B = A T ,
definită prin b ij = a ji . Propunem cititorului demonstrarea următoarelor proprietăţi
simple ale operaţiei de transpunere: