metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

24 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
Comentarii. Instrucţiunea Pentru i = 1 : n înseamnă repetarea execuţiei, pentru
toate valorile indicate ale indicelui i, a instrucţiunilor ce îi urmează (până la prima
instrucţiune aflată la acelaşi nivel cu Pentru). Instrucţiunile sunt referite prin
secvenţe de numere cuprinzând (de la dreapta spre stânga) numărul din algoritm al
instrucţiunii respective şi numerele instrucţiunilor cărora le este subordonată (de la
cea mai apropiată la cea mai depărtată). În algoritmul Saxpy, prima instrucţiune
este 1, a doua 1.1.
Contorizând operaţiile executate de algoritmul 1.1, constatăm că fiecare execuţie
a instrucţiunii 1.1 necesită 2 flopi (o înmulţire şi o adunare), deci, în total, sunt
necesari N op = 2n flopi.
În continuare, Saxpy va fi privită ca operaţie elementară şi va fi apelată prin
Saxpy(α, x, y); ea face parte din grupul operaţiilor de nivel 1, împreună cu alte
operaţii, dintre care unele vor fi prezentate ulterior 3 .
Aşa cum este normal, Saxpy şi celelalte operaţii de nivel 1 sunt executate
mai eficient pe calculatoare vectoriale. De aceea, pe astfel de calculatoare, există
tendinţa de a scrie toţi algoritmii în termeni de operaţii de nivel 1 şi nu prin operaţii
aritmetice elementare.
♦
1.2 Produs scalar. Norme. Ortogonalitate
Produsul scalar este o funcţie f : R n × R n −→ R cu proprietăţile:
1. f(x, y) = f(y, x) (comutativitate);
2. f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z) (distributivitate);
3. f(x, αy) = αf(x, y);
4. f(x, x) ≥ 0 şi f(x, x) = 0 ⇔ x = 0 (pozitivitate).
Produsul scalar standard în R n , cel pe care îl vom utiliza de obicei, se defineşte
prin f(x, y) not
= y T x, unde y T x def
= ∑ n
i=1 x iy i . Invităm cititorul să verifice satisfacerea
celor patru proprietăţi ale produsului scalar.
Spaţiul R n împreună cu produsul scalar uzual este un spaţiu euclidian (în el este
valabilă o geometrie similară cu cea din R 2 şi R 3 , cunoscută din liceu).
Norme. Prin normă se asociază unui vector o mărime (lungime). O normă
vectorială este o funcţie ν : R n → R + , notată de obicei ν(x) = ‖x‖, care satisface
următoarele condiţii:
1. ‖x‖ > 0, ∀x ∈ R n , x ≠ 0 (pozitivitate);
2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖, ∀x ∈ R n , ∀α ∈ R (omogenitate);
3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, ∀x, y ∈ R n (inegalitatea triunghiului).
Se deduce imediat că ‖0‖ = 0 şi ‖ − x‖ = ‖x‖.
Cea mai utilizată normă vectorială este cea indusă de produsul scalar şi se
numeşte normă euclidiană sau normă 2:
‖x‖ 2 = √ ∑
x T x = √ n x 2 i . (1.3)
3 Numerotarea nivelelor se face după exponentul lui n din expresia numărului de flopi necesari
la execuţie; operaţiile de nivel 1 necesită O(n) flopi, cele de nivel 2 necesită O(n 2 ) flopi etc.
i=1