metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

4 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
Un bun compromis în satisfacerea acestor cerinţe este dat de aşa numitul Format
Virgulă Mobilă (FVM).
Definiţia 0.1 Un Format Virgulă Mobilă (FVM) este definit de trei întregi (β, t, p),
cu următoarea semnificaţie:
β – baza de numeraţie (β ≥ 2);
t – precizia, adică numărul de cifre semnificative (”lungimea” mantisei);
p – numărul de cifre ale exponentului.
Un număr în virgulă mobilă este o pereche (f, e), unde
f = ±0.f 1 f 2 . . .f t , f 1 ≠ 0, f i ∈ C
este un număr fracţionar cu semn (plus sau minus), normalizat (i.e. f 1 ≠ 0), cu
t cifre, denumit mantisă, iar
e = ±e 1 e 2 . . . e p
este un întreg cu semn, cu p cifre, numit exponent. Valoarea reală asociată numărului
în virgulă mobilă (f, e) este
x = f · β e .
Fie L valoarea minimă admisă a exponentului (de exemplu L = − ρ . . .ρ, unde
} {{ }
p
ρ = β − 1) şi U cea maximă (de exemplu U = −L). Se observă că toate numerele
în virgulă mobilă x satisfac:
β L−1 = m ≤ |x| ≤ M = β U (1 − β −t )
adică domeniul reprezentării în virgulă mobilă este intervalul R = [−M, M]. Desigur,
pentru majoritatea reprezentărilor pe calculator, β = 2 (se mai foloseşte, de
exemplu, β = 16 şi chiar β = 10).
Exemplul 0.3 Să considerăm FVM cu (β, t, p) = (2, 2, 1). Atunci L = −1, U = 1,
m = 2 −2 = 0.25 10 , M = 2(1 − 2 −2 ) = 1.5 10 . Numerele reale care au o reprezentare
exactă în acest FVM sunt:
x 1 = (−0.11, +1) = −1.5 10 x 7 = (+0.10, −1) = 0.25 10
x 2 = (−0.10, +1) = −1.0 10 x 8 = (+0.11, −1) = 0.375 10
x 3 = (−0.11, 0) = −0.75 10 x 9 = (+0.10, 0) = 0.5 10
x 4 = (−0.10, 0) = −0.5 10 x 10 = (+0.11, 0) = 0.75 10
x 5 = (−0.11, −1) = −0.375 10 x 11 = (+0.10, +1) = 1.0 10
x 6 = (−0.10, −1) = −0.25 10 x 12 = (+0.11, +1) = 1.5 10
şi vor fi folosite pentru reprezentarea (aproximativă) a tuturor numerelor reale din
intervalul [−1.5, 1.5]. Reprezentarea geometrică a tuturor acestor numere pe axa
reală este prezentată în figura 0.1. Numerele cu reprezentare exactă în virgulă
mobilă sunt relativ uniform distribuite; mai precis, |x i −x i−1 | / |x i | are aproximativ
aceleaşi valori pentru orice i.
♦
Exemplul 0.4 Un FVM pe 32 biţi poate fi următorul: (β, t, p) = (2, 24, 7). Doi
biţi sunt atribuiţi reprezentării semnelor mantisei şi exponentului; deoarece primul